Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

en:American Mathematical Society

en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Fano variety Ποικιλία Φάνο

en:Codimension Συνδιάσταση

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα μαθηματικά, η συνδιάσταση είναι μια βασική γεωμετρική ιδέα που εφαρμόζεται σε υποχώρους σε διανυσματικούς χώρους, σε υποπολλαπλότητες στις πολλαπλότητες και σε κατάλληλα υποσύνολα αλγεβρικών ποικιλιών.

Για τις αφινικές και προβολικές αλγεβρικές ποικιλίες, η συνδιάσταση ισούται με το ύψος του ιδανικού ορισμού. Για το λόγο αυτό, το ύψος ενός ιδεώδους ονομάζεται συχνά συνδιάσταση.

Η διπλή έννοια είναι η σχετική διάσταση.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η συνδιάσταση είναι μια σχετική έννοια: ορίζεται μόνο για ένα αντικείμενο μέσα σε ένα άλλο. Δεν υπάρχει " συνδιάσταση ενός διανυσματικού χώρου (μεμονωμένα)", αλλά μόνο η συνδιάσταση ενός διανυσματικού υποχώρου.

Αν ο W είναι ένας γραμμικός υποχώρος ενός διανυσματικού χώρου πεπερασμένων διαστάσεων V, τότε η συνδιάσταση του W στον V είναι η διαφορά μεταξύ των διαστάσεων:^[1]

\operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).

Είναι το συμπλήρωμα της διάστασης του W, με την έννοια ότι, μαζί με τη διάσταση του W, προστίθεται στη διάσταση του περιβάλλοντος χώρου V:

\dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).

Αντίστοιχα, αν το N είναι μια υποπολλαπλότητα ή υποδιάταξη στο M, τότε η συνδιάσταση του N στο M είναι

\operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).

Ακριβώς όπως η διάσταση μιας υποπολλαπλότητας είναι η διάσταση της εφαπτομενικής δέσμης (ο αριθμός των διαστάσεων που μπορεί να μετακινηθεί "πάνω" στην υποπολλαπλότητα), η συνδιάσταση είναι η διάσταση της κανονικής δέσμης (ο αριθμός των διαστάσεων που μπορεί να μετακινηθεί "εκτός" της υποπολλαπλότητας).

Γενικότερα, αν ο W είναι ένας γραμμικός υποχώρος ενός (ενδεχομένως άπειρης διάστασης) διανυσματικού χώρου V τότε η συνδιάσταση του W στον V είναι η διάσταση (ενδεχομένως άπειρη) του πηλίκου του διανυσματικού χώρου πηλίκου χώρου V/W, η οποία είναι πιο αφηρημένα γνωστή ως ο συμπυρήνας της ένταξης. Για διανυσματικούς χώρους πεπερασμένων διαστάσεων, αυτό συμφωνεί με τον προηγούμενο ορισμό

\operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),

και είναι διπλή της σχετικής διάστασης ως διάσταση του πυρήνα.

Οι πεπερασμένης συνδιάστασης υποχώροι των απείρως διαστάσεων χώρων είναι συχνά χρήσιμοι στη μελέτη των τοπολογικών διανυσματικών χώρων.

Γεωμετρική ερμηνεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η κανονική δέσμη γραμμών των προβολικών χώρων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κλάσεις Τσερν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ακολουθία Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κλάσεων Τσερν του προβολικού χώρου. Υπενθυμίζεται ότι δεδομένης μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας συνεκτικών δεσμών,

$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,$

μπορούμε να υπολογίσουμε την συνολική τάξη Τσερν του ${\mathcal {E}}$ με τον τύπο $c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')$ .^[2] Παραδείγματος χάριν, στο $\mathbb {P} ^{2}$ βρίσκουμε^[3] ${\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2},\end{aligned}}$

όπου $[H]$ αντιπροσωπεύει την κλάση υπερεπιπέδου στον δακτύλιο Tσόου $A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})$ .

Χρησιμοποιώντας την ακριβή ακολουθία ^[4]

$0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0,$

και πάλι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της συνολικής κλάσης Τσερν για να βρούμε

${\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}.\end{aligned}}$

Δεδομένου ότι πρέπει να αντιστρέψουμε το πολυώνυμο στον παρονομαστή, αυτό είναι ισοδύναμο με την εύρεση μιας δυναμοσειράς $a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3}[H]^{3}+\cdots$ such that $a([H])c(\Omega ^{1})=1$ .

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Euler Sequence and Koszul complex of a module
Euler sequences in joint angles & Gimbal lock
On the Euler sequence spaces which include the spaces ℓp and ℓ∞ I
Euler sequences, Quats, and DCMs #19600
Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commutative algebra

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Euler sequence for complete smooth k*-surfaces
Euler Sequence and Koszul complex of a module

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Roman 2008, p. 93 §3
↑ {«Intersection Theory in Algebraic Geometry» (PDF). σελ. 169.
↑ Note that $[H]^{3}=0$ in the Chow ring for dimension reasons.
↑ Arapura, Donu. «Computation of Some Hodge Numbers» (PDF). Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 1 Φεβρουαρίου 2020.

[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Προβολική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Πολλαπλότητες] [[Κατηγορία:Διάσταση]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Νονικοφ, Σεργκει} [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί αναλυτές] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]