Πυρήνας (γραμμική άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη γραμμική άλγεβρα και τη συναρτησιακή ανάλυση, ο πυρήνας (γνωστός και ως μηδενοχώρος) ενός γραμμικού μετασχηματισμού L : V → W μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων V και W, είναι το σύνολο όλων των στοιχείων v του V για τα οποία L(v) = 0, όπου το 0 δηλώνει το μηδενικό διάνυσμα στο W. Δηλαδή,

$\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}$

Ορισμός

Θεωρούμε έναν πίνακα $A\in {\mathcal {M}}_{m,n}$ (με $m$ γραμμές και $n$ στήλες) επί ενός σώματος $\mathbb {F}$ (συνήθως χρησιμοποιούνται το $\mathbb {R}$ ή το $\mathbb {C}$). Τότε ο μηδενοχώρος του πίνακα $A$ είναι το σύνολο:

${\mathcal {N}}(A)=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {F} ^{n}:A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}$.

Επειδή ο μηδενοχώρος του πίνακα $A$ περιέχει τις λύσεις του ομογενούς γραμμικού συστήματος $A\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$, θα είναι υπόχωρος του διανυσματικού χώρου $\mathbb {F} ^{n}$.

Ιδιότητες

Ο πυρήνας Ker(L) και η εικόνα Im(L) ενός μετασχηματισμού L.

Ο πυρήνας του L είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του πεδίου ορισμού V. Στο γραμμικό μετασχηματισμό L : V → W, δύο στοιχεία του V έχουν την ίδια εικόνα στο W εάν και μόνο αν η διαφορά τους είναι ο πυρήνας του L:

$L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} {\text{.}}$

Επομένως, η εικόνα του L είναι ισομορφική με το πηλίκο του V με τον πυρήνα:

$\mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L){\text{.}}$

Αυτό συνεπάγεται το θεώρημα τάξης και μηδενικότητας:

$\dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V){\text{.}}\,$

όπου, με τάξη εννοούμε τη διάσταση της εικόνας του L, και με μηδενικότητα εκείνη του πυρήνα του L.

Όταν το V είναι χώρος εσωτερικού γινομένου, το πηλίκο V / ker(L) μπορεί να ταυτιστεί με το ορθογώνιο συμπλήρωμα στο V του ker(L). Αυτή είναι η γενίκευση σε γραμμικούς μετασχηματισμούς του χώρου γραμμών, ή συνεικόνας, ενός πίνακα.

Για πίνακες με πραγματικούς συντελεστές (δηλαδή αν θεωρήσουμε ότι $\mathbb {F} =\mathbb {R}$) ισχύουν:

• Ο μηδενοχώρος ενός πίνακα είναι είναι ίσος με το ορθογώνιο συμπλήρωμα του χώρου γραμμών του πίνακα: ${\mathcal {N}}(A)=({\textrm {rowsp}}(A))^{\perp }$.
• Το ευθύ άθροισμα του χώρου γραμμών και του μηδενοχώρου είναι ίσο με τον χώρο $\mathbb {R} ^{n}$: ${\textrm {rowsp}}(A)\bigoplus {\mathcal {N}}(A)=\mathbb {R} ^{n}$.
• Το άθροισμα της διάστασης του μηδενοχώρου ενός πίνακα με τον βαθμό του πίνακα είναι ίσο με το πλήθος των στηλών του πίνακα: ${\textrm {dim}}\left({\mathcal {N}}(A)\right)+rank(A)=n$.

Παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε τον πίνακα $A=\left({\begin{matrix}1&1&2\\2&1&1\end{matrix}}\right)$. Για να βρούμε το μηδενοχώρο του πίνακα αρκεί να λύσουμε το αντίστοιχο ομογενές γραμμικό σύστημα. Το σύστημα αυτό μπορεί να λυθεί με γραμμοπράξεις εφαρμόζοντας την μέθοδο απαλοιφής του Gauss.

Αφαιρούμε από τη δεύτερη γραμμή το διπλάσιο της πρώτης: $\left({\begin{matrix}1&1&2\\0&-1&-3\end{matrix}}\right)$

Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή με το -1: $\left({\begin{matrix}1&1&2\\0&1&3\end{matrix}}\right)$

Αφαιρούμε από την πρώτη γραμμή τη δεύτερη: $\left({\begin{matrix}1&0&-1\\0&1&3\end{matrix}}\right)$

Επομένως το ομογενές γραμμικό σύστημα απλοποιείται ως εξής: ${\begin{matrix}x&-&z&=&0\\y&+&3z&=&0\end{matrix}}$

Δηλαδή θα έχουμε $x=z$ και $y=-3z$. Οπότε μια τυχαία λύση του συστήματος θα έχει τη μορφή $(x,y,z)^{T}=(z,-3z,z)^{T}=z\cdot (1,-3,1)^{T}$. Αυτό σημαίνει ότι ο μηδενοχώρος θα είναι:

${\mathcal {N}}(A)={\textrm {span}}\left\{(1,-3,1)^{T}\right\}$. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ο μηδενοχώρος έχει διάσταση 1.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Μηδενοχώρος πίνακα (βασική θεωρία και online video)