Πυρήνας (γραμμική άλγεβρα)

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη γραμμική άλγεβρα και τη συναρτησιακή ανάλυση, ο πυρήνας (γνωστός και ως μηδενικοχώρος) ενός γραμμικού μετασχηματισμού L : VW μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων V και W, είναι το σύνολο όλων των στοιχείων v του V για τα οποία L(v) = 0, όπου το 0 δηλώνει το μηδενικό διάνυσμα στο W. Δηλαδή,

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο πυρήνας Ker(L) και η εικόνα Im(L) ενός μετασχηματισμού L.

Ο πυρήνας του L είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του πεδίου ορισμού V.[1] Στο γραμμικό μετασχηματισμό L : VW, δύο στοιχεία του V έχουν την ίδια εικόνα στο W εάν και μόνο αν η διαφορά τους είναι ο πυρήνας του L:

Επομένως, η εικόνα του L είναι ισομορφική με το πηλίκο του V με τον πυρήνα:

Αυτό συνεπάγεται το θεώρημα τάξης και μηδενικότητας:

όπου, με τάξη εννοούμε τη διάσταση της εικόνας του L, και με μηδενικότητα εκείνη του πυρήνα του L.

Όταν το V είναι χώρος εσωτερικού γινομένου, το πηλίκο V / ker(L) μπορεί να ταυτιστεί με το ορθογώνιο συμπλήρωμα στο V του ker(L). Αυτή είναι η γενίκευση σε γραμμικούς μετασχηματισμούς του χώρου γραμμών, ή συνεικόνας, ενός πίνακα.

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Η γραμμική άλγεβρα, όπως μελετάται σε αυτό το λήμμα, είναι ένας βαθιά καθιερωμένος μαθηματικός κλάδος για τον οποίο υπάρχουν πολλές πηγές. Σχεδόν όλο το υλικό σε αυτό το άρθρο μπορεί να βρεθεί στα Lay 2005, Meyer 2001, και στις διαλέξεις του Strang.