Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)

Στη γραμμική άλγεβρα, o βαθμός ενός πίνακα $A$ είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου που δημιουργείται (ή καλύπτεται) από τις στήλες του.^[1]^[2]^[3] Αυτό αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του Α^[4]. Με τη σειρά του, αυτό ταυτίζεται με τη διάσταση του διανυσματικού χώρου που καλύπτεται από τις γραμμές του. Ο βαθμός είναι επομένως ένα μέτρο της "μη εκφυλιστικότητας" του συστήματος γραμμικών εξισώσεων και του γραμμικού μετασχηματισμού που κωδικοποιείται από τον $A$ . Υπάρχουν πολλαπλοί ισοδύναμοι ορισμοί του βαθμού. Ο βαθμός ενός πίνακα είναι ένα από τα πιο θεμελιώδη χαρακτηριστικά του.

Ο βαθμός συμβολίζεται συνήθως με $rank(A)$ ή $rk(A)$ ;^[2] μερικές φορές οι παρενθέσεις δεν γράφονται $rank A$ .^[i] .

Βασικοί ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε αυτή την ενότητα, δίνουμε ορισμένους ορισμούς για τον βαθμό ενός πίνακα.. Πολλοί ορισμοί είναι δυνατοί- ανατρέξτε στην ενότητα Εναλλακτικοί ορισμοί για αρκετούς από αυτούς.

Ο βαθμός στήλης του Α είναι η διάσταση του χώρου στηλών του $A$ , ενώ ο βαθμός γραμμής του $A$ είναι η διάσταση του χώρου γραμμών του $A$ .

Ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα της γραμμικής άλγεβρας είναι ότι ο βαθμός στήλης και ο βαθμός γραμμής είναι πάντα ίσοι. (Τρεις αποδείξεις αυτού του αποτελέσματος δίνονται στην ενότητα § Αποδείξεις ότι βαθμός στήλης = βαθμός γραμμής, παρακάτω). Αυτός ο αριθμός (δηλαδή, ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών) ονομάζεται απλώς βαθμός του Α.

Ένας πίνακας λέγεται ότι έχει πλήρη βαθμό (full rank) αν ο βαθμός του ισούται με τον μεγαλύτερο δυνατό για έναν πίνακα των ίδιων διαστάσεων, ο οποίος είναι ο μικρότερος του αριθμού των γραμμών και των στηλών. Ένας πίνακας λέγεται ανεπαρκής κατάταξης αν δεν έχει πλήρη κατάταξη. Η ανεπάρκεια βαθμού ενός πίνακα είναι η διαφορά μεταξύ του μικρότερου του αριθμού των γραμμών και των στηλών και του βαθμού.

Ο βαθμός μιας γραμμικής απεικόνισης ή τελεστή $\Phi$ ορίζεται ως η διάσταση της εικόνας του:^[5]^[6]^[7]^[8]

$\operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))$

όπου $\dim$ είναι η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου και $\operatorname {img}$ είναι η εικόνα μιας απεικόνισης.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο πίνακας

${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}}$

έχει βαθμό 2: οι δύο πρώτες στήλες είναι γραμμικά ανεξάρτητες, οπότε ο βαθμός είναι τουλάχιστον 2, αλλά δεδομένου ότι η τρίτη είναι γραμμικός συνδυασμός των δύο πρώτων (η πρώτη στήλη συν τη δεύτερη), οι τρεις στήλες εξαρτώνται γραμμικά, οπότε ο βαθμός πρέπει να είναι μικρότερος από 3.

Ο πίνακας

$A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}$

έχει βαθμό 1: υπάρχουν μη μηδενικές στήλες, οπότε ο βαθμός είναι θετικός, αλλά κάθε ζεύγος στηλών είναι γραμμικά εξαρτημένο. Ομοίως, η μεταστοιχείωση

$A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}$

της $A$ έχει βαθμό 1. Πράγματι, δεδομένου ότι τα διανύσματα στήλης του $A$ είναι τα διανύσματα γραμμής του αντιμεταθέτη του $A$ , η δήλωση ότι ο βαθμός στήλης ενός πίνακα ισούται με τον βαθμό γραμμής του είναι ισοδύναμη με τη δήλωση ότι ο βαθμός ενός πίνακα είναι ίσος με τον βαθμό του αντιμεταθέτη του, δηλ, $rank(A) = rank(A T)$ .

Υπολογισμός του βαθμού ενός πίνακα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κατάταξη από τις μορφές σειρών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο άρθρο: Γκαουσιανή απαλοιφή

Μια συνηθισμένη προσέγγιση για την εύρεση του βαθμού ενός πίνακα είναι η αναγωγή του σε μια απλούστερη μορφή, συνήθως με τη μορφή ενός βήματος βαθμού, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις πράξεις βαθμού. Οι πράξεις γραμμής δεν αλλάζουν το χώρο γραμμής (και συνεπώς το βαθμό γραμμής) και, όντας αντιστρέψιμες, μετατρέπουν το χώρο στήλης σε ισόμορφο χώρο (και ως εκ τούτου δεν αλλάζουν τον βαθμό στήλης). Μόλις βρεθεί σε μορφή βαθμού σειράς, ο βαθμός είναι σαφώς ο ίδιος τόσο για τον βαθμό σειράς όσο και για τον βαθμό στήλης, και είναι ίσος με τον αριθμό των pivots (ή των βασικών στηλών) καθώς και με τον αριθμό των μη μηδενικών γραμμών.

Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας $A$ που δίνεται από τη σχέση

$A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}$

μπορεί να τεθεί σε μορφή μειωμένης τάξης χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες στοιχειώδεις πράξεις τάξης:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}$

Ο τελικός πίνακας (σε μορφή μειωμένης γραμμής echelon) έχει δύο μη μηδενικές γραμμές και επομένως η τάξη του πίνακα $A$ είναι 2

Υπολογισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν εφαρμόζεται σε υπολογισμούς κινητής υποδιαστολής σε υπολογιστές, η βασική Γκαουσιανή απαλοιφή (LU αποσύνθεση) μπορεί να είναι αναξιόπιστη, και θα πρέπει να χρησιμοποιείται αντ' αυτού μια αποσύνθεση με αποκάλυψη τάξης. Μια αποτελεσματική εναλλακτική λύση είναι η αποσύνθεση μοναδιαίων τιμών (SVD), αλλά υπάρχουν και άλλες λιγότερο δαπανηρές από υπολογιστική άποψη επιλογές, όπως η αποσύνθεση QR με περιστροφή (η λεγόμενη παραγοντοποίηση RRQR), οι οποίες εξακολουθούν να είναι αριθμητικά πιο αξιόπιστες από την απαλοιφή Γκαουσιανού. Ο αριθμητικός προσδιορισμός του βαθμού απαιτεί ένα κριτήριο για να αποφασιστεί πότε μια τιμή, όπως μια μοναδική τιμή από την SVD, θα πρέπει να αντιμετωπιστεί ως μηδέν, μια πρακτική επιλογή που εξαρτάται τόσο από τον πίνακα όσο και από την εφαρμογή.

Αποδείξεις ότι το rank στήλης = row rank[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Απόδειξη με χρήση της μείωσης των γραμμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το γεγονός ότι οι βαθμοί στήλης και γραμμής οποιουδήποτε πίνακα είναι ίσες μορφές είναι θεμελιώδες στη γραμμική άλγεβρα. Έχουν δοθεί πολλές αποδείξεις. Μία από τις πιο στοιχειώδεις έχει περιγραφεί στο Rank from row echelon forms. Ακολουθεί μια παραλλαγή αυτής της απόδειξης:

Είναι προφανές ότι ούτε ο βαθμός γραμμής ούτε ο βαθμός στήλης αλλάζουν από μια στοιχειώδη πράξη γραμμής. Καθώς η απαλοιφή Γκάους προχωρεί με στοιχειώδεις πράξεις γραμμής, η μειωμένη μορφή echelon γραμμής ενός πίνακα έχει τον ίδιο βαθμό γραμμής και τον ίδιο βαθμό στήλης με τον αρχικό πίνακα. Περαιτέρω στοιχειώδεις πράξεις στήλης επιτρέπουν να τεθεί ο πίνακας στη μορφή ενός πίνακα ταυτότητας που ενδεχομένως οριοθετείται από γραμμές και στήλες μηδενικών. Και πάλι, αυτό δεν αλλάζει ούτε την τάξη γραμμής ούτε την τάξη στήλης. Είναι άμεσο ότι τόσο η σειρά όσο και η στήλη αυτού του πίνακα που προκύπτει είναι ο αριθμός των μη μηδενικών καταχωρίσεών του.

Παραθέτουμε δύο άλλες αποδείξεις αυτού του αποτελέσματος. Η πρώτη χρησιμοποιεί μόνο βασικές ιδιότητες των γραμμικών συνδυασμών διανυσμάτων και ισχύει για οποιοδήποτε πεδίο. Η απόδειξη βασίζεται στον Γουάρντλοου (2005).^[9] Η δεύτερη χρησιμοποιεί την ορθογωνιότητα και ισχύει για πίνακες πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς- βασίζεται στον Μάκιου (1995)[4] Και οι δύο αποδείξεις μπορούν να βρεθούν στο βιβλίο των Μπανέρτζι και Ρόι (2014)^[4] Both proofs can be found in the book by Banerjee and Roy (2014).^[10].

Απόδειξη με χρήση γραμμικών συνδυασμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $A$ ένας πίνακας $m \times n$ . Ας είναι η τάξη των στηλών του $A$ είναι $r$ και ας είναι $c 1, ..., c r$ οποιαδήποτε βάση για το χώρο των στηλών του $A$ . Τοποθετήστε τις ως τις στήλες ενός $m \times r$ πίνακα $C$ . Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας $r \times n$ πίνακας $R$ τέτοιος ώστε $A = CR$ . Ο $R$ είναι ο πίνακας του οποίου η $i$ η στήλη σχηματίζεται από τους συντελεστές που δίνουν την $i$ η στήλη του $A$ ως γραμμικό συνδυασμό των $r$ στηλών του $C$ . Με άλλα λόγια, $R$ είναι ο πίνακας που περιέχει τα πολλαπλάσια για τις βάσεις του χώρου στηλών του $A$ (ο οποίος είναι $C$ ), οι οποίοι στη συνέχεια χρησιμοποιούνται για να σχηματίσουν τον $A$ στο σύνολό του. Τώρα, κάθε γραμμή του $A$ δίνεται από έναν γραμμικό συνδυασμό των $r$ γραμμών του $R$ . Επομένως, οι γραμμές του $R$ αποτελούν ένα σύνολο που εκτείνεται στο χώρο γραμμών του $A$ και, σύμφωνα με το λήμμα ανταλλαγής Steinitz, η τάξη γραμμών του $A$ δεν μπορεί να υπερβαίνει το $r$ . Αυτό αποδεικνύει ότι η τάξη γραμμής του $A$ είναι μικρότερη ή ίση με την τάξη στήλης του $A$ . Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιονδήποτε πίνακα, οπότε εφαρμόστε το αποτέλεσμα στην αντιμετάθεση του $A$ .Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιονδήποτε πίνακα, οπότε εφαρμόστε το αποτέλεσμα στην αντιμετάθεση του $A$ . Δεδομένου ότι η τάξη γραμμής του αντιμεταθέτη του $A$ είναι η τάξη στήλης του $A$ και η τάξη στήλης του αντιμεταθέτη του $A$ είναι η τάξη γραμμής του $A$ , αυτό δημιουργεί την αντίστροφη ανισότητα και έχουμε την ισότητα της τάξης γραμμής και της τάξης στήλης του $A$ . (Δείτε επίσης Rank factorization.)

Απόδειξη με ορθογωνιότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $A$ ένας πίνακας $m \times n$ με καταχωρήσεις στους πραγματικούς αριθμούς, του οποίου η τάξη γραμμής είναι $r$ . Επομένως, η διάσταση του χώρου γραμμών του $A$ είναι $r$ . Έστω $x 1, x 2, \dots, x r$ μια βάση του χώρου γραμμών του $A$ . Ισχυριζόμαστε ότι τα διανύσματα $A x 1, A x 2, \dots, A x r$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Θα δούμε γιατί, θεωρούμε μια γραμμική ομογενή σχέση που περιλαμβάνει αυτά τα διανύσματα με κλιμακωτούς συντελεστές $c 1, c 2, \dots, c r$ :

$0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,$

όπου $v = c 1 x 1 + c 2 x 2 + \dots + c r x r$ . μπορούμε να κάνουμε δύο παρατηρήσεις: (a) $v$ είναι γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων στο χώρο γραμμών του $A$ , πράγμα που σημαίνει ότι $v$ ανήκει στο χώρο γραμμών του $A$ , και (b) αφού $A v = 0$ , το διάνυσμα $v$ είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα γραμμής του $A$ και, συνεπώς, είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα στο χώρο γραμμών του $A$ . Τα στοιχεία (a) και (b) μαζί συνεπάγονται ότι το $v$ είναι ορθογώνιο στον εαυτό του, γεγονός που αποδεικνύει ότι $v' = 0$ ή, σύμφωνα με τον ορισμό του $v$ , $c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.$ Αλλά υπενθυμίζουμε ότι τα $x i$ επιλέχθηκαν ως βάση του χώρου γραμμών του $A$ και έτσι είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αυτό συνεπάγεται ότι $c 1 = c 2 = \dots = c r = 0$ . Προκύπτει ότι $A x 1, A x 2, \dots, A x r$ είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Τώρα, κάθε $A x i$ είναι προφανώς ένα διάνυσμα στο χώρο στηλών του $A$ . Έτσι, τα $A x 1, A x 2, \dots, A x r$ είναι ένα σύνολο από $r$ γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα στο χώρο στηλών του $A$ και, επομένως, η διάσταση του χώρου στηλών του $A$ (δηλαδή, ο βαθμός στήλης του $A$ ) πρέπει να είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλος όσο το $r$ . Αυτό αποδεικνύει ότι ο βαθμός γραμμής του Α δεν είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό στήλης του $A$ δεν είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό στήλης του $A$ . Τώρα εφαρμόστε αυτό το αποτέλεσμα στην αντιμετάθεση του $A$ για να πάρετε την αντίστροφη ανισότητα και να καταλήξετε όπως στην προηγούμενη απόδειξη.

Εναλλακτικοί ορισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε όλους τους ορισμούς αυτής της ενότητας, ο πίνακας $A$ θεωρείται ότι είναι ένας $m' \times n$ πίνακας πάνω σε ένα αυθαίρετο πεδίο $F$ .

Διάσταση της εικόνας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεδομένου του πίνακα $A$ , υπάρχει μια σχετική γραμμική απεικόνιση

$f:F^{n}\to F^{m}$

που ορίζεται από

$f(x)=Ax.$ Ο βαθμός του $A$

είναι η διάσταση της εικόνας του $f$ . Αυτός ο ορισμός έχει το πλεονέκτημα ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε γραμμική απεικόνιση, χωρίς να χρειάζεται συγκεκριμένος πίνακας.

Βαθμός ως προς την ακυρότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεδομένης της ίδιας γραμμικής απεικόνισης $f$ όπως παραπάνω, η τάξη είναι $n$ μείον τη διάσταση του πυρήνα της $f$ . Το θεώρημα rank-nullity δηλώνει ότι αυτός ο ορισμός είναι ισοδύναμος με τον προηγούμενο.

Βαθμός στήλης - διάσταση του χώρου των στηλών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο βαθμός του $A$ είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων στηλών $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\dots ,\mathbf {c} _{k}$ του $A$ , αυτή είναι η διάσταση του χώρου στηλών του $A$ (ο χώρος στηλών είναι ο υποχώρος του $F m$ που δημιουργείται από τις στήλες του $A$ , ο οποίος στην πραγματικότητα είναι απλώς η εικόνα της γραμμικής απεικόνισης $f$ που συνδέεται με το $A$ ).

Βαθμός σειράς - διάσταση του χώρου των σειρών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο βαθμός του $A$ είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του $A$ αυτή είναι η διάσταση του χώρου γραμμών του $A$ .

Βαθμός αποσύνθεσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο βαθμός του $A$ είναι ο μικρότερος ακέραιος $k$ ώστε το $A$ να μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως $A=CR$ , όπου $C$ είναι ένας $m \times k$ πίνακας και $R$ είναι ένας $k \times n$ πίνακας. Στην πραγματικότητα, για όλους τους ακέραιους $k$ , τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

η θέση στήλης της $A$ είναι μικρότερη ή ίση με $k$ ,
υπάρχουν $k$ στήλες $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ μεγέθους $m$ έτσι ώστε κάθε στήλη του $A$ να είναι γραμμικός συνδυασμός των $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ ,
υπάρχει ένας $m\times k$ πίνακας $C$ και ένας $k\times n$ πίνακας $R$ τέτοιος ώστε $A=CR$ (όταν $k$ } είναι ο βαθμός, αυτό αποτελεί έναν βαθμό παραγοντοποίησης του $A$ ),
υπάρχουν $k$ γραμμές $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ μεγέθους $n$ έτσι ώστε κάθε γραμμή του $A$ να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ ,
η σειρά κατάταξης της $A$ είναι μικρότερη ή ίση με $k$ .

Πράγματι, οι ακόλουθες ισοδυναμίες είναι προφανείς: $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ . Παραδείγματος χάριν, για να αποδείξουμε το (3) από το (2), θεωρούμε $C$ τον πίνακα του οποίου οι στήλες είναι $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ από το (2). Για να αποδειχθεί το (2) από το (3), θεωρούμε ότι Για να αποδειχθεί το (2) από το (3), θεωρούμε ότι $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ είναι οι στήλες του $C$ .

Από την ισοδυναμία $(1)\Leftrightarrow (5)$ προκύπτει ότι ο βαθμός γραμμής είναι ίσος με τον βαθμό στήλης.

Όπως και στην περίπτωση του χαρακτηρισμού της "διάστασης της εικόνας", αυτό μπορεί να γενικευτεί σε έναν ορισμό του βαθμού οποιουδήποτε γραμμικού χάρτη: ο βαθμός ενός γραμμικού χάρτη $f : V \to W$ } είναι η ελάχιστη διάσταση $k$ ενός ενδιάμεσου χώρου $X$ έτσι ώστε ο $f$ να μπορεί να γραφεί ως η σύνθεση ενός χάρτη $V \to X$ και ενός χάρτη $X \to W$ . Δυστυχώς, αυτός ο ορισμός δεν προτείνει έναν αποδοτικό τρόπο υπολογισμού του βαθμού (για τον οποίο είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί ένας από τους εναλλακτικούς ορισμούς). Για λεπτομέρειες, ανατρέξτε στην ενότητα παραγοντοποίηση βαθμού.

Κατάταξη ως προς τις μοναδικές τιμές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο βαθμός του $A$ ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών μοναδιαίων τιμών, ο οποίος είναι ο ίδιος με τον αριθμό των μη μηδενικών διαγώνιων στοιχείων του Σ στην αποσύνθεση μοναδιαίων τιμών $A=U\Sigma V^{*}$ .

Βαθμός προσδιορισμού - μέγεθος της μεγαλύτερης μη μεταβαλλόμενης ελάσσονος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο βαθμός του $A$ είναι η μεγαλύτερη τάξη οποιουδήποτε μη μηδενικού δευτερεύοντος του $A$ . (Η τάξη ενός δευτερεύοντος είναι το μήκος της πλευράς του τετραγωνικού υποπίνακα του οποίου ο προσδιοριστής είναι). Όπως και ο χαρακτηρισμός του βαθμού διάσπασης, η μέθοδος αυτή δεν επιτρέπει τον αποτελεσματικό υπολογισμό του βαθμού, αλλά είναι χρήσιμη από θεωρητική άποψη: ένας μόνο μη μηδενικός δευτερεύων δίνει στοιχεία για ένα κατώτερο όριο (δηλαδή την τάξη του) για τον βαθμό του πίνακα, το οποίο μπορεί να είναι χρήσιμο (παραδείγματος χάριν) για να αποδειχθεί ότι ορισμένες πράξεις δεν μειώνουν τον βαθμό ενός πίνακα.

Ένας μη εξαφανιζόμενος $p$ -μείζων ( $p' \times p$ υποπίνακας με μη μηδενικό προσδιοριστή) δείχνει ότι οι γραμμές και οι στήλες αυτού του υποπίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες, και επομένως αυτές οι γραμμές και οι στήλες του πλήρους πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες (στον πλήρη πίνακα), οπότε ο βαθμός γραμμής και στήλης είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλος όσο ο προσδιοριστικός βαθμός- ωστόσο, το αντίστροφο είναι λιγότερο απλό. Η ισοδυναμία του προσδιοριστικού βαθμού και του βαθμού στήλης είναι μια ενίσχυση της δήλωσης ότι αν το διάστημα των $n$ διανυσμάτων έχει διάσταση $p$ , τότε $p$ από αυτά τα διανύσματα καλύπτουν το χώρο (ισοδύναμα, ότι μπορεί κανείς να επιλέξει ένα σύνολο κάλυψης που είναι ένα υποσύνολο των διανυσμάτων): η ισοδυναμία συνεπάγεται ότι ένα υποσύνολο των γραμμών και ένα υποσύνολο των στηλών ορίζουν ταυτόχρονα έναν αντιστρέψιμο υποπίνακα (ισοδύναμα, αν το άνοιγμα των $n$ διανυσμάτων έχει διάσταση $p$ , τότε $p$ από αυτά τα διανύσματα καλύπτουν το χώρο και υπάρχει ένα σύνολο $p$ συντεταγμένων στο οποίο είναι γραμμικά ανεξάρτητα).

Βαθμός τανυστών - ελάχιστος αριθμός απλών τανυστών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

O βαθμός του $A$ είναι ο μικρότερος αριθμός $k$ τέτοιος ώστε ο $A$ να μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα πινάκων $k$ βαθμού 1, όπου ένας πίνακας ορίζεται ότι έχει βαθμό 1 εάν και μόνο εάν μπορεί να γραφτεί ως μη μηδενικό γινόμενο $c\cdot r$ ενός διανύσματος στήλης $c$ και ενός διανύσματος γραμμής $r$ . Αυτή η έννοια του βαθμού ονομάζεται βαθμός τανυστή- μπορεί να γενικευτεί στην ερμηνεία των διαχωρίσιμων μοντέλων της αποσύνθεσης μοναδιαίων τιμών.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υποθέτουμε ότι ο $A$ είναι ένας πίνακας $m \times n$ και ορίζουμε τη γραμμική απεικόνιση $f$ ως $f (x) = A x$ όπως παραπάνω.

Ο βαθμός ενός $m \times n$ πίνακα είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος και δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από $m$ ή $n$ . Δηλαδή, $\operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).$ Ένας πίνακας που έχει βαθμό $min(m, n)$ λέγεται ότι έχει πλήρη βαθμό, διαφορετικά, ο πίνακας είναι rank deficient.
Μόνο ένας μηδενικός πίνακας έχει βαθμό μηδέν.
Η $f$ είναι ενέσιμη συνάρτηση (ή "ένα προς ένα") αν και μόνο αν η $A$ έχει βαθμό $n$ (σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η $A$ έχει "πλήρη βαθμό στήλης").
Η $f$ είναι επιφανειακή συνάρτηση (ή "onto") εάν και μόνο εάν η $A$ έχει βαθμό $m$ (σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η $A$ έχει "πλήρη βαθμό σειράς").
Αν $A$ είναι τετραγωνικός πίνακας (δηλαδή, $m = n$ ), τότε $A$ είναι αντιστρέψιμος πίνακας αν και μόνο αν $A$ έχει βαθμό $n$ (δηλαδή, ο $A$ έχει πλήρη βαθμό).
Αν $B$ είναι οποιοσδήποτε $n' \times k$ πίνακας, τότε $\operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).$
Αν $B$ είναι ένας $n' \times k$ πίνακας τάξης $n$ , τότε $\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).$
Αν $C$ είναι ένας $l' \times m$ πίνακας βαθμού $m$ , τότε $\operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).$
Ο βαθμός του $A$ είναι ίσος με $r$ αν και μόνο αν υπάρχει ένας αντιστρέψιμος $m \times m$ πίνακας $X$ και ένας αντιστρέψιμος n × n πίνακας $Y$ τέτοιος ώστε $XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}},$

όπου $I r$ συμβολίζει τον πίνακα ταυτότητας $r \times r$

Ανισότητα βαθμού του Τζέιμς Τζόζεφ: αν $A$ είναι ένας $m \times n$ πίνακας και $B$ είναι n × k, τότε^[ii] $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).$ Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση της επόμενης ανισότητας.
Η ανισότητα που οφείλεται στον Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους: αν τα $AB$ , $ABC$ , $ABC$ και $BC$ ορίζονται, τότε^[iii] $\operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).$
Υποπροσθετικότητα: $\operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)$ όταν $A$ } και $B$ είναι της ίδιας διάστασης. Κατά συνέπεια, ένας πίνακας rank- $k$ μπορεί να γραφεί ως άθροισμα $k$ πινάκων rank-1, αλλά όχι λιγότερων.
Η τάξη ενός πίνακα συν το μηδενικό του πίνακα ισούται με τον αριθμό των στηλών του πίνακα. (Αυτό είναι το θεώρημα του βαθμού μηδενικότητας).
Αν $A$ είναι ένας πίνακας πάνω στους πραγματικούς αριθμούς, τότε η τάξη του $A$ και η τάξη του αντίστοιχου πίνακα Γκραμ είναι ίσες. Έτσι, για πραγματικούς πίνακες $\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).$ Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αποδεικνύοντας την ισότητα των μηδενικών τους χώρων. Ο μηδενικός χώρος του πίνακα Γκραμ δίνεται από τα διανύσματα $x$ για τα οποία $A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.$ Αν αυτή η συνθήκη ικανοποιείται, έχουμε επίσης $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ ^[11]
Αν $A$ είναι ένας πίνακας πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς και ${\overline {A}}$ συμβολίζει τον μιγαδικό συζυγή του $A$ και $A *$ } τον συζυγή αντιμετάθεση του $A$ (δηλ. η ερμαϊκή συζυγής της $A$ ), τότε

$\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).$

Εφαρμογές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια χρήσιμη εφαρμογή του υπολογισμού του βαθμού ενός πίνακα είναι ο υπολογισμός του αριθμού των λύσεων ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Σύμφωνα με το θεώρημα Ρουσέ-Καπέλλι, το σύστημα είναι ασυνεπές αν η τάξη του επαυξημένου πίνακα είναι μεγαλύτερη από την τάξη του πίνακα συντελεστών. Αν από την άλλη πλευρά, οι βαθμοί αυτών των δύο πινάκων είναι ίσοι, τότε το σύστημα πρέπει να έχει τουλάχιστον μία λύση. Η λύση είναι μοναδική εάν και μόνο εάν η τάξη ισούται με τον αριθμό των μεταβλητών. Διαφορετικά, η γενική λύση έχει $k$ ελεύθερες παραμέτρους, όπου $k$ είναι η διαφορά μεταξύ του αριθμού των μεταβλητών και του βαθμού. Στην περίπτωση αυτή (και υποθέτοντας ότι το σύστημα εξισώσεων είναι στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς) το σύστημα εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις.

Στη θεωρία ελέγχου, ο βαθμός ενός πίνακα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθοριστεί αν ένα γραμμικό σύστημα είναι ελέγξιμο ή παρατηρήσιμο.

Στον τομέα της πολυπλοκότητας της επικοινωνίας, ο βαθμός του πίνακα επικοινωνίας μιας συνάρτησης δίνει όρια για το ποσό της επικοινωνίας που απαιτείται από δύο μέρη για τον υπολογισμό της συνάρτησης.

Γενίκευση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις της έννοιας του βαθμού σε πίνακες πάνω σε αυθαίρετους δακτυλίους, όπου ο βαθμός στήλης, ο βαθμός γραμμής, η διάσταση του χώρου των στηλών και η διάσταση του χώρου των γραμμών ενός πίνακα μπορεί να είναι διαφορετικές από τις άλλες ή να μην υπάρχουν.

Θεωρώντας τους πίνακες ως τανυστές, ο βαθμός κατάταξης των τανυστών γενικεύεται σε αυθαίρετους τανυστές- για τανυστές τάξης μεγαλύτερης του 2 (οι πίνακες είναι τανυστές τάξης 2), ο βαθμός κατάταξης είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί, σε αντίθεση με τους πίνακες.

Υπάρχει μια έννοια του βαθμού για ομαλούς χάρτες μεταξύ ομαλών πολλαπλών. Είναι ίση με τη γραμμική τάξη της παραγώγου.

Πίνακες ως τανυστές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο βαθμός των πινάκων δεν πρέπει να συγχέεται με την τάξη των τανυστών, η οποία ονομάζεται βαθμός των τανυστών. Η τάξη τανυστή είναι ο αριθμός των δεικτών που απαιτούνται για να γραφτεί ένας τανυστής, και έτσι όλοι οι πίνακες έχουν τάξη τανυστή 2. Πιο συγκεκριμένα, οι πίνακες είναι τανυστές τύπου (1,1), με έναν δείκτη γραμμής και έναν δείκτη στήλης, που ονομάζονται επίσης συνδιακυμαντική τάξη 1 και αντιμετακυμαντική τάξη 1. Για λεπτομέρειες, δείτε Τανυστής (εγγενής ορισμός).

Η τάξη τανυστή ενός πίνακα μπορεί επίσης να σημαίνει τον ελάχιστο αριθμό απλών τανυστών που απαιτούνται για να εκφραστεί ο πίνακας ως γραμμικός συνδυασμός, και ότι αυτός ο ορισμός συμφωνεί με τον βαθμό του πίνακα, όπως εξετάζεται εδώ.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.
Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd έκδοση). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd έκδοση). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th έκδοση). Orthogonal Publishing L3C. ISBN 978-1-944325-11-4.
Katznelson, Yitzhak· Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd έκδοση). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Undergraduate Texts in Mathematic (3rd έκδοση). Springer. ISBN 3-540-94099-5.

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Alternative notation includes $\rho (\Phi )$ from Katznelson & Katznelson (2008, p. 52, §2.5.1) and Halmos (1974, p. 90, § 50).
↑ Απόδειξη: Εφαρμόζουμε το θεώρημα rank-μηδενικού αριθμού στην ανισότητα $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$
↑ Απόδειξη. Η απεικόνιση $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ είναι καλά ορισμένη και ενέσιμη. Έτσι, λαμβάνουμε την ανισότητα ως προς τις διαστάσεις του πυρήνα, η οποία μπορεί στη συνέχεια να μετατραπεί σε ανισότητα ως προς τις τάξεις μέσω του θεωρήματος rank-nullity. Εναλλακτικά, αν $M$ είναι ένας γραμμικός υποχώρος τότε $\dim(AM)\leq \dim(M)$ - εφαρμόστε αυτή την ανισότητα στον υποχώρο που ορίζεται από το ορθογώνιο συμπλήρωμα της εικόνας του $BC$ στην εικόνα του $B$ , του οποίου η διάσταση είναι $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ , η εικόνα του κάτω από το $A$ έχει διάσταση $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Axler (2015) pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119
↑ ^2,0 ^2,1 Roman (2005) p. 48, § 1.16
↑ Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359
↑ ^4,0 ^4,1 Mackiw, G. (1995), «A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix», Mathematics Magazine 68 (4): 285–286, doi:10.1080/0025570X.1995.11996337
↑ Hefferon (2020) p. 200, ch. 3, Definition 2.1
↑ Katznelson & Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1
↑ Valenza (1993) p. 71, § 4.3
↑ Halmos (1974) p. 90, § 50
↑ Wardlaw, William P. (2005), «Row Rank Equals Column Rank», Mathematics Magazine 78 (4): 316–318, doi:10.1080/0025570X.2005.11953349
↑ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st έκδοση), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
↑ Mirsky, Leonid (1955). An introduction to linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

[5] Alternative notation includes $\rho (\Phi )$ from Katznelson & Katznelson (2008, p. 52, §2.5.1) and Halmos (1974, p. 90, § 50).

[12] Απόδειξη: Εφαρμόζουμε το θεώρημα rank-μηδενικού αριθμού στην ανισότητα $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$

[13] Απόδειξη. Η απεικόνιση $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ είναι καλά ορισμένη και ενέσιμη. Έτσι, λαμβάνουμε την ανισότητα ως προς τις διαστάσεις του πυρήνα, η οποία μπορεί στη συνέχεια να μετατραπεί σε ανισότητα ως προς τις τάξεις μέσω του θεωρήματος rank-nullity. Εναλλακτικά, αν $M$ είναι ένας γραμμικός υποχώρος τότε $\dim(AM)\leq \dim(M)$ - εφαρμόστε αυτή την ανισότητα στον υποχώρο που ορίζεται από το ορθογώνιο συμπλήρωμα της εικόνας του $BC$ στην εικόνα του $B$ , του οποίου η διάσταση είναι $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ , η εικόνα του κάτω από το $A$ έχει διάσταση $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

[1] Axler (2015) pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119

[:0-2] 2,0 ^2,1 Roman (2005) p. 48, § 1.16

[3] Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359

[mackiw-4] 4,0 ^4,1 Mackiw, G. (1995), «A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix», Mathematics Magazine 68 (4): 285–286, doi:10.1080/0025570X.1995.11996337

[6] Hefferon (2020) p. 200, ch. 3, Definition 2.1

[7] Katznelson & Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1

[8] Valenza (1993) p. 71, § 4.3

[9] Halmos (1974) p. 90, § 50

[wardlaw-10] Wardlaw, William P. (2005), «Row Rank Equals Column Rank», Mathematics Magazine 78 (4): 316–318, doi:10.1080/0025570X.2005.11953349

[banerjee-roy-11] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st έκδοση), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

[14] Mirsky, Leonid (1955). An introduction to linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[i]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[ii]

[iii]

[11]