Σφαίρα

Στην στερεομετρία, σφαίρα (ή σφαιρική επιφάνεια) με κέντρο το σημείο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $\rho$ ονομάζεται το στερεό σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του χώρου τα οποία απέχουν από το ${\rm {O}}$ απόσταση $\rho$.

Ισοδύναμα, η σφαίρα είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο. Γενικεύει έτσι τον κύκλο από το επίπεδο στον χώρο.

Ακτίνα μίας σφαίρας ονομάζεται οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα συνδέει το κέντρο της με ένα σημείο της περιέφερειάς του. Διάμετρος μίας σφαί ονομάζεται οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τα άκρα του είναι σημεία του κύκλου.

Η διάμετρος $\delta$ μίας σφαίρας είναι διπλάσια της ακτίνας, $\delta =2\rho$. Τα άκρα μιας διαμέτρου ονομάζονται αντιδιαμετρικά σημεία της σφαίρας.

Ένα σημείο ${\rm {M}}$ λέγεται εσωτερικό της σφαίρας αν ισχύει $\mathrm {MO} <\rho$ και εξωτερικό της αν ισχύει $\mathrm {MO} >\rho$.

Κάθε επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας λέγεται διαμετρικό και η τομή του με την σφαίρα λέγεται μέγιστος κύκλος της σφαίρας.

Η σφαίρα μπορεί επίσης να οριστεί ως το στερεό που προκύπτει από την περιστροφή ενός ημικυκλίου γύρω από την διάμετρό του.

Ορολογία

• Μπάλα: Ονομάζεται το σύνολο των εσωτερικών σημείων μιας σφαίρας. Δηλαδή είναι ο τρισδιάστατος χώρος εντός μιας σφαίρας, αντίστοιχα όπως ο κυκλικός δίσκος είναι η δισδιάστατη επιφάνεια εντός του κύκλου. Μπορεί να είναι κλειστή, δηλαδή να συμπεριλαμβάνει τα σημεία της σφαίρας. Μπορεί να είναι ανοιχτή, δηλαδή να μη συμπεριλαμβάνει τα σημεία της σφαίρας. Η μπάλα καταχρηστικά μπορεί να λεχθεί σφαίρα.
• Συμπαγής σφαίρα: Καταχρηστικός όρος που χρησιμοποιείται αντί του όρου μπάλα.
• Σφαιρικός φλοιός: Σε αντιδιαστολή με τον παραπάνω όρο σημαίνει την επιφάνεια της μπάλας, δηλαδή τη σφαίρα με την αυστηρή μαθηματική έννοια.

Στοιχεία

Μέγιστος κύκλος μίας σφαίρας.

Μικρός κύκλος μίας σφαίρας.

• Όταν η τομή μίας σφαίρας και ενός επιπέδου περίεχει τουλάχιστον ένα σημείο, τότε είναι κύκλος και λέγεται κύκλος της σφαίρας. Όταν το επίπεδο διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας, τότε λέγεται μέγιστος κύκλος, διαφορετικά λέγεται μικρός κύκλος της σφαίρας.

Άξονας (μπλε) και πόλοι (κόκκινο) ενός μικρού κύκλου.

• Η ευθεία που συνδέει το κέντρο ενός τέτοιου κύκλου και είναι κάθετη σε αυτόν λέγεται άξονας του κύκλου. Οι τομές του με την σφαίρα λέγονται πόλοι του κύκλου.

Παράλληλοι κύκλοι σε μία σφαίρα.

• Παράλληλοι κύκλοι λέγονται κύκλοι της σφαίρας των οποίων τα επίπεδα είναι παράλληλα.

Χορδή σφαίρας.

Τόξο σφαίρας.

• Χορδή μίας σφαίρας λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο σημείων μίας σφαίρας.
• Τόξο μεταξύ δύο σημείων της σφαίρας λέγεται το τόξο μεταξύ τους στον μέγιστο κύκλο που ορίζουν.

Ημισφαίριο μίας σφαίρας.

• Ημισφαίριο λέγεται το γεωμετρικό σχήμα που προκύπτει από την τομή μίας σφαιρας και ενός ημιχώρου με αρχικό επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας.

Σφαιρική ζώνη.

Μονοβασική σφαιρική ζώνη.

• Σφαιρική ζώνη λέγεται το τμήμα της επιφάνειας μίας σφαίρας που περιλαμβάνεται μεταξύ δύο παράλληλων κύκλων της σφαίρας. Όταν το ένα επίπεδο εφάπτεται της σφαίρας τότε έχουμε μία μονοβασική σφαιρική ζώνη.
• Σφαιρικό τμήμα λέγεται το στερεό που αποτελείται από μία σφαιρική ζώνη και τους δύο παράλληλους κύκλους που την ορίζουν.

Σφαιρικός δακτύλιος.

Σφαιρικός τομέας.

• Σφαιρικός δακτύλιος είναι το στερεό που προκύπτει από την περιστροφή ενός κυκλικού τμήματος γύρω από μία διάμετρο του κύκλου (η οποία δεν το τέμνει).
• Σφαιρικός τομέας είναι το στερεό που προκύπτει από την περιστροφή ενός κυκλικού τομέα γύρω από μία διάμετρο του κύκλου.

Σφαιρική άτρακτος.

Σφαιρικός όνυχας.

• Σφαιρική άτρακτος είναι η επιφάνεια μίας σφαίρας μεταξύ δύο ημικυκλίων δύο μεγίστων κύκλων με την ίδια διάμετρο.
• Σφαιρικός όνυχας είναι το στερεό που περικλύεται από μία σφαιρική άτρακτο και τα δύο ημικύκλια που την ορίζουν.

Ιδιότητες

• Το κέντρο της σφαίρας είναι κέντρο συμμετρίας της.
• Κάθε διάμετρος της σφαίρας είναι άξονας συμμετρίας της.
• Κάθε διαμετρικό επίπεδο της σφαίρας επίπεδο συμμετρίας της.
• Υπάρχει μοναδική σφαίρα που διέρχεται από τέσσερα μη-συνεπίπεδα σημεία.

Σχετικές θέσεις σημείου και σφαίρας

Έστω ένα σημείο ${\rm {P}}$ και μία σφαίρα $({\rm {O}},\rho )$. Το σημείο μπορεί να βρίσκεται

	Σχήμα	Ονομασία	Απόσταση
μέσα στην σφαίρα		εσωτερικό σημείο της σφαίρας	${\rm {OP}}<\rho$
πάνω στην σφαίρα		σημείο της σφαίρας	${\rm {OP}}=\rho$
έξω από την σφαίρα		εξωτερικό σημείο της σφαίρας	${\rm {OP}}>\rho$

Σχετικές θέσεις ευθείας και σφαίρας

Έστω μία ευθεία $\varepsilon$ και μία σφαίρα $({\rm {O}},\rho )$, και $\delta$ η μεταξύ τους απόσταση. Η ευθεία μπορεί να

	Σχήμα	Ονομασία	Κοινά σημεία	Απόσταση
τέμνει την σφαίρα		τέμνουσα της σφαίρας	δύο	$\delta <\rho$
εφάπτεται με την σφαίρα		εφαπτόμενη της σφαίρας	ένα	$\delta =\rho$
βρίσκεται έξω από την σφαίρα		εξωτερική της σφαίρας	κανένα	$\delta >\rho$

Σχετικές θέσεις σφαίρας και επιπέδου

Έστω ένα επίπεδο και μία σφαίρα $({\rm {O}},\rho )$ και $\delta$ η μεταξύ τους απόσταση. Το επίπεδο μπορεί να

	Σχήμα	Ονομασία	Κοινά σημεία	Απόσταση
τέμνει την σφαίρα		τέμνον της σφαίρα	ένας κύκλος	$\delta <\rho$
εφάπτεται στην σφαίρα		εφαπτόμενο της σφαίρας	ένα	$\delta =\rho$
βρίσκεται έξω από την σφαίρα		εξωτερικό της σφαίρας	κανένα	$\delta >\rho$

Ιδιότητα

• Η τομή μιας σφαίρας με ένα επίπεδο είναι ένας κύκλος.

Απόδειξη  

Σφαίρα και μέγιστος κύκλος.

Έστω δύο τυχαία σημεία αυτής της τομής. Για κάθε ένα από τα δύο σημεία αντιστοιχεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές το ίδιο το σημείο, το κέντρο της σφαίρας και την υποτείνουσα του αποστήματος του επιπέδου από το κέντρο της σφαίρας. Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο ομόλογες πλευρές ίσες, το απόστημα και την ακτίνα της σφαίρας, άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους. Επομένως οι αποστάσεις των δύο σημείων από την υποτείνουσα ισούνται. Τα δύο σημεία είναι τυχαία, άρα όλα τα σημεία της τομής απέχουν από την υποτείνουσα σταθερή απόσταση, άρα ανήκουν εξορισμού σε κύκλο.

Αντίστροφα κάθε αυτού του κύκλου είναι κορυφή ορθογωνίου τριγώνου με τις άλλες κορυφές το κέντρο της σφαίρας και την υποτείνουσα.

Σημείωση: Η μέγιστη δυνατή τιμή ενός τέτοιου κύκλου είναι η ακτίνα της σφαίρας, (αποδεικνύεται με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο). Αυτός ο κύκλος ονομάζεται μέγιστος κύκλος και είναι η τομή της σφαίρας με επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της.

Σχετικές θέσεις δύο σφαιρών

Έστω δύο σφαίρες $({\rm {O_{1}}},R),({\rm {O_{2}}},r)$ με $R\geq r$ και με διάκεντρο $\delta ={\rm {O_{1}O_{2}}}$. Αυτές μπορεί να

	Σχήμα	Κοινά σημεία	Διάκεντρος
είναι ομόκεντρες		άπειρα ($R=r$) κανένα ($R\neq r$)	$\delta =0$
τέμνονται		άπειρα (κύκλος)	$R-r<\delta <R+r$
εφάπτονται εσωτερικά		ένα	$\delta =R-r$
εφάπτονται εξωτερικά		ένα	$\delta =R+r$
βρίσκονται η μία μέσα στην άλλη		κανένα	$\delta <R-r$
βρίσκονται η μία έξω από την άλλη		κανένα	$\delta >R+r$

Ιδιότητες

• Το σχήμα που αποτελείται από δύο σφαίρες έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία που διέρχεται από τα δύο κέντρα, και επίπεδο συμμετρίας, κάθε επίπεδο που την περιέχει.

Εμβαδόν επιφάνειας

Το εμβαδόν της επιφάνειάς μίας σφαίρας ακτίνας $\rho$ ισούται με

${\rm {E}}=4\pi \rho ^{2}$.

Το εμβαδόν της σφαίρας ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας κυκλικού κυλίνδρου ακτίνας και ύψους ίσου με την ακτίνα της σφαίρας, αν εξαιρεθούν οι βάσεις του, όπως απέδειξε ο Αρχιμήδης πάνω από 2200 χρόνια πριν χωρίς τη χρήση του λογισμού.

Απόδειξη με ολοκλήρωση  

Η σφαίρα είναι το στερεό που προκύπτει από την περιστροφή ενός ημικυκλίου γύρω από μία διάμετρό του.

Επομένως το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας ισούται με

${\rm {E}}=\int _{-\rho }^{\rho }2\pi y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dy$,

όπου

$y={\sqrt {\rho ^{2}-x^{2}}}$, για $-\rho \leq x\leq \rho$.

Επομένως,

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{\sqrt {\rho ^{2}-x^{2}}}}$,

άρα

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=\int _{-\rho }^{\rho }2\pi {\sqrt {\rho ^{2}-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{\rho ^{2}-x^{2}}}}}dy\\&=\int _{-\rho }^{\rho }2\pi \rho dy\\&=2\pi \rho y~~{\Big \vert }_{-\rho }^{\rho }\\&=4\pi \rho ^{2}.\end{aligned}}$

Όγκος

Ο όγκος του εσωτερικού μίας σφαίρας ακτίνας $\rho$ ισούται με

${\rm {V}}={\frac {4}{3}}\pi \rho ^{3}$.

Απόδειξη με ολοκλήρωση  

Η σφαίρα είναι το στερεό που προκύπτει από την περιστροφή ενός ημικυκλίου γύρω από μία διάμετρό του.

Επομένως ο όγκος του εσωτερικού της σφαίρας ισούται με

${\rm {V}}=\int _{-\rho }^{\rho }\pi y^{2}dx$,

όπου

$y={\sqrt {\rho ^{2}-x^{2}}}$, για $-\rho \leq x\leq \rho$.

Άρα

${\begin{aligned}{\rm {V}}&=\int _{-\rho }^{\rho }\pi \cdot (\rho ^{2}-x^{2})dx\\&=\pi \cdot \left(\rho ^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigg \vert }_{-\rho }^{\rho }\\&=\pi \cdot \left(\rho ^{3}-{\frac {\rho ^{3}}{3}}+\rho ^{3}-{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right)\\&={\frac {4}{3}}\pi \rho ^{3}.\end{aligned}}$

Αλγεβρική περιγραφή

Με όρους θεωρίας συνόλων η σφαίρα με κέντρο ${\rm {O}}(x_{0},y_{0},z_{0})$ και ακτίνα $\rho$, είναι το σύνολο των σημείων ${\rm {M}}(x,y,z)$, δηλαδή

$\Sigma =\{{\rm {M}}:|{\rm {OM}}|=\rho \}$.

Η εξίσωση, σε Καρτεσιανές συντεταγμένες, είναι

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=\rho ^{2}$.

Σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων η έννοια της σφαίρας εμπεριέχεται στο σύστημα αναφοράς, αν η σφαίρα έχει ως κέντρο την αρχή του συστήματος η εξίσωσή της είναι: $r=\rho$

Οι παραμετρικές εξισώσεις της σφαίρας είναι

$x=x_{0}+\rho \cos \vartheta \cos \varphi$,

$y=y_{0}+\rho \sin \vartheta \cos \varphi$,

$z=z_{0}+\rho \sin \varphi$,

για $\vartheta \in [-\pi ,\pi ]$ και $\varphi \in [-\pi /2,\pi /2]$.

Σφαιρική γεωμετρία

Σφαιρικό τρίγωνο.

Με βάση τη σφαίρα αναπτύχθηκε μια απόλυτη γεωμετρία σε αντιδιαστολή με την επίπεδη. Αρχικά παρουσίαζε εφαρμογές στη ναυσιπλοΐα και την αστρονομία, λόγω της σφαιρικότητας της γης, αλλά αργότερα μελετήθηκε περαιτέρω, γιατί χρειαζόταν στη θεωρητική φυσική και συγκεκριμένα της κοσμολογίας μόλις ανακαλύφθηκε η καμπύλωση του χωροχρόνου. Στη σφαιρική γεωμετρία ορίζονται ως:

• Σημείο: Ένα από τα δύο σημεία που προκύπτουν από την τομή της σφαίρας με ευθεία που διέρχεται από το κέντρο της. Στις πρώτες απόπειρες θεμελίωσης της σφαιρικής γεωμετρίας είχαν ορίσει το ζεύγος των δύο σημείων.
• Ευθεία: Ένας μέγιστος κύκλος.

Τα υπόλοιπα σχήματα ορίζονται με βάση την επιπεδομετρία με εξαίρεση το αξίωμα της παραλληλίας, καθώς στη σφαίρα δεν υπάρχουν μέγιστοι κύκλοι χωρίς κοινά σημεία (άρα από σημείο εκτός ευθείας δε διέρχεται καμία παράλληλος, ενώ το άθροισμα των τριγώνων μπορεί να ισούται να είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από 180°). Στη σφαίρα χρησιμοποιείται το πολικό σύστημα συντεταγμένων, όπως στο επίπεδο χρησιμοποιείται το Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ενώ το μήκος στη σφαιρομετρία μετράται σε ακτίνια ή μοίρες, δηλαδή μονάδες μέτρησης γωνιών.

Στερεά γωνία

Στη φυσική και μηχανική είναι χρήσιμο και ένα άλλο μέγεθος που προκύπτει από τη σφαίρα, η στερεά γωνία. Έστω μια κλειστή καμπύλη ορισμένη πάνω στη σφαίρα. Έστω ${\rm {E}}$ το εμβαδόν της επιφάνειας του σφαιρικού τμήματος που ορίζει (αν η στερεά γωνία είναι κυρτή θεωρούμε το κυρτό τμήμα, αν είναι κοίλη το κοίλο), και $\rho$ η ακτίνα της σφαίρας. Τότε το μέτρο της στερεάς γωνίας είναι

$\alpha ={\frac {\rm {E}}{\rho ^{2}}}$.

Η στερεά γωνία μετράται σε στερεοακτίνια.

Δείτε επίσης

• Κύκλος
• Σφαιρική γεωμετρία