Πίνακας μετασχηματισμού

Στη γραμμική άλγεβρα, οι γραμμικοί μετασχηματισμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με πίνακες. Αν $T$ είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που απεικονίζει $\mathbb {R} ^{n}$ σε $\mathbb {R} ^{m}$ και $\mathbf {x}$ είναι ένα διάνυσμα στήλης με $n$ καταχωρήσεις, τότε

$T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$

για κάποιο $m\times n$ πίνακα $A$ , που ονομάζεται πίνακας μετασχηματισμού του $T$ . Ας σημειωθεί ότι ο $A$ έχει $m$ γραμμές και $n$ στήλες, ενώ ο μετασχηματισμός $T$ είναι από $\mathbb {R} ^{n}$ σε $\mathbb {R} ^{m}$ . Υπάρχουν εναλλακτικές εκφράσεις των πινάκων μετασχηματισμού που περιλαμβάνουν διανύσματα γραμμών και προτιμώνται από ορισμένους συγγραφείς.^[1]^[2].

Χρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι πίνακες επιτρέπουν την εμφάνιση αυθαίρετων γραμμικών μετασχηματισμών σε συνεπή μορφή, κατάλληλη για υπολογισμούς^[3]. Αυτό επιτρέπει επίσης την εύκολη σύνθεση των μετασχηματισμών (πολλαπλασιάζοντας τους πίνακές τους).

Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί δεν είναι οι μόνοι που μπορούν να αναπαρασταθούν με πίνακες. Ορισμένοι μετασχηματισμοί που είναι μη γραμμικοί σε έναν n-διάστατο ευκλείδειο χώρο Rⁿ μπορούν να αναπαρασταθούν ως γραμμικοί μετασχηματισμοί στον n+1-διάστατο χώρο Rⁿ⁺¹.. Αυτοί περιλαμβάνουν τόσο τους συγγενείς μετασχηματισμούς (όπως η μετάθεση) όσο και τους προβολικούς μετασχηματισμούς. Για το λόγο αυτό, οι πίνακες μετασχηματισμού 4×4 χρησιμοποιούνται ευρέως στα τρισδιάστατα γραφικά υπολογιστών. Αυτοί οι n+1-διάστατοι πίνακες μετασχηματισμού ονομάζονται, ανάλογα με την εφαρμογή τους, affine πίνακες μετασχηματισμού, προβολικούς πίνακες μετασχηματισμού ή γενικότερα μη γραμμικοί πίνακες μετασχηματισμού. Σε σχέση με έναν n-διάστατο πίνακα, ένας n+1-διάστατος πίνακας μπορεί να περιγραφεί ως επαυξημένος πίνακας.

Στις φυσικές επιστήμες, ένας ενεργητικός μετασχηματισμός είναι αυτός που αλλάζει πραγματικά τη φυσική θέση ενός συστήματος και έχει νόημα ακόμη και όταν δεν υπάρχει σύστημα συντεταγμένων, ενώ ένας παθητικός μετασχηματισμός είναι μια αλλαγή στην περιγραφή συντεταγμένων του φυσικού συστήματος (αλλαγή βάσης). Η διάκριση μεταξύ ενεργών και παθητικών μετασχηματισμών είναι σημαντική. Εξ ορισμού, με τον όρο μετασχηματισμός, οι μαθηματικοί συνήθως εννοούν ενεργούς μετασχηματισμούς, ενώ οι φυσικοί θα μπορούσαν να εννοούν και τους δύο.

Διαφορετικά, ένας παθητικός μετασχηματισμός αναφέρεται στην περιγραφή του ίδιου αντικειμένου όπως το βλέπουμε από δύο διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων.

Εύρεση του πίνακα ενός μετασχηματισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν έχουμε έναν γραμμικό μετασχηματισμό $T(x)$ σε συναρτησιακή μορφή, είναι εύκολο να προσδιορίσουμε τον πίνακα μετασχηματισμού A μετασχηματίζοντας κάθε ένα από τα διανύσματα της τυπική βάση με τον T και στη συνέχεια εισάγοντας το αποτέλεσμα στις στήλες ενός πίνακα. Με άλλα λόγια, $A={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&T(\mathbf {e} _{2})&\cdots &T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}$

Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση $T(x)=5x$ είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Εφαρμόζοντας την παραπάνω διαδικασία (ας υποθέσουμε ότι n = 2 σε αυτή την περίπτωση) αποκαλύπτεται ότι

$T(\mathbf {x} )=5\mathbf {x} =5I\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}\mathbf {x}$

Η αναπαράσταση του πίνακα των διανυσμάτων και των τελεστών εξαρτάται από την επιλεγμένη βάση- ένας παρόμοιος πίνακας θα προκύψει από μια εναλλακτική βάση. Ωστόσο, η μέθοδος εύρεσης των συνιστωσών παραμένει η ίδια.

Αναλυτικότερα, διάνυσμα $\mathbf {v}$ μπορεί να αναπαρασταθεί σε διανύσματα βάσης, $E={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}$ με τις συντεταγμένες $[\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ :

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}=E[\mathbf {v} ]_{E}$

Τώρα, ας διατυπωθεί το αποτέλεσμα του πίνακα μετασχηματισμού A επί του $\mathbf {v}$ , στη δεδομένη βάση:

${\begin{aligned}A(\mathbf {v} )&=A\left(\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum _{i}{v_{i}A(\mathbf {e} _{i})}\\&={\begin{bmatrix}A(\mathbf {e} _{1})&A(\mathbf {e} _{2})&\cdots &A(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}[\mathbf {v} ]_{E}=A\cdot [\mathbf {v} ]_{E}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Τα $a_{i,j}$ στοιχεία του πίνακα A προσδιορίζονται για μια δεδομένη βάση E εφαρμόζοντας τον A σε κάθε $\mathbf {e} _{j}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &(v_{j}=1)&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ , και παρατηρώντας το διάνυσμα απόκρισης

$A\mathbf {e} _{j}=a_{1,j}\mathbf {e} _{1}+a_{2,j}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n,j}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}.$

Αυτή η εξίσωση ορίζει τα επιθυμητά στοιχεία, $a_{i,j}$ , της j-th στήλης του πίνακα A.^[4]

Ίδια βάση και διαγώνιος πίνακας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύρια άρθρα: διαγώνιος πίνακας και ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Ωστόσο, υπάρχει μια ειδική βάση για έναν τελεστή στον οποίο οι συνιστώσες σχηματίζουν έναν διαγώνιο πίνακα και, επομένως, η πολυπλοκότητα του πολλαπλασιασμού μειώνεται σε $n$ . Το να είναι διαγώνιος σημαίνει ότι όλοι οι συντελεστές $a_{i,j}$ εκτός από τον $a_{i,i}$ είναι μηδενικοί, αφήνοντας μόνο έναν όρο στο άθροισμα ${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ παραπάνω. Τα σωζόμενα διαγώνια στοιχεία, $a_{i,i}$ , είναι γνωστά ως ιδιοτιμές και χαρακτηρίζονται με $\lambda _{i}$ στην εξίσωση ορισμού, η οποία ανάγεται σε $A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$ . Η εξίσωση που προκύπτει είναι γνωστή ως εξίσωση ιδιοτιμών. ^[5] Τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές προκύπτουν από αυτό μέσω του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Με τη διαγωνοποίηση, είναι συχνά δυνατή η μετάφραση από και προς τις ιδιοβάσεις.

Παραδείγματα σε 2 διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι περισσότεροι συνηθισμένοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί που διατηρούν σταθερή την αρχή είναι γραμμικοί, συμπεριλαμβανομένων της περιστροφής, της κλιμάκωσης, της διάτμησης, της ανάκλασης και της ορθογώνιας προβολής- αν ένας συγγενής μετασχηματισμός δεν είναι καθαρή μετάθεση, διατηρεί κάποιο σημείο σταθερό και αυτό το σημείο μπορεί να επιλεγεί ως αρχή για να γίνει ο μετασχηματισμός γραμμικός. Σε δύο διαστάσεις, οι γραμμικοί μετασχηματισμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με τη χρήση ενός πίνακα μετασχηματισμού 2×2.

Τέντωμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια διάταση στο επίπεδο xy είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που μεγεθύνει όλες τις αποστάσεις σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση κατά έναν σταθερό παράγοντα, αλλά δεν επηρεάζει τις αποστάσεις στην κάθετη κατεύθυνση. Εξετάζουμε μόνο τις διατάσεις κατά μήκος του άξονα x και του άξονα y. Ένα τέντωμα κατά μήκος του άξονα x έχει τη μορφή $x' = kx$ ; $y' = y$ για κάποια θετική σταθερά $k$ . (Σημειώστε ότι αν $k > 1$ , τότε πρόκειται πραγματικά για "τέντωμα"- αν $k < 1$ , τεχνικά πρόκειται για "συμπίεση", αλλά εξακολουθούμε να το αποκαλούμε τέντωμα. Επίσης, αν $k = 1$ , τότε ο μετασχηματισμός είναι ταυτότητα, δηλαδή δεν έχει κανένα αποτέλεσμα).

Ο πίνακας που σχετίζεται με μια επιμήκυνση κατά έναν παράγοντα $k$ κατά μήκος του άξονα x δίνεται από:

${\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Παρομοίως, η επιμήκυνση κατά έναν παράγοντα k κατά μήκος του άξονα y έχει τη μορφή $x' = x$ ; $y' = ky$ , οπότε ο πίνακας που σχετίζεται με αυτόν τον μετασχηματισμό είναι

${\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}$

Συμπίεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εάν οι δύο παραπάνω διατάσεις συνδυαστούν με αμοιβαίες τιμές, τότε ο πίνακας μετασχηματισμού αντιπροσωπεύει μια απεικόνιση συμπίεσης:

${\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.$

Ένα τετράγωνο με πλευρές παράλληλες στους άξονες μετατρέπεται σε ορθογώνιο που έχει το ίδιο εμβαδόν με το τετράγωνο. Η αμοιβαία έκταση και συμπίεση αφήνουν το εμβαδόν αναλλοίωτο.

Περιστροφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για περιστροφή κατά γωνία θ αριστερόστροφα (θετική κατεύθυνση) γύρω από την αρχή η συναρτησιακή μορφή είναι $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ και $y'=x\sin \theta +y\cos \theta$ . Γραμμένο σε μορφή πίνακα, αυτό γίνεται:^[6]

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Αντίστοιχα, για δεξιόστροφη περιστροφή (αρνητική κατεύθυνση) γύρω από την αρχή, η συναρτησιακή μορφή είναι $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ και $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ η μορφή του πίνακα είναι:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Οι τύποι αυτοί υποθέτουν ότι ο άξονας "x" δείχνει προς τα δεξιά και ο άξονας "y" προς τα πάνω.

Κοπή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για τη διατμητική απεικόνιση (οπτικά παρόμοια με την κλίση), υπάρχουν δύο δυνατότητες.

Μια διάτμηση παράλληλη προς τον άξονα x έχει $x'=x+ky$ και $y'=y$ . Γραμμένο σε μορφή πίνακα, αυτό μετατρέπεται σε:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Μια διάτμηση παράλληλη προς τον άξονα y έχει $x'=x$ και $y'=y+kx$ , η οποία έχει μορφή πίνακα:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Ορθογώνια προβολή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Προκειμένου να προβληθεί ένα διάνυσμα ορθογώνια σε μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή, έστω $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ ένα διάνυσμα στην κατεύθυνση της ευθείας. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τον πίνακα μετασχηματισμού:

$\mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}$

Όπως και με τις ανακλάσεις, η ορθογώνια προβολή σε μια ευθεία που δεν διέρχεται από την αρχή είναι ένας συγγενής και όχι γραμμικός μετασχηματισμός.

Οι παράλληλες προβολές είναι επίσης γραμμικοί μετασχηματισμοί και μπορούν να αναπαρασταθούν απλά με έναν πίνακα. Ωστόσο, οι προοπτικές προβολές δεν είναι, και για να τις αναπαραστήσουμε με έναν πίνακα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ομογενείς συντεταγμένες.

Παραδείγματα στα τρισδιάστατα γραφικά υπολογιστών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Περιστροφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο πίνακας για την περιστροφή μιας γωνίας θ γύρω από οποιονδήποτε άξονα που ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα (x,y,z) είναι ^[7]

${\begin{bmatrix}xx(1-\cos \theta )+\cos \theta &yx(1-\cos \theta )-z\sin \theta &zx(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &yy(1-\cos \theta )+\cos \theta &zy(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &zz(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Αντανάκλαση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για την ανάκλαση ενός σημείου μέσω ενός επιπέδου $ax+by+cz=0$ (το οποίο διέρχεται από την αρχή), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }$ , όπου $\mathbf {I}$ είναι ο πίνακας ταυτότητας $\mathbf {N}$ είναι το τρισδιάστατο μοναδιαίο διάνυσμα για τη διανυσματική κανονική του επιπέδου. Εάν η L² νόρμα των $a$ , $b$ , και $c$ είναι μονάδα, ο πίνακας μετασχηματισμού μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}$

Ας σημειωθεί ότι πρόκειται για ειδικές περιπτώσεις της ανάκλασης Χάουσχολντερ σε δύο και τρεις διαστάσεις. Μια ανάκλαση γύρω από μια γραμμή ή ένα επίπεδο που δεν διέρχεται από την αρχή δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός - είναι ένας συγγενής μετασχηματισμός - ως πίνακας συγγενών μετασχηματισμών 4×4, μπορεί να εκφραστεί ως εξής (υποθέτοντας ότι η κανονική είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα):

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}$

όπου $d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N}$ για κάποιο σημείο $\mathbf {p}$ στο επίπεδο, ή ισοδύναμα, $ax+by+cz+d=0$ .

Εάν η τέταρτη συνιστώσα του διανύσματος είναι 0 αντί για 1, μόνο η κατεύθυνση του διανύσματος ανακλάται και το μέγεθός του παραμένει αμετάβλητο, σαν να ανακλάται σε ένα παράλληλο επίπεδο που διέρχεται από την αρχή. Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη επειδή επιτρέπει το μετασχηματισμό των διανυσμάτων θέσης και των κανονικών διανυσμάτων με τη χρήση του ίδιου πίνακα. Δείτε τις ομογενείς συντεταγμένες και τους affine μετασχηματισμούς παρακάτω για περαιτέρω εξηγήσεις.

Σύνθεση και αντιστροφή μετασχηματισμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα από τα κύρια κίνητρα για τη χρήση πινάκων για την αναπαράσταση γραμμικών μετασχηματισμών είναι ότι οι μετασχηματισμοί μπορούν εύκολα να συντεθούν και να αντιστραφούν.

Η σύνθεση επιτυγχάνεται με πολλαπλασιασμός πινάκων. Τα διανύσματα γραμμής και στήλης λειτουργούν με πίνακες, οι γραμμές στα αριστερά και οι στήλες στα δεξιά. Δεδομένου ότι το κείμενο διαβάζεται από αριστερά προς τα δεξιά, τα διανύσματα στήλης προτιμώνται όταν συντίθενται πίνακες μετασχηματισμού:

Αν A και B είναι οι πίνακες δύο γραμμικών μετασχηματισμών, τότε το αποτέλεσμα της εφαρμογής πρώτα του A και μετά του B σε ένα διάνυσμα στήλης $\mathbf {x}$ δίνεται από:

$\mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .$

Με άλλα λόγια, ο πίνακας του συνδυασμένου μετασχηματισμού A' που ακολουθείται από B είναι απλώς το γινόμενο των επιμέρους πινάκων.

Όταν ο A είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας, υπάρχει ένας πίνακας A'^-1 που αντιπροσωπεύει έναν μετασχηματισμό που "αναιρεί" τον A αφού η σύνθεσή του με τον A είναι ο πίνακας ταυτότητας. Σε ορισμένες πρακτικές εφαρμογές, η αντιστροφή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας γενικούς αλγορίθμους αντιστροφής ή εκτελώντας αντίστροφες πράξεις (που έχουν προφανή γεωμετρική ερμηνεία, όπως η περιστροφή προς την αντίθετη κατεύθυνση) και στη συνέχεια συνθέτοντάς τες με αντίστροφη σειρά. Οι πίνακες ανάκλασης αποτελούν ειδική περίπτωση, επειδή είναι οι ίδιοι οι αντίστροφες τους και δεν χρειάζεται να υπολογιστούν ξεχωριστά.

Άλλα είδη μετασχηματισμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συγγενείς μετασχηματισμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι affine μετασχηματισμοί στο επίπεδο 2D μπορούν να εκτελεστούν σε τρεις διαστάσεις. Η μετατόπιση γίνεται με διάτμηση παράλληλα προς το επίπεδο xy και η περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα z.

Για την αναπαράσταση συγγενικών μετασχηματισμών με πίνακες, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ομογενείς συντεταγμένες. Αυτό σημαίνει ότι αναπαριστούμε ένα διάνυσμα 2 (x, y) ως διάνυσμα 3 (x, y, 1), και ομοίως για υψηλότερες διαστάσεις. Χρησιμοποιώντας αυτό το σύστημα, η μετάφραση μπορεί να εκφραστεί με πολλαπλασιασμό πινάκων. Η συναρτησιακή μορφή $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ γίνεται:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.$

Όλοι οι συνηθισμένοι γραμμικοί μετασχηματισμοί περιλαμβάνονται στο σύνολο των συγγενικών μετασχηματισμών και μπορούν να περιγραφούν ως μια απλοποιημένη μορφή συγγενικών μετασχηματισμών. Επομένως, κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί από έναν γενικό πίνακα μετασχηματισμού. Ο τελευταίος λαμβάνεται με την επέκταση του αντίστοιχου πίνακα γραμμικών μετασχηματισμών κατά μία γραμμή και στήλη, γεμίζοντας τον επιπλέον χώρο με μηδενικά, εκτός από την κάτω δεξιά γωνία, η οποία πρέπει να τεθεί σε 1. Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας περιστροφής κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού από παραπάνω γίνεται:

${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Με τη χρήση πινάκων μετασχηματισμών που περιέχουν ομογενείς συντεταγμένες, οι μεταθέσεις γίνονται γραμμικές και επομένως μπορούν εύκολα να αναμιχθούν με όλους τους άλλους τύπους μετασχηματισμών. Ο λόγος γι' αυτό είναι ότι το πραγματικό επίπεδο απεικονίζεται στο επίπεδο $w = 1$ στον πραγματικό προβολικό χώρο, και έτσι η μετάθεση στον πραγματικό ευκλείδειο χώρο μπορεί να αναπαρασταθεί ως διάτμηση στον πραγματικό προβολικό χώρο. Αν και η μετάθεση είναι ένας μη γραμμικός μετασχηματισμός σε έναν 2-D ή 3-D ευκλείδειο χώρο που περιγράφεται από καρτεσιανές συντεταγμένες (δηλαδή δεν μπορεί να συνδυαστεί με άλλους μετασχηματισμούς διατηρώντας την αντιμεταθετικότητα και άλλες ιδιότητες), σε έναν 3-D ή 4-D προβολικό χώρο που περιγράφεται από ομογενείς συντεταγμένες γίνεται ένας απλός γραμμικός μετασχηματισμός (διάτμηση).

Περισσότεροι συγγενείς μετασχηματισμοί μπορούν να προκύψουν από τη σύνθεση δύο ή περισσότερων συγγενών μετασχηματισμών. Παραδείγματος χάριν, δεδομένης μιας μετάθεσης T' με διάνυσμα $(t'_{x},t'_{y}),$ μια περιστροφή R' κατά γωνία θ αριστερόστροφη, μια κλιμάκωση S με συντελεστές $(s_{x},s_{y})$ και μια μετατόπιση T του διανύσματος $(t_{x},t_{y}),$ το αποτέλεσμα M του T'RST είναι:^[8]

${\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Όταν χρησιμοποιείτε affine μετασχηματισμούς, η ομογενής συνιστώσα ενός διανύσματος συντεταγμένων (που συνήθως ονομάζεται w) δεν θα μεταβληθεί ποτέ. Επομένως, μπορεί κανείς να υποθέσει με ασφάλεια ότι είναι πάντα 1 και να την αγνοήσει. Ωστόσο, αυτό δεν ισχύει όταν χρησιμοποιούνται προοπτικές προβολές.

Προοπτική προβολή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας άλλος τύπος μετασχηματισμού, σημαντικός στα 3D γραφικά υπολογιστών, είναι η προοπτική προβολή. Ενώ οι παράλληλες προβολές χρησιμοποιούνται για την προβολή σημείων στο επίπεδο της εικόνας κατά μήκος παράλληλων γραμμών, η προοπτική προβολή προβάλλει σημεία στο επίπεδο της εικόνας κατά μήκος γραμμών που ξεκινούν από ένα μόνο σημείο, το οποίο ονομάζεται κέντρο προβολής. Αυτό σημαίνει ότι ένα αντικείμενο έχει μικρότερη προβολή όταν απέχει πολύ από το κέντρο προβολής και μεγαλύτερη προβολή όταν βρίσκεται πιο κοντά (βλέπε επίσης αντίστροφη συνάρτηση).

Η απλούστερη προοπτική προβολή χρησιμοποιεί την αρχή ως κέντρο προβολής και το επίπεδο στο $z=1$ ως επίπεδο εικόνας. Η λειτουργική μορφή αυτού του μετασχηματισμού είναι τότε $x'=x/z$ - $y'=y/z$ . Μπορούμε να το εκφράσουμε αυτό σε ομογενείς συντεταγμένες ως εξής:

${\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}$

Μετά την ολοκλήρωση του πολλαπλασιασμού του πίνακα, η ομογενής συνιστώσα $w_{c}$ θα είναι ίση με την τιμή του $z$ και οι άλλες τρεις δεν θα αλλάξουν. Επομένως, για να αντιστοιχίσουμε πίσω στο πραγματικό επίπεδο πρέπει να εκτελέσουμε την ομογενή διαίρεση ή προοπτική διαίρεση διαιρώντας κάθε συνιστώσα με το $w_{c}$ :

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}$

Πιο περίπλοκες προοπτικές προβολές είναι δυνατόν να δημιουργηθούν συνδυάζοντας αυτή την προβολή με περιστροφές, κλίμακες, μετατοπίσεις και διατμήσεις για να μετακινήσετε το επίπεδο της εικόνας και το κέντρο της προβολής όπου θέλετε.