Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

Στη γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος $(\mathrm {I} ,\rho )$ είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο.

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους $(\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$, $(\mathrm {J_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} })$ και $(\mathrm {J_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })$ που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του $(\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$ είναι το σημείο τομής της διχοτόμου του ${\hat {\rm {A}}}$ και των εξωτερικών διχοτόμων των ${\hat {\rm {B}}}$ και ${\hat {\rm {\Gamma }}}$, και ονομάζεται παράκεντρο.

Εγγεγραμμένος κύκλος

Θεώρημα — Οι εσωτερικές διχοτόμοι ${\rm {A\Delta _{A},B\Delta _{B},\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Αποδείξεις

Απόδειξη (με ιδιότητες διχοτόμων)  

Έστω ${\rm {B\Delta _{B}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ οι διχοτόμοι των γωνιών ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ και ${\rm {I'}}$ το σημείο τομής τους. Από την κύρια ιδιότητα των διχοτόμων, κάθε σημείο της ${\rm {B\Delta _{B}}}$ ισαπέχει από τις πλευρές ${\rm {BA}}$ και ${\rm {B\Gamma }}$. Αντίστοιχα, για την ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$.

Επομένως, το ${\rm {I'}}$ ισαπέχει από τις τρεις πλευρές του τριγώνου και άρα ανήκει και στην διχοτόμου της ${\rm {\hat {A}}}$. Καταλήγουμε ότι ${\rm {I'}}$ είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου.

Απόδειξη (με θεώρημα Τσέβα)  

Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους ${\rm {A\Delta _{A}}}$, ${\rm {B\Delta _{B}}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ ότι

${\rm {{\frac {AB}{A\Gamma }}={\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}},\quad {\rm {{\frac {BA}{B\Gamma }}={\frac {A\Delta _{B}}{\Gamma \Delta _{B}}}\quad }}}}$ και $\quad {\rm {{\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}={\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}.}}$

Επομένως, έχουμε ότι

${\rm {{\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}}\cdot {\frac {\Gamma \Delta _{B}}{A\Delta _{B}}}\cdot {\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}={\frac {AB}{A\Gamma }}\cdot {\frac {B\Gamma }{BA}}\cdot {\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}=1}}$,

και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Ιδιότητες

• Το έγκεντρο ${\rm {I}}$ είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
• Η γωνία των διχοτόμων των ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ίση με $90^{o}+{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Αφού ${\rm {BI}}$ η διχοτόμος της ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\Gamma I}}$ η διχοτόμος της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$, έχουμε ότι ${\rm {\angle IB\Gamma ={\tfrac {\hat {B}}{2}}}}$ και ${\rm {\angle I\Gamma B={\tfrac {\hat {\Gamma }}{2}}}}$. Επομένως, αφού οι γωνίες του τριγώνου ${\rm {BI\Gamma }}$ αθροίζουν στις $180^{o}$

${\rm {\angle AIB=180^{o}-{\frac {{\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}}{2}}=180^{o}-{\frac {180^{o}-{\hat {A}}}{2}}=90^{0}+{\tfrac {\hat {A}}{2}}}}$.

• Αν ${\rm {I_{A},I_{B},I_{\Gamma }}}$ οι προβολές του ${\rm {I}}$ στις πλευρές του τριγώνου, τότε

${\rm {BI_{A}=BI_{\Gamma }=\tau -\beta ,\quad AI_{B}=AI_{\Gamma }=\tau -\alpha ,\quad }}$ και $\quad {\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=\tau -\gamma }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Τα τρίγωνα ${\rm {AII_{B}}}$ και ${\rm {AII_{\Gamma }}}$ είναι ίσα, καθώς ${\rm {AI}}$ κοινή, ${\rm {\angle IAI_{B}=\angle IAI_{\Gamma }={\tfrac {\hat {A}}{2}}}}$ και ${\rm {{\hat {I_{B}}}={\hat {I_{\Gamma }}}=90^{o}}}$. Επομένως, ${\rm {AI_{B}=AI_{\Gamma }=x}}$. Αντίστοιχα, ${\rm {BI_{A}=B_{\Gamma }=y}}$ και ${\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=z}}$.

Επίσης, έχουμε ότι

${\begin{aligned}y+z&=\alpha \\x+z&=\beta \\y+x&=\gamma \end{aligned}}$

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε ότι

$x=\tau -\alpha ,\quad y=\tau -\beta \quad$ και $z=\tau -\gamma$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$.

• Το τρίγωνο ${\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}$ ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne.
• (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AI_{A},BI_{B},\Gamma I_{\Gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• Οι ευθείες ${\rm {IA,IB,I\Gamma }}$ είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του ${\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}$.
• Το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {E} =\tau \cdot \rho$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

• Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

$\rho ={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τύπο

${\rm {E_{AB\Gamma }=E_{ABI}+E_{B\Gamma I}+E_{\Gamma AI}}}$.

Από τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι

${\rm {E_{ABI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ,\quad {\rm {E_{B\Gamma I}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho ,\quad$ και $\quad {\rm {E_{\Gamma AI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho$.

Επομένως,

${\rm {E_{AB\Gamma }={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \beta \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )\cdot \rho =\tau \cdot \rho }}$.

Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ο πρώτος τύπος για το εμβαδόν.

• Επίσης, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δίνεται από τις εξής τριγωνομετρικές σχέσεις

$\rho =\alpha \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \sin {\frac {\Gamma }{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}\cdot \sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}$,

και από

$\rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}=(\tau -\beta )\cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}=(\tau -\gamma )\cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$.

• (Θεώρημα Όιλερ) Αν $(\mathrm {O} ,R)$ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε

$\mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho$.

• (Θεώρημα Καρνό) Αν ${\rm {OM_{A},OM_{B},OM_{\Gamma }}}$ είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε

${\rm {OM_{A}+OM_{B}+OM_{\Gamma }}}=R+\rho$.

• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι $1:1:1$.
• Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι $\alpha :\beta :\gamma$.
• Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι

$\left({\frac {\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)$.

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

Κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$, $({\rm {J_{B}}},\rho _{\rm {B}})$ και $({\rm {J_{\Gamma }}},\rho _{\rm {\Gamma }})$. Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$ έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας ${\rm {\hat {B}}}$ και της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ και της εσωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {A}}}$. Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$ με τις πλευρές ${\rm {B\Gamma ,AB,A\Gamma }}$ συμβολίζονται με ${\rm {I_{A}',I_{A}'',I_{A}'''}}$ αντίστοιχα.

Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

Απόδειξη

Έστω ${\rm {J_{\Gamma }'}}$ το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των ${\rm {\hat {A}}}$ και ${\rm {\hat {B}}}$. Τότε, από την ιδιότητα της διχοτόμου, όλα τα σημεία ισαπέχουν από τις πλευρές της, άρα ${\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'}}$ και ${\rm {J_{A}I_{A}'''=J_{A}I_{A}'}}$. Επομένως, ${\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'''}}$ και έτσι το ${\rm {I_{A}'}}$ είναι σημείο της διχοτόμου του ${\rm {\hat {A}}}$.

Ιδιότητες

• Τα παράκεντρα ${\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}$ είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
• Τα σημεία ${\rm {A,J_{B},J_{\Gamma }}}$ είναι συνευθειακά, καθώς και τα ${\rm {J_{A},B,J_{\Gamma }}}$ και ${\rm {J_{A},J_{B},\Gamma }}$.
• Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ίση με $90^{o}-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Αφού ${\rm {BJ_{A}}}$ και ${\rm {\Gamma J_{A}}}$ είναι εξωτερικές διχοτόμοι, έχουμε ότι

${\rm {\angle J_{A}B\Gamma ={\tfrac {180^{o}-{\hat {B}}}{2}}\quad }}$ και $\quad {\rm {\angle J_{A}\Gamma B={\tfrac {180^{o}-{\hat {\Gamma }}}{2}}}}$.

Από το τρίγωνο ${\rm {B\Gamma J_{A}}}$ έχουμε ότι

${\rm {\angle BJ_{A}\Gamma =180^{o}-{\tfrac {180^{o}-{\hat {B}}}{2}}-{\tfrac {180^{o}-{\hat {\Gamma }}}{2}}={\tfrac {{\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}}{2}}=90^{o}-{\tfrac {\hat {A}}{2}}.}}$

• Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {B}}}$ και της εξωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ${\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Από το τρίγωνο ${\rm {BJ_{A}J_{B}}}$ έχουμε ότι

${\rm {\angle BJ_{A}J_{B}=180^{o}-({\tfrac {\hat {B}}{2}}+{\tfrac {180^{o}-{\hat {B}}}{2}})-(90^{o}-{\tfrac {\hat {A}}{2}})={\tfrac {\hat {A}}{2}}}}$.

• (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• Ισχύει ότι ${\rm {AI_{B}'=AI_{B}''=BI_{A}'=BI_{A}''=\tau -\gamma }}$, ${\rm {AI_{\Gamma }'=AI_{\Gamma }''=\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}''=\tau -\beta }}$ και ${\rm {BI_{\Gamma }'=BI_{\Gamma }''=\Gamma I_{B}'=\Gamma I_{B}''=\tau -\gamma }}$, όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ η ημιπερίμετρος.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Ξεκινάμε παρατηρώντας ότι ${\rm {AI_{A}''=AI_{A}'''}}$ ως τα ευθύγραμμα τμήματα του ${\rm {A}}$ εφαπτόμενα σε κύκλο. Για τον ίδιο λόγο έχουμε ότι ${\rm {BI_{A}''=BI_{A}'}}$ και ${\rm {\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}'''}}$. Επομένως, παίρνουμε το σύστημα

${\begin{aligned}y+\beta &=x+\gamma \\x+y&=\alpha .\end{aligned}}$

Το σύστημα έχει λύση

$x=\tau -\gamma \quad$ και $\quad y=\tau -\beta$.

Αντίστοιχα και για τα υπόλοιπα τμήματα.

• Αν ${\rm {A'}}$ το σημείο τομής της προέκτασης της ${\rm {AI}}$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότε

${\rm {A'B=A'I=A'\Gamma =A'I_{A}}}$.

• (Θεώρημα Όιλερ) Αν $(\mathrm {O} ,R)$ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε

$\mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} }\quad$ και $\quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }$.

• Το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τους τύπους:

${\rm {E=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }},}}$

και

${\rm {E={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}}}$.

• Από τον τύπο του Ήρωνα, η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο

$\rho _{\mathrm {A} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\alpha }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau -\alpha }}},$ $\quad \rho _{\mathrm {B} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\beta }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\tau -\beta }}}\quad$ και $\rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\gamma }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau -\gamma }}}$.

Απόδειξη  

Από το σχήμα έχουμε ότι

${\rm {E_{AB\Gamma }=E_{AJ_{A}I_{A}''}+E_{AJ_{A}I_{A}'''}-E_{BI_{A}'I_{A}''J_{A}}-E_{J_{A}I_{A}'\Gamma I_{A}''}}}$.

Αφού τα τρίγωνα ${\rm {J_{A}I_{A}'B}}$ και ${\rm {J_{A}I_{A}''B}}$ είναι ίσα, έχουμε ότι

${\rm {E_{BI_{A}'I_{A}''J_{A}}=2\cdot E_{BJ_{A}I_{A}''}}}=\rho _{\rm {A}}\cdot x$.

Αντίστοιχα,

${\rm {E_{J_{A}I_{A}'\Gamma I_{A}''}=2\cdot E_{\Gamma J_{A}I_{A}'''}}}=\rho _{\rm {A}}\cdot y$.

Συνδυάζοντας τα παραπάνω και αφού $x+y=\alpha$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\rm {E_{AB\Gamma }}}&={\tfrac {1}{2}}\cdot (\gamma +x)\cdot \rho _{\rm {A}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot (\beta +y)\cdot \rho _{\rm {A}}-\rho _{\rm {A}}\cdot x-\rho _{\rm {A}}\cdot y\\&=\rho _{\rm {A}}\cdot (\tau -\alpha ).\end{aligned}}$

• Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις

$\rho _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}$, $\quad \rho _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\cos {\frac {\Gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}\quad$ και $\quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}$,

και επίσης

$\rho _{\rm {A}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}$, $\quad \rho _{\rm {B}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}\quad$ και $\quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$.

• (Σημείο Νάγκελ) Αν ${\rm {I_{A}',I_{B}',I_{\Gamma }'}}$ τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα ${\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}$ με τις πλευρές ${\rm {A\Gamma ,B\Gamma ,AB}}$ του τριγώνου, τότε τα ${\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}$ συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
• Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ύψη του τριγώνου ${\rm {J_{A}J_{B}J_{\Gamma }}}$.
• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι $\rho _{\rm {A}}+\rho _{\rm {B}}+\rho _{\rm {\Gamma }}=\rho +4R$.
• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι $-1:1:1$, $1:-1:1$ και $1:1:-1$ αντίστοιχα.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Περιγεγραμμένος κύκλος
• Βαρύκεντρο τριγώνου
• Ορθόκεντρο τριγώνου