Σπείρα του Αρχιμήδη

Στα μαθηματικά, η σπείρα του Αρχιμήδη (ή έλικα του Αρχιμήδη) είναι η σπειροειδής καμπύλη της οποίας χαρακτηριστικό είναι ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων παραμένει σταθερή. Ονομάζεται και επίπεδη έλικα.^[1]^[2]^[3]^[4]

Τα σημεία της καμπύλης παράγονται από ένα σημείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια ευθεία η οποία περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

Ο μαθηματικός τύπος, σε πολικές συντεταγμένες, που δίνει την καμπύλη αυτή είναι: $\,r=\alpha +\beta \theta$ , όπου $\alpha$ και $\beta$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Αλλαγή στο $\alpha$ περιστρέφει την σπείρα, ενώ το $\beta$ καθορίζει την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων.

Ο Αρχιμήδης μελέτησε με μεγάλη λεπτομέρεια τις ιδιότητες της επίπεδης έλικας στο έργο του «Περί Ελίκων».^[5] Κάνοντας χρήση των γεωμτρικών ιδιοτήτων της έλικας αυτής, κατάφερε να κατασκευάσει μία λύση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, παρακάμπτοντας έτσι την "αυστηρή κατασκευή" που απαιτούσε αποκλειστικά την χρηση κανόνα και διαβήτη. Ο Αρχιμήδης θεωρείται από τους πρώτους που περιέγραψε σε αυστηρά μαθηματικό πλάισιο το συγκεκριμένο σχήμα. Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν απεικονίσεις του συγκεκριμένου σχήματος της σπείρας ήδη από τα προϊστορικά χρόνια. Μία τέτοια χαρακτηριστική απεικόνιση αποτελεί η τοιχογραφία με τις πολύχρωμες σπείρες που βρέθηκε στο κτίριο Ξεστή 3, στον προϊστορικό οικισμό του Ακρωτηρίου της Σαντορίνης.^[6]^[7]

Παραγωγή της γενικής εξίσωσης της σπείρας

Παρακάτω χρησιμοποιείται μια φυσική προσέγγιση για την κατανόηση της έννοιας των Αρχιμήδειων σπειρών.

Ας υποθέσουμε ότι ένα σημειακό αντικείμενο κινείται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με σταθερή ταχύτητα $v$ και κατευθύνεται παράλληλα στον άξονα $x$ , ως προς το επίπεδο $xy$ . Έστω ότι τη χρονική στιγμή $t = 0$ , το αντικείμενο βρισκόταν σε ένα αυθαίρετο σημείο $(c, 0, 0)$ . Αν το επίπεδο xy περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα $ω$ ως προς τον άξονα $z$ , τότε η ταχύτητα του σημείου ως προς τον άξονα $z$ μπορεί να γραφεί ως εξής:

${\begin{aligned}|v_{0}|&={\sqrt {v^{2}+\omega ^{2}(vt+c)^{2}}}\\v_{x}&=v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\v_{y}&=v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t\end{aligned}}$

Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, έχουμε $vt + c$ που αντιπροσωπεύει το συντελεστή του διανύσματος θέσης του σωματιδίου σε κάθε χρονική στιγμή $t$ , με $v x$ και $v y$ ως τις συνιστώσες της ταχύτητας κατά μήκος των αξόνων x και y, αντίστοιχα.

{\begin{aligned}\int v_{x}\,dt&=x\\\int v_{y}\,dt&=y\end{aligned}}

Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να ολοκληρωθούν με την εφαρμογή της ολοκλήρωσης κατά μέρη, οδηγώντας στις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις:

{\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}

Ο τετραγωνισμός των δύο εξισώσεων και στη συνέχεια η πρόσθεση (και κάποιες μικρές τροποποιήσεις) οδηγεί στην καρτεσιανή εξίσωση ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c$ (χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι $ωt = θ$ και $θ = arctan y / x$ ) ή

\tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}

Η πολική του μορφή είναι

r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c.

Μετρικές σχέσεις

Θεωρούμε την εξής παραμετροποίηση σε καρτεσιανές συντεταγμένες

f(\theta )=(f_{x}(\theta ),f_{y}(\theta ))=(b\theta \cos \theta ,b\theta \sin \theta )

.

Το μήκος της καμπύλης από $\theta =0$ έως $\theta =\phi$ , δίνεται από τη σχέση

{\frac {b}{2}}\left(\phi \,{\sqrt {1+\phi ^{2}}}+\ln \left(\phi +{\sqrt {1+\phi ^{2}}}\right)\right)

.

Απόδειξη

Το μήκος του τόξου δίνεται από το ολοκλήρωμα

\ell (\phi )=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {(f_{x}'(\theta ))^{2}+(f_{y}'(\theta ))^{2}}}\,d\theta .

.

Καθώς

f_{x}'(\theta )=b\cos \theta -b\theta \sin \theta

,

και

f_{y}'(\theta )=b\sin \theta +b\theta \cos \theta

,

έχουμε ότι

{\begin{aligned}&(f_{x}'(\theta ))^{2}+(f_{y}'(\theta ))^{2}\\&\quad =b^{2}\cos ^{2}\theta -2b^{2}\theta \cos \theta \sin \theta +b^{2}\theta ^{2}\sin ^{2}\theta \\&\qquad +b^{2}\sin ^{2}\theta +2b^{2}\theta \cos \theta \sin \theta +b^{2}\theta ^{2}\sin ^{2}\theta \\&\quad =b^{2}+b^{2}\theta ^{2},\end{aligned}}

χρησιμοποιώντας ότι $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ . Επομένως,

\ell (\phi )=b\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\,d\theta

.

Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση $\theta =\tan u$ (άρα $d\theta =\sec ^{2}u\,du$ ) με $\phi =\tan v$ ,

{\phantom {\ell (\phi )}}=b\cdot \int _{0}^{v}{\sqrt {1+\tan ^{2}u}}\cdot \sec ^{2}u\,du

{\phantom {\ell (\phi )}}=b\cdot \int _{0}^{v}{\sqrt {\sec ^{2}u}}\cdot \sec ^{2}u\,du

{\phantom {\ell (\phi )}}=b\cdot \int _{0}^{v}\sec ^{3}u\,du

.

Ολοκληρώνοντας κατά μέλη, καθώς ${\tfrac {d}{du}}\sec u=\sec u\tan u$ και ${\tfrac {d}{du}}\tan u=\sec ^{2}u$ , έχουμε ότι

{\begin{aligned}\int _{0}^{v}\sec ^{3}u\,du&=\sec u\tan u\,{\Big |}_{0}^{v}-\int _{0}^{v}\sec u\tan ^{2}u\,du\\&=\sec u\tan u\,{\Big |}_{0}^{v}-\int _{0}^{v}\sec u\left(\sec ^{2}u-1\right)\,du\\&=\sec u\tan u\,{\Big |}_{0}^{v}-\int _{0}^{v}\sec ^{3}u\,du+\int _{0}^{v}\sec u\,du\\&=\sec v\tan v-\int _{0}^{v}\sec ^{3}u\,du+\ln(\sec v+\tan v).\end{aligned}}

Επειδή $\tan v=\phi$ και $\sec v={\sqrt {1+\phi ^{2}}}$ , αναδιατάσσοντας λαμβάνουμε ότι

\int _{0}^{v}\sec ^{3}u\,du={\frac {1}{2}}\left(\phi {\sqrt {1+\phi ^{2}}}+\ln \left(\phi +{\sqrt {1+\phi ^{2}}}\right)\right)

,

που μας δίνει και τον ζητούμενο τύπο για το $\ell (\phi )$ .

Η καμπυλότητα της δίνεται από τη σχέση

\kappa (\theta )={\frac {\theta ^{2}+2}{b\left(\theta ^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}

.

Μέθοδοι κατασκευής

Η σπείρα του Αρχιμήδη δεν μπορεί να κατασκευαστεί με ακρίβεια με τις παραδοσιακές μεθόδους με κανόνα και διαβήτη, δεδομένου ότι η αριθμητική σπείρα απαιτεί η ακτίνα της καμπύλης να αυξάνεται συνεχώς καθώς αυξάνεται η γωνία στην αρχή. Ωστόσο, μια αριθμητική σπείρα μπορεί να κατασκευαστεί κατά προσέγγιση, σε διάφορους βαθμούς ακρίβειας, με διάφορες μεθόδους χειροκίνητης σχεδίασης. Μια τέτοια μέθοδος χρησιμοποιεί κανόνα και διαβήτη - μια άλλη μέθοδος χρησιμοποιεί διαβήτη με χορδή.

Παραδοσιακή μέθοδος

Η παραδοσιακή κατασκευή χρησιμοποιεί κανόνα και διαβήτη για την προσέγγιση της αριθμητικής σπείρας.^[8]

Πρώτα, κατασκευάζεται ένας μεγάλος κύκλος και η περιφέρειά του υποδιαιρείται από 12 διαμέτρους σε 12 τόξα (των 30 μοιρών το καθένα- βλέπε κανονικό δωδεκάγωνο).
Στη συνέχεια, η ακτίνα αυτού του κύκλου υποδιαιρείται σε 12 μοναδιαία τμήματα (ακτινικές μονάδες) και κατασκευάζεται μια σειρά ομόκεντρων κύκλων, με ακτίνα αυξημένη κατά μία ακτινική μονάδα.
Ξεκινώντας με την οριζόντια διάμετρο και τον εσωτερικότερο ομόκεντρο κύκλο, σημειώνεται το σημείο όπου η ακτίνα του τέμνει την περιφέρειά του. Έπειτα, προχωράμε στον επόμενο ομόκεντρο κύκλο και στην επόμενη διάμετρο (ανεβαίνοντας προς τα πάνω για να κατασκευάσει μια αριστερόστροφη σπείρα ή προς τα κάτω για δεξιόστροφη) για να σημειώσουμε το επόμενο σημείο.
Τέλος, τα διαδοχικά σημεία συνδέονται με μια γραμμή που προσεγγίζει την αριθμητική σπείρα (ή με κάποιου είδους συνεχή καμπύλη - βλέπε Γαλλική καμπύλη).

Βήμα 1ο

Βήμα 2ο

Βήμα 3ο

Βήμα 4ο

Ανάλογα με τον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας, η μέθοδος αυτή μπορεί να βελτιωθεί αυξάνοντας το μέγεθος του μεγάλου εξωτερικού κύκλου, κάνοντας περισσότερες υποδιαιρέσεις τόσο της περιφέρειας όσο και της ακτίνας του και αυξάνοντας τον αριθμό των ομόκεντρων κύκλων (βλ. πολυγωνική σπείρα). Η προσέγγιση της Αρχιμήδειου σπείρας με αυτή τη μέθοδο θυμίζει βέβαια την περίφημη μέθοδο του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του $\pi$ με διπλασιασμό των πλευρών διαδοχικών πολυγώνων (βλ. Πολυγωνική προσέγγιση του $π$ ).

Με σπείρα του Θεοδώρου

Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της σπείρας του Θεόδωρου του Κυρηναίου είναι μια άλλη απλή μέθοδος προσέγγισης της σπείρας του Αρχιμήδη. Η σπείρα αυτή προκύπτει από την κατασκευή ορθογωνίων τριγώνων όπου το κάθε ορθογώνιο μοιράζεται μία κάθετη πλευρά με την υποτείνουσα του προηγούμενου.

Μηχανική μέθοδος

Μια μηχανική μέθοδος για την κατασκευή της αριθμητικής σπείρας χρησιμοποιεί ένα τροποποιημένο διαβήτη, όπου η χορδή τυλίγεται (ή ξετυλίγεται) γύρω από μια σταθερή κεντρική καρφίτσα (που δεν περιστρέφεται), αυξάνοντας (ή μειώνοντας) έτσι το μήκος της ακτίνας (χορδής) καθώς αλλάζει η γωνία (η χορδή τυλίγεται γύρω από τη σταθερή καρφίτσα που δεν περιστρέφεται).^[9] Μια τέτοια μέθοδος είναι ένας απλός τρόπος για τη δημιουργία μιας αριθμητικής σπείρας, που προκύπτει φυσικά από τη χρήση ενός διαβήτη χορδή με περόνη περιέλιξης (και όχι τον χαλαρό άξονα ενός κοινού διαβήτη με χορδή). Το εργαλείο σχεδίασης του διαβήτη με χορδή έχει διάφορες τροποποιήσεις και σχέδια, και αυτή η μέθοδος κατασκευής θυμίζει μεθόδους που βασίζονται στη χορδή για τη δημιουργία ελλείψεων (με δύο σταθερές καρφίτσες).

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Διαδραστική εφαρμογή για την σπείρα του Αρχιμήδη στο Geogebra.
Διαδραστική εφαρμογή για την σπείρα του Αρχιμήδη στο Geogebra.
Διαδραστική εφαρμογή για την σπείρα του Αρχιμήδη στο Desmos.
Η κινηματική γεωμετρία και η σπείρα του Αρχιμήδη Τμήμα Μαθηματικών - Πανεπιστήμιο Αθηνών

Παραπομπές

↑ *Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons. σελ. 164. ISBN 0-471-50458-0.
↑ Gazalé, Midhat J. (1999). Gnomon: From Pharaohs to Fractals. Princeton University Press. σελίδες 168–171. ISBN 978-0-691-00514-0.
↑ Alsina, Claudi· Nelsen, Roger B. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010. σελίδες 145–146. ISBN 978-0-88385-348-1.
↑ Ostermann, Alexander· Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. σελίδες 81–82. ISBN 978-3-642-29163-0.
↑ Heath, Thomas Little (1897). The works of Archimedes. Cambridge University Press. σελ. 167.
↑ Papaodysseus C., Panagopoulos Th., Exarhos M., Fragoulis D., Roussopoulos G., Rousopoulos P., Galanopoulos G., Triantafillou C., Vlachopoulos A., Doumas C.: "Distinct, Late Bronxe Age (c. 1650 bc) Wall-paintings from Akrotiri, Thera, Comprising Advanced Geometrical Patterns", Archaeometry 48 (1), 97–114 (2006).
↑ «In.gr: "Οι μαθηματικοί της Θήρας «αιώνες μπροστά από την εποχή τους»", 01.03.2006». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Νοεμβρίου 2007. Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2007.
↑ Aczel, Janos; Alsina, Claudi (June 1998). «Trisection of Angles, Classical Curves, and Functional Equations». Mathematics Magazine 71 (3): 182–189.
↑ Gardner, Martin (1969). The Unexpected Hanging, and Other Mathematical Diversions. University of Chicago Press, σελ. 103–107.

[1] *Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons. σελ. 164. ISBN 0-471-50458-0.

[2] Gazalé, Midhat J. (1999). Gnomon: From Pharaohs to Fractals. Princeton University Press. σελίδες 168–171. ISBN 978-0-691-00514-0.

[3] Alsina, Claudi· Nelsen, Roger B. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010. σελίδες 145–146. ISBN 978-0-88385-348-1.

[4] Ostermann, Alexander· Wanner, Gerhard (2012). Geometry by Its History. Springer. σελίδες 81–82. ISBN 978-3-642-29163-0.

[5] Heath, Thomas Little (1897). The works of Archimedes. Cambridge University Press. σελ. 167.

[6] Papaodysseus C., Panagopoulos Th., Exarhos M., Fragoulis D., Roussopoulos G., Rousopoulos P., Galanopoulos G., Triantafillou C., Vlachopoulos A., Doumas C.: "Distinct, Late Bronxe Age (c. 1650 bc) Wall-paintings from Akrotiri, Thera, Comprising Advanced Geometrical Patterns", Archaeometry 48 (1), 97–114 (2006).

[7] «In.gr: "Οι μαθηματικοί της Θήρας «αιώνες μπροστά από την εποχή τους»", 01.03.2006». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Νοεμβρίου 2007. Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2007.

[8] Aczel, Janos; Alsina, Claudi (June 1998). «Trisection of Angles, Classical Curves, and Functional Equations». Mathematics Magazine 71 (3): 182–189.

[9] Gardner, Martin (1969). The Unexpected Hanging, and Other Mathematical Diversions. University of Chicago Press, σελ. 103–107.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]