Αντρέ Βέιλ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Αντρέ Βέιλ
Weil.jpg
Γενικές πληροφορίες
Όνομα στη
μητρική γλώσσα
André Weil (Γαλλικά)
Γέννηση6 Μαΐου 1906
Παρίσι
Θάνατος6 Αυγούστου 1998
Πρίνστον
Τόπος ταφήςνεκροταφείο του Πρίνστον (40°21′20″ s. š., 74°39′35″ z. d.)[1][2]
ΕθνικότηταΕβραίοι[3]
Χώρα πολιτογράφησηςΓαλλία
Εκπαίδευση και γλώσσες
Ομιλούμενες γλώσσεςΓαλλικά[4]
ΣπουδέςÉcole Normale Supérieure (1922–1925)[5]
Τμήμα Επιστημών του Παρισιού (έως 1928)[5]
Λύκειο Σαν-Λουί (1918–1922)[3]
Lycée Montaigne (1912–1914)[3]
Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν (1927)[3]
Πληροφορίες ασχολίας
Ιδιότηταμαθηματικός[6]
ιστορικός των μαθηματικών
διδάσκων πανεπιστημίου
ΕργοδότηςΠανεπιστήμιο του Σικάγου (1947–1958)[3]
Πανεπιστήμιο του Σάο Πάολο (1945–1947)[7][3]
Μουσουλμανικό Πανεπιστήμιο Αλιγκάρ (1930–1932)[3]
Πανεπιστήμιο του Στρασβούργου (1932–1939)[3]
Κολέγιο Χάβερφορντ (1941–1943)[3]
Πανεπιστήμιο Λεχάι (1943–1945)[3]
Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών (Πρίνστον) (1958–1976)[3]
Αξιοσημείωτο έργοBorel–Weil theorem
De Rham–Weil theorem
Mordell–Weil theorem
Oka–Weil theorem
Shafarevich–Weil theorem
Borel–Weil–Bott theorem
Weil conjectures
Siegel–Weil formula
Bergman–Weil formula
Chern–Weil theory
Chern–Weil homomorphism
Hasse–Weil zeta function
Weil algebra
Weil group
Mordell-Weil group
Weil–Châtelet group
Weil–Brezin map
Weil's criterion
Weil divisor
Weil–Petersson metric
Weil reciprocity law
Weil restriction
Οικογένεια
ΤέκναSylvie Weil[8]
ΑδέλφιαΣιμόν Βέιλ
Αξιώματα και βραβεύσεις
Βραβεύσειςυποτροφία Γκούγκενχαϊμ (1944 και 1952)[9]
βραβείο Κιότο στις βασικές επιστήμες (1994)[3]
βραβείο Βολφ Μαθηματικών (1979)[3]
βραβείο Λιρόϊ Π. Στιλ (1980)[3]
Μετάλλιο Μπαρνάρντ για την Αξιέπαινη Υπηρεσία προς την Επιστήμη (1980)
αλλοδαπό μέλος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου (1966)[3]
Prix Francoeur (1935)
Cours Peccot (1932)
Commons page Σχετικά πολυμέσα

Ο Αντρέ Βέιλ (γαλλικά: André Weil, γεννήθηκε στις 6 Μαΐου 1906 και απεβίωσε στις 6 Αυγούστου 1998) ήταν Γάλλος μαθηματικός, γνωστός για το θεμελιώδες έργο του στη θεωρία των αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία.[10] Ήταν ένας από τους μαθηματικούς με τη μεγαλύτερη επιρροή του εικοστού αιώνα. Η επιρροή του οφείλεται τόσο στις πρωτότυπες συνεισφορές του σε ένα εντυπωσιακά ευρύ φάσμα μαθηματικών θεωριών, όσο και στο σημάδι που άφησε στη μαθηματική πρακτική και το ύφος, μέσω ορισμένων δικών του έργων καθώς και μέσω της ομάδας Μπουρμπακί[11], της οποίας ήταν ένας από τους κύριους ιδρυτές.

Βιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Αντρέ Βέιλ γεννήθηκε στο Παρίσι από αγνωστικιστές Αλσατούς Εβραίους γονείς που διέφυγαν από την προσάρτηση της Αλσατίας-Λωρραίνης από τη Γερμανική Αυτοκρατορία μετά τον Γαλλοπρωσικό Πόλεμο το 1870-71. Η Σιμόν Βέιλ (φιλόσοφος), η οποία αργότερα θα γινόταν διάσημη φιλόσοφος, ήταν η μικρότερη αδελφή και το μοναδικό αδελφάκι του Βέιλ. Σπούδασε στο Παρίσι, τη Ρώμη και το Γκέτινγκεν και έλαβε το διδακτορικό του το 1928. Κατά τη διάρκεια της παραμονής του στη Γερμανία, ο Βέιλ σύναψε φιλία με τον Καρλ Λούντβιχ Ζίγκελ. Ξεκινώντας το 1930, πέρασε δύο ακαδημαϊκά χρόνια στο Μουσουλμανικό Πανεπιστήμιο του Αλιγκάρ της Ινδίας. Εκτός από τα μαθηματικά, ο Βέιλ είχε δια βίου ενδιαφέροντα για την κλασική ελληνική και λατινική λογοτεχνία, για τον Ινδουισμό και τη σανσκριτική λογοτεχνία: έμαθε μόνος του σανσκριτικά το 1920.[12][13] Μετά από ένα έτος διδασκαλίας στο Πανεπιστήμιο της Αιξ-Μασσαλίας, δίδαξε για έξι χρόνια στο Πανεπιστήμιο του Στρασβούργου. Παντρεύτηκε την Εβελίν ντε Ποσέλ (γεννηθείσα Εβελίν Ζιλέ) το 1937[14].

Ο Βέιλ βρισκόταν στη Φινλανδία όταν ξέσπασε ο Β' Παγκόσμιος Πόλεμος- ταξίδευε στη Σκανδιναβία από τον Απρίλιο του 1939. Η σύζυγός του Εβελίν επέστρεψε στη Γαλλία χωρίς αυτόν. Ο Βέιλ συνελήφθη στη Φινλανδία με την έναρξη του Χειμερινού Πολέμου ως ύποπτος για κατασκοπεία- ωστόσο, οι αναφορές του ότι κινδύνευε η ζωή του αποδείχθηκαν υπερβολικές[15]. Ο Βέιλ επέστρεψε στη Γαλλία μέσω Σουηδίας και Ηνωμένου Βασιλείου και κρατήθηκε στη Χάβρη τον Ιανουάριο του 1940. Κατηγορήθηκε για παράβαση καθήκοντος και φυλακίστηκε στη Χάβρη και στη συνέχεια στη Ρουέν. Κατά την περίοδο Φεβρουαρίου-Μαΐου, στη στρατιωτική φυλακή Μπον-Νουβέλ της Ρουέν, ο Βέιλ δημιούργησε το έργο που του χάριζε τη φήμη του. Δικάστηκε στις 3 Μαΐου 1940. Καταδικασμένος σε πέντε χρόνια, ζήτησε να ενταχθεί σε στρατιωτική μονάδα και του δόθηκε η ευκαιρία να ενταχθεί σε ένα τάγμα στο Χερβούργο. Μετά την πτώση της Γαλλίας τον Ιούνιο του 1940, συναντήθηκε με την οικογένειά του στη Μασσαλία, όπου έφτασε δια θαλάσσης. Στη συνέχεια πήγε στο Κλερμόν-Φεράν, όπου κατάφερε να συναντήσει τη σύζυγό του Εβελίν, η οποία ζούσε στη γερμανοκρατούμενη Γαλλία.

Τον Ιανουάριο του 1941, ο Βέιλ και η οικογένειά του αναχώρησαν από τη Μασσαλία για τη Νέα Υόρκη. Πέρασε το υπόλοιπο του πολέμου στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου στηρίχθηκε από το Ίδρυμα Ροκφέλερ και το Ίδρυμα Γκούγκενχαϊμ. Για δύο χρόνια δίδασκε μαθηματικά σε προπτυχιακό επίπεδο στο Πανεπιστήμιο Lehigh, όπου δεν τον εκτιμούσαν, δούλευε υπερβολικά και πληρωνόταν άσχημα, αν και δεν είχε να ανησυχεί για το ενδεχόμενο να επιστρατευτεί, σε αντίθεση με τους Αμερικανούς φοιτητές του. Παραιτήθηκε από το Lehigh και μετακόμισε στη Βραζιλία, όπου δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Σάο Πάολο από το 1945 έως το 1947, συνεργαζόμενος με τον Όσκαρ Ζαρίσκι. Ο Βέιλ και η σύζυγός του απέκτησαν δύο κόρες, τη Συλβί (γεννημένη το 1942) και τη Νικολέτ (γεννημένη το 1946)[14].

Στη συνέχεια επέστρεψε στις Ηνωμένες Πολιτείες και δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο από το 1947 έως το 1958, πριν μετακομίσει στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών, όπου θα περάσει το υπόλοιπο της καριέρας του. Υπήρξε ομιλητής ολομέλειας στο ICM το 1950 στο Κέιμπριτζ της Μασαχουσέτης[16], το 1954 στο Άμστερνταμ[9] και το 1978 στο Ελσίνκι.[17] Ο Βέιλ εξελέγη ξένο μέλος της Βασιλικής Εταιρείας το 1966. Το 1979 μοιράστηκε το δεύτερο βραβείο Βολφ στα Μαθηματικά με τον Ζαν Λερέ.

Έρευνα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Βέιλ συνέβαλε σημαντικά σε διάφορους τομείς, με σημαντικότερη την ανακάλυψη βαθιών συνδέσεων μεταξύ της αλγεβρικής γεωμετρίας και της θεωρίας αριθμών. Το έργο αυτό ξεκίνησε από τη διδακτορική του εργασία που οδήγησε στο θεώρημα των Μόρντελ-Βέιλ (1928, και εφαρμόστηκε σύντομα στο θεώρημα του Ζίγκελ για τα ολοκληρωτικά σημεία).[18] Το θεώρημα του Μόρντελ είχε μια ad hoc απόδειξη[19]. ο Βέιλ ξεκίνησε το διαχωρισμό του επιχειρήματος της άπειρης καθόδου σε δύο τύπους δομικής προσέγγισης, μέσω συναρτήσεων ύψους για τη διαστασιολόγηση ορθολογικών σημείων και μέσω της συνομολογίας Γκαλουά, η οποία δεν θα κατηγοριοποιούνταν ως τέτοια για άλλες δύο δεκαετίες. Και οι δύο πτυχές του έργου του Βέιλ εξελίχθηκαν σταθερά σε ουσιαστικές θεωρίες.

Μεταξύ των σημαντικότερων επιτευγμάτων του ήταν η απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν τη δεκαετία του 1940 για τις ζ-συναρτήσεις των καμπυλών πάνω από πεπερασμένα πεδία[20] και η επακόλουθη θεμελίωση κατάλληλων βάσεων για την αλγεβρική γεωμετρία για την υποστήριξη αυτού του αποτελέσματος (από το 1942 έως το 1946, πιο εντατικά). Οι λεγόμενες εικασίες Βέιλ είχαν τεράστια επιρροή από το 1950 περίπου- οι ισχυρισμοί αυτοί αποδείχθηκαν αργότερα από τους Μπερνάρ Ντουόρκ,[21] Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ,[22][23][24]Μάικλ Άρτιν και, τέλος, από τον Πιερ Ντελίν, ο οποίος ολοκλήρωσε το πιο δύσκολο βήμα το 1973[25][26][27][28][29] .

Ο Βέιλ εισήγαγε τον δακτύλιο adele[30] στα τέλη της δεκαετίας του 1930, ακολουθώντας το παράδειγμα του Κλοντ Σεβάλλεϊ με τα ideles[31], και έδωσε μια απόδειξη του θεωρήματος Riemann-Roch με αυτά (μια εκδοχή του εμφανίστηκε στο βιβλίο του Βασική Θεωρία Αριθμών το 1967).[32] Το θεώρημα Riemann-Roch του 1938 για τον "διαιρέτη μήτρας" (vector bundle (διανυσματική δέσμη)) ήταν μια πολύ πρώιμη πρόβλεψη μεταγενέστερων ιδεών όπως οι χώροι moduli των δεσμών. Η εικασία Βέιλ για τους αριθμούς Ταμαγκάουα[33] αποδείχθηκε ανθεκτική για πολλά χρόνια. Τελικά η αδελοϊκή προσέγγιση έγινε βασική στη θεωρία αυτομορφικών απεικονίσεων. Πήρε μια άλλη αξιόπιστη εικασία του Βέιλ, γύρω στο 1967, η οποία αργότερα κάτω από την πίεση του Serge Lang (αντίστοιχα του Serre) έγινε γνωστή ως εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα (αντίστοιχα εικασία Τανιγιάμα-Βέιλ), βασισμένη σε ένα πρόχειρα διατυπωμένο ερώτημα του Τανιγιάμα στο συνέδριο Nikkō το 1955. Η στάση του απέναντι στις εικασίες ήταν ότι δεν πρέπει να αποδίδεται ελαφρά τη καρδία μια εικασία ως εικασία, και στην περίπτωση του Τανιγιάμα, τα στοιχεία υπήρχαν μόνο μετά από εκτεταμένη υπολογιστική εργασία που πραγματοποιήθηκε από τα τέλη της δεκαετίας του 1960[34].

Άλλα σημαντικά αποτελέσματα αφορούσαν τη δυαδικότητα Ποντριάγκιν και τη διαφορική γεωμετρία[35]. Εισήγαγε την έννοια του ομοιόμορφου χώρου στη γενική τοπολογία, ως υποπροϊόν της συνεργασίας του με τον Νικολά Μπουρμπακί[11] (του οποίου ήταν ιδρυτής). Το έργο του πάνω στη θεωρία των διαφραγμάτων δεν εμφανίζεται σχεδόν καθόλου στα δημοσιευμένα έγγραφά του, αλλά η αλληλογραφία του με τον Ανρί Καρτάν στα τέλη της δεκαετίας του 1940, η οποία αναδημοσιεύεται στα συγκεντρωτικά του έγγραφα, αποδείχθηκε ιδιαίτερα επιδραστική. Επέλεξε επίσης το σύμβολο ∅, το οποίο προέρχεται από το γράμμα Ø του νορβηγικού αλφαβήτου (το οποίο μόνο ο ίδιος από την ομάδα Μπουρμπάκι γνώριζε), για να αναπαραστήσει το κενό σύνολο[36].

Ο Βέιλ έκανε επίσης μια πολύ σημαντική συνεισφορά στη γεωμετρία του Ριμάν στην πρώτη του δημοσίευση το 1926, όταν έδειξε ότι η κλασική ισοπεριμετρική ανισότητα ισχύει σε μη θετικά καμπύλες επιφάνειες. Έτσι καθιερώθηκε η δισδιάστατη περίπτωση αυτού που αργότερα έγινε γνωστό ως εικασία Καρτάν-Χανταμάρ.

Ανακάλυψε ότι η λεγόμενη αναπαράσταση Βέιλ, η οποία είχε προηγουμένως εισαχθεί στην κβαντομηχανική από τον Ίρβινγκ Σίγκαλ και τον Ντέιβιντ Σέιλ, έδινε ένα σύγχρονο πλαίσιο για την κατανόηση της κλασικής θεωρίας των τετραγωνικών μορφών[37]. Αυτό ήταν επίσης η αρχή μιας ουσιαστικής εξέλιξης από άλλους, συνδέοντας τη θεωρία αναπαράστασης και τις συναρτήσεις θήτα.

Ο Βέιλ ήταν μέλος τόσο της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών[38] όσο και της Αμερικανικής Φιλοσοφικής Εταιρείας[39].

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μαθηματικές εργασίες:

  • Arithmétique et géométrie sur les variétés algébriques (1935)[40]
  • Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale (1937)[41]
  • L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications (1940)
  • Weil, André Foundations of Algebraic Geometry, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1946, ISBN 978-0-8218-1029-3 [42]
  • Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent (1948)
  • Variétés abéliennes et courbes algébriques (1948)[43]
  • Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)
  • Discontinuous subgroups of classical groups (1958) Chicago lecture notes
  • Weil, André (1967), Basic number theory., Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 144, Springer-Verlag New York, Inc., New York, ISBN 3-540-58655-5 [44]
  • Dirichlet Series and Automorphic Forms, Lezioni Fermiane (1971) Lecture Notes in Mathematics, vol. 189[45]
  • Essais historiques sur la théorie des nombres (1975)
  • Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker (1976)[46]
  • Number Theory for Beginners (1979) with Maxwell Rosenlicht[47]
  • Adeles and Algebraic Groups (1982)[48]
  • Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre (1984)[49]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 (Αγγλικά) Find A Grave.
  2. 2,0 2,1 www.cemeteryregister.com/search.asp?id=NJ_PRINCETON.
  3. 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 MacTutor History of Mathematics archive.
  4. Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας: (Γαλλικά) καθιερωμένοι όροι της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας. data.bnf.fr/ark:/12148/cb122797219. Ανακτήθηκε στις 10  Οκτωβρίου 2015.
  5. 5,0 5,1 «André Abraham Weil». MacTutor History of Mathematics archive.
  6. BeWeB. 3849. Ανακτήθηκε στις 4  Φεβρουαρίου 2021.
  7. Ανακτήθηκε στις 3  Ιουλίου 2019.
  8. www.ams.org/journals/notices/201801/rnoti-p54.pdf.
  9. www.gf.org/fellows/all-fellows/andre-weil/.
  10. Horgan, J «Profile: Andre Weil – The Last Universal Mathematician». Scientific American 270 (6): 33–34. 1994. doi:10.1038/scientificamerican0694-33. Bibcode1994SciAm.270f..33H. 
  11. 11,0 11,1 Μάνθος (6 Ιουνίου 2018). «Nicolas Bourbaki: ένας κορυφαίος μαθηματικός που…δεν υπήρξε ποτέ !!!». Ανακτήθηκε στις 20 Μαρτίου 2023. 
  12. Amir D. Aczel,The Artist and the Mathematician, Basic Books, 2009 pp.17ff.,p.25.
  13. Borel, Armand
  14. 14,0 14,1 Ypsilantis, Olivier (31 Μαρτίου 2017). «En lisant " Chez les Weil. André et Simone "». Ανακτήθηκε στις 26 Απριλίου 2020. 
  15. Osmo Pekonen: L'affaire Weil à Helsinki en 1939, Gazette des mathématiciens 52 (avril 1992), pp. 13–20. With an afterword by André Weil.
  16. Weil, André. "Number theory and algebraic geometry." Αρχειοθετήθηκε 30 August 2017 στο Wayback Machine. In Proc. Intern. Math. Congres., Cambridge, Mass., vol. 2, pp. 90–100. 1950.
  17. Weil, A. «History of mathematics: How and why» (PDF). In: Proceedings of International Congress of Mathematicians, (Helsinki, 1978). 1. σελίδες 227–236. Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 9 Οκτωβρίου 2022. 
  18. A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281–315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5 .
  19. L.J. Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc Cam. Phil. Soc. 21, (1922) p. 179
  20. Weil, André «Numbers of solutions of equations in finite fields», Bulletin of the American Mathematical Society 55 (5): 497–508, 1949, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, ISSN 0002-9904  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
  21. Dwork, Bernard «On the rationality of the zeta function of an algebraic variety», American Journal of Mathematics (American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3) 82 (3): 631–648, 1960, doi:10.2307/2372974, ISSN 0002-9327 
  22. Grothendieck, Alexander «The cohomology theory of abstract algebraic varieties», Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958), Cambridge University Press, 1960, σελ. 103–118, http://grothendieckcircle.org/ 
  23. Grothendieck, Alexander «Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L», Séminaire Bourbaki, 9, Paris: Société Mathématique de France, 1995, σελ. 41–55, http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__41_0 
  24. Grothendieck, Alexander Groupes de monodromie en géométrie algébrique, I: Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1967–1969 (SGA 7 I), Lecture Notes in Mathematics, 288, Springer-Verlag, 1972, doi:10.1007/BFb0068688, ISBN 978-3-540-05987-5 
  25. Deligne, Pierre «Formes modulaires et représentations l-adiques», Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347–363, Lecture Notes in Mathematics, 179, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1971, doi:10.1007/BFb0058801, ISBN 978-3-540-05356-9, http://www.numdam.org/item?id=SB_1968-1969__11__139_0 
  26. Deligne, Pierre «La conjecture de Weil. I», Publications Mathématiques de l'IHÉS 43 (43): 273–307, 1974, doi:10.1007/BF02684373, ISSN 1618-1913, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 
  27. Deligne, Pierre Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — Cohomologie étale (SGA 412), Lecture Notes in Mathematics, 569, Berlin: Springer-Verlag, 1977, doi:10.1007/BFb0091516, ISBN 978-0-387-08066-6, http://modular.fas.harvard.edu/sga/sga/4.5/index.html 
  28. Deligne, Pierre «La conjecture de Weil. II», Publications Mathématiques de l'IHÉS 52 (52): 137–252, 1980, doi:10.1007/BF02684780, ISSN 1618-1913, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0 
  29. Deligne, Pierre; Katz, Nicholas ( Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 340, 340, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1973, doi:10.1007/BFb0060505, ISBN 978-3-540-06433-6 
  30. A. Weil, Adeles and algebraic groups, Birkhauser, Boston, 1982
  31. «Adele group - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 20 Μαρτίου 2023. 
  32. Weil, André (1967), Basic number theory., Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 144, Springer-Verlag New York, Inc., New York, ISBN 3-540-58655-5 
  33. Weil, André Exp. No. 186, Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, 5, 1959, σελ. 249–257, http://www.numdam.org/item?id=SB_1958-1960__5__249_0 
  34. Lang, S. "Some History of the Shimura-Taniyama Conjecture." Not. Amer. Math. Soc. 42, 1301–1307, 1995
  35. Borel, A. (1999). «André Weil and Algebraic Topology». Notices of the AMS 46 (4): 422–427. https://www.ams.org/notices/199904/borel.pdf. 
  36. Miller, Jeff (1 Σεπτεμβρίου 2010). «Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic». Jeff Miller Web Pages. Ανακτήθηκε στις 21 Σεπτεμβρίου 2011. 
  37. Weil, A. (1964). «Sur certains groupes d'opérateurs unitaires» (στα γαλλικά). Acta Math. 111: 143–211. doi:10.1007/BF02391012. 
  38. «Andre Weil». www.nasonline.org. Ανακτήθηκε στις 20 Δεκεμβρίου 2021. 
  39. «APS Member History». search.amphilsoc.org. Ανακτήθηκε στις 20 Δεκεμβρίου 2021. 
  40. Ore, Oystein (1936). «Book Review: Arithmétique et Géométrie sur les Variétés Algébriques». Bulletin of the American Mathematical Society 42 (9): 618–619. doi:10.1090/S0002-9904-1936-06368-8. 
  41. Cairns, Stewart S. (1939). «Review: Sur les Espaces à Structure Uniforme et sur la Topologie Générale, by A. Weil». Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1): 59–60. doi:10.1090/s0002-9904-1939-06919-X. https://www.ams.org/journals/bull/1939-45-01/S0002-9904-1939-06919-X/S0002-9904-1939-06919-X.pdf. 
  42. Zariski, Oscar «Review: Foundations of Algebraic Geometry, by A. Weil». Bull. Amer. Math. Soc. 54 (7): 671–675. 1948. doi:10.1090/s0002-9904-1948-09040-1. https://www.ams.org/journals/bull/1948-54-07/S0002-9904-1948-09040-1/S0002-9904-1948-09040-1.pdf. 
  43. Chern, Shiing-shen «Review: Variétés abéliennes et courbes algébriques, by A. Weil». Bull. Amer. Math. Soc. 56 (2): 202–204. 1950. doi:10.1090/s0002-9904-1950-09391-4. 
  44. Weil, André (1974). Basic Number Theory (στα Αγγλικά). doi:10.1007/978-3-642-61945-8. ISBN 978-3-540-58655-5. 
  45. Weil, André (1971), Dirichlet Series and Automorphic Forms: Lezioni Fermiane, Lecture Notes in Mathematics, 189, doi:10.1007/bfb0061201, ISBN 978-3-540-05382-8, ISSN 0075-8434 
  46. Weil, André (1976). Elliptic Functions according to Eisenstein and Kronecker (στα Αγγλικά). doi:10.1007/978-3-642-66209-6. ISBN 978-3-540-65036-2. 
  47. Weil, André (1979). Number Theory for Beginners (στα Αγγλικά). New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-9957-8. ISBN 978-0-387-90381-1. 
  48. Humphreys, James E. «Review of Adeles and Algebraic Groups by A. Weil». Linear & Multilinear Algebra 14 (1): 111–112. 1983. doi:10.1080/03081088308817546. 
  49. Ribenboim, Paulo «Review of Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre, by André Weil». Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 13 (2): 173–182. 1985. doi:10.1090/s0273-0979-1985-15411-4. https://www.ams.org/journals/bull/1985-13-02/S0273-0979-1985-15411-4/S0273-0979-1985-15411-4.pdf. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]