Ανάστροφος πίνακας

Ο ανάστροφος $A^{T}$ ενός πίνακα $A$ δίνεται από την αντανάκλαση των στοιχείων ως προς την κύρια διαγώνιο του πίνακα. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία στον ανάστροφο πίνακα, λαμβάνουμε τον αρχικό, δλδ $(A^{T})^{T}=A$.

Στην γραμμική άλγεβρα, ο ανάστροφος πίνακας $A^{T}$ ενός πίνακα $A$ δίνεται από την αντανάκλαση των στοιχείων ως προς την κύρια διαγώνιο του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν $n\times m$ πίνακα $A$ ο ανάστροφός του είναι ο $m\times n$ πίνακας $A^{T}$, με $(A^{T})_{ij}=A_{ji}$ για κάθε $1\leq i\leq n$ και $1\leq j\leq m$.

Για παράδειγμα, για τον πίνακα $A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}$ με διαστάσεις $3\times 2$ ο ανάστροφός του είναι ο $A^{T}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$ με διαστάσεις $2\times 3$.

Στην γενική περίπτωση:

$A=\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nm}\end{bmatrix}} _{n\times m}\qquad \qquad A^{T}=\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\ldots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\ldots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1m}&A_{2m}&\ldots &A_{nm}\end{bmatrix}} _{m\times n}.$

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα πινάκων, μαζί με τον ανάστροφό τους:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}\qquad A^{T}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\qquad C^{T}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}$

$D={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}\qquad D^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}$

• Ο ανάστροφος του $n\times 1$ διανύσματος στήλης $v$ είναι το $1\times n$ διάνυσμα γραμμής:

$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\qquad$ και $\qquad \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\ldots &v_{n}\end{bmatrix}}$.

• Η αναστροφή του πίνακα γειτνίασης ενός κατευθυνόμενου γράφου αντιστοιχεί στον πίνακα γειτνίασης του γράφου με ακμές που έχουν αντίθετη φορά.

Ιδιότητες

• Ο ανάστροφος του ανάστροφου μας δίνει τον αρχικό πίνακα, $(A^{T})^{T}=A$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε το στοιχείο στην $i$-οστή γραμμή και $j$-οστή στήλη του πίνακα $(A^{T})^{T}$. Από τον ορισμό του άναστροφου έχουμε

$((A^{T})^{T})_{ij}=(A^{T})_{ji}=A_{ij}$.

Επομένως, τα στοιχεία των δύο πινάκων είναι ίσα και έτσι $(A^{T})^{T}=A$.

• Η αναστροφή ενός πίνακα $A\mapsto A^{T}$ είναι γραμμικός μετασχηματισμός στον χώρο των πινάκων με ίδιες διστάσεις. Δηλαδή για κάθε πίνακες $A$, $B$ διαστάσεων $n\times m$ και κάθε στοιχείο $c$, ισχύει ότι $(cA)^{T}=cA^{T}$ και $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$.

Απόδειξη  

Θα δείξουμε ότι τα στοιχείο στην $i$-οστή γραμμή και $j$-οστή στήλη των δύο μελών είναι ίσα:

$((cA)^{T})_{ij}=(cA)_{ji}=cA_{ji}=c(A^{T})_{ij}$,

και αντίστοιχα

$((A+B)^{T})_{ij}=(A+B)_{ji}=A_{ji}+B_{ji}=(A^{T})_{ij}+(B^{T})_{ij}$.

Συνεπώς, η αναστροφή ενός πίνακα είναι γραμμικός μετασχηματισμός.

• Για το γινόμενο δύο πινάκων $A$ και $B$, ισχύει ότι $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$.

Απόδειξη  

Έστω ότι ο πίνακας $A$ έχει διαστάσεις $n\times k$ και ο πίνακας $B$ έχει $k\times m$. Θα αποδείξουμε ότι τα στοιχεία των πινάκων των δύο μελών είναι ίσα. Για το στοιχείο στην $i$-οστή γραμμή και $j$-οστή στήλη, ισχύει ότι

${\begin{aligned}((AB)^{T})_{ij}&=(AB)_{ji}\\&=\sum _{\ell =1}^{k}A_{j\ell }B_{\ell i}\\&=\sum _{\ell =1}^{k}(A^{T})_{\ell j}(B^{T})_{i\ell }\\&=\sum _{\ell =1}^{k}(B^{T})_{i\ell }(A^{T})_{\ell j}\\&=(B^{T}A^{T})_{ij}.\end{aligned}}$

Άρα τα δύο στοιχεία είναι ίσα και επομένως $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$.

• Για έναν αντιστρέψιμο πίνακα $A$, ισχύει ότι ο ανάστροφός του είναι αντιστρέψιμος και $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$.

Απόδειξη  

Από τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα $A^{-1}$, έχουμε ότι

$AA^{-1}=I$,

όπου $I$ είναι ο ταυτοτικός πίνακας. Αφού $I^{T}=I$ παίρνοντας τον ανάστροφο των δύο μελών, έχουμε ότι

$(AA^{-1})^{T}=I^{T}\Rightarrow (A^{-1})^{T}A^{T}=I$.

Συνεπώς, ο $(A^{-1})^{T}$ είναι ο αντίστροφος του $A^{T}$, δηλαδή $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$.

• Για έναν τετραγωνικό πίνακα $A$, το ίχνος $\operatorname {tr} (A^{T})=\operatorname {tr} (A)$.

Απόδειξη  

Έστω ότι ο πίνακας $A$ έχει διαστάσεις $n\times n$. Από τον ορισμό του ίχνους,

$\operatorname {tr} (A^{T})=\sum _{i=1}^{n}(A^{T})_{ii}=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}=\operatorname {tr} (A).$

• Για την ορίζουσα του αναστρέψιμου πίνακα, $\operatorname {det} (A^{T})=\operatorname {det} (A)$.

Σχετικές έννοιες

• Συμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας $A$ με $A^{T}=A$.
• Αντισυμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας $A$ με $A^{T}=-A$.
• Ορθογώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας $A$ με $A^{T}A=AA^{T}$.