Θεμέλια των μαθηματικών

Ο όρος θεμέλια των μαθηματικών αναφέρεται περιληπτικά σε κλάδους των μαθηματικών ή της φιλοσοφίας, στο μέτρο τουλάχιστον που αυτοί ασχολούνται με την ενοποίηση των μαθηματικών θεωριών.

Από τη μεριά των μαθηματικών, ως τέτοιοι κλάδοι θεωρούνται παραδοσιακά η μαθηματική λογική και η θεωρία συνόλων, αλλά και η θεωρία κατηγοριών. Στο χώρο της σύγχρονης φιλοσοφίας, με τη θεμελίωση των μαθηματικών έχουν ασχοληθεί μεταξύ άλλων ο Ράσελ, ο Γουάιτχεντ, ο Γκέντελ, ο Μπράουερ και ο Βίτγκενσταϊν.

Η ορολογία «θεμέλια των μαθηματικών» επινοήθηκε μόλις στα τέλη του 19ου αιώνα, αν και τα θεμέλια αυτά είχαν καθιερωθεί για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους με την ονομασία «λογική του Αριστοτέλη» και εφαρμόστηκαν συστηματικά στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Μια μαθηματική δήλωση θεωρείται αληθής μόνο αν είναι θεώρημα που αποδεικνύεται από αληθείς προκείμενες μέσω μιας ακολουθίας συλλογισμών (κανόνες συμπερασμού), με τις προκείμενες να είναι είτε θεωρήματα που έχουν ήδη αποδειχθεί είτε αυταπόδεικτες δηλώσεις που ονομάζονται αξιώματα ή αρχή στη λογική.

Αυτά τα θεμέλια θεωρήθηκαν εμμέσως οριστικά ως την εισαγωγή του απειροστικού λογισμού από τον Ισαάκ Νεύτωνα και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς τον 17ο αιώνα. Αυτός ο νέος τομέας των μαθηματικών περιελάμβανε νέες μεθόδους συλλογισμού και νέες βασικές έννοιες (συνεχείς συναρτήσεις, παράγωγοι, όρια) που ήταν αβάσιμες, αλλά οι οποίες είχαν εκπληκτικές συνέπειες, όπως το συμπέρασμα από το νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα ότι οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις.

Κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα, σημειώθηκε πρόοδος στην ανάπτυξη ακριβών ορισμών των βασικών εννοιών του απειροστικού λογισμού, ιδίως των φυσικών και πραγματικών αριθμών. Αυτό οδήγησε σε μια σειρά φαινομενικά παράδοξων μαθηματικών αποτελεσμάτων προς το τέλος του 19ου αιώνα, τα οποία έθεσαν υπό αμφισβήτηση τη γενική εμπιστοσύνη στην αξιοπιστία και την ειλικρίνεια των μαθηματικών αποτελεσμάτων. Αυτό έγινε γνωστό ως η κρίση των θεμελίων των μαθηματικών.

Η επίλυση αυτής της κρίσης προκάλεσε την εμφάνιση ενός νέου μαθηματικού κλάδου που ονομάζεται μαθηματική λογική, ο οποίος περιλαμβάνει τη θεωρία συνόλων, τη θεωρία μοντέλων, τη θεωρία αποδείξεων, τη θεωρία της υπολογισιμότητας και της υπολογιστικής πολυπλοκότητας και, πιο πρόσφατα, τμήματα της επιστήμης των υπολογιστών. Στη συνέχεια, οι επακόλουθες ανακαλύψεις του 20ού αιώνα σταθεροποίησαν τα θεμέλια των μαθηματικών σε ένα συνεκτικό πλαίσιο που ισχύει για όλα τα μαθηματικά. Το πλαίσιο αυτό βασίζεται στη συστηματική χρήση της αξιωματικής μεθόδου και στη θεωρία συνόλων, ιδίως στη θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ με το αξίωμα της επιλογής.

Το αποτέλεσμα είναι ότι οι βασικές μαθηματικές έννοιες, όπως οι αριθμοί, τα σημεία, οι γραμμές και οι γεωμετρικοί χώροι, δεν ορίζονται ως αφαιρέσεις της πραγματικότητας, αλλά με βάση θεμελιώδεις ιδιότητες (αξιώματα). Η αντιστοιχία τους με τη φυσική τους προέλευση δεν ανήκει πλέον στα μαθηματικά, αν και η σχέση τους με την πραγματικότητα εξακολουθεί να χρησιμοποιείται για να καθοδηγεί τη μαθηματική διαίσθηση: η φυσική πραγματικότητα εξακολουθεί να χρησιμοποιείται από τους μαθηματικούς για να επιλέγουν αξιώματα, να ανακαλύπτουν ποια θεωρήματα είναι ενδιαφέρον να αποδειχθούν και να λαμβάνουν ενδείξεις για πιθανές αποδείξεις.

Αρχαία Ελλάδα

Περαιτέρω πληροφορίες: Ελληνικά Μαθηματικά και Ελληνική Φιλοσοφία

Οι περισσότεροι πολιτισμοί ανέπτυξαν κάποια μαθηματικά, κυρίως για πρακτικούς σκοπούς, όπως η καταμέτρηση (έμποροι), η τοπογραφία (οριοθέτηση αγρών), η προσωδία, η αστρονομία και η αστρολογία. Φαίνεται ότι οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι ήταν οι πρώτοι που μελέτησαν τη φύση των μαθηματικών και τη σχέση τους με τον πραγματικό κόσμο.

Ο Ζήνων ο Ελεάτης (περ. 490 - περ. 430 π.Χ.) παρήγαγε διάφορα παράδοξα που χρησιμοποίησε για να υποστηρίξει τη θέση του ότι η κίνηση δεν υπάρχει. Τα παράδοξα αυτά αφορούν το μαθηματικό άπειρο, μια έννοια που ήταν έξω από τα μαθηματικά θεμέλια της εποχής εκείνης και δεν είχε γίνει καλά κατανοητή πριν από το τέλος του 19ου αιώνα.

Η Πυθαγόρεια σχολή των μαθηματικών αρχικά επέμενε ότι οι μόνοι αριθμοί ήταν οι φυσικοί αριθμοί και οι λόγοι των φυσικών αριθμών. Η ανακάλυψη (γύρω στον 5ο αιώνα π.Χ.) ότι ο λόγος μεταξύ της διαγωνίου ενός τετραγώνου και της πλευράς του δεν είναι ο λόγος δύο φυσικών αριθμών ήταν μια έκπληξη, την οποία δέχτηκαν διστακτικά. Αυτό αντικατοπτρίζεται στη σύγχρονη ορολογία του άρρητου αριθμού για τον χαρακτηρισμό ενός αριθμού που δεν είναι πηλίκο δύο ακεραίων αριθμών, καθώς «άρρητος» σήμαινε αρχικά «παράλογος» ή «απρόσιτος με τη λογική»

Το γεγονός ότι οι αναλογίες μήκους δεν αναπαρίστανται με ρητούς αριθμούς επιλύθηκε από τον Εύδοξο της Κνίδου (408-355 π.Χ.), μαθητή του Πλάτωνα, ο οποίος μείωσε τη σύγκριση δύο άρρητων αναλογιών σε συγκρίσεις ακέραιων πολλαπλάσιων των εμπλεκόμενων μεγεθών. Η μέθοδός του πρόλαβε εκείνη των περικοπών του Ντέντεκιντ στον σύγχρονο ορισμό των πραγματικών αριθμών από τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ (1831-1916)- βλέπε Εύδοξος ο Κνίδιος § Αναλογίες του Εύδοξου.

Στα Ἀναλυτικὰ Ὕστερα ο Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.) καθόρισε τη λογική που επιτρέπει την οργάνωση ενός πεδίου γνώσης μέσω πρωταρχικών εννοιών, αξιωμάτων, ορισμών και θεωρημάτων. Ο Αριστοτέλης άντλησε τα περισσότερα παραδείγματά του από την αριθμητική και τη γεωμετρία, και η λογική του λειτούργησε ως θεμέλιο των μαθηματικών για αιώνες. Η μέθοδος αυτή μοιάζει με τη σύγχρονη αξιωματική μέθοδο, αλλά με μια σημαντική φιλοσοφική διαφορά: τα αξιώματα και τα αξιώματα έπρεπε να είναι αληθή, δηλαδή αυταπόδεικτα ή αποτέλεσμα πειραμάτων, ενώ η αξιωματική μέθοδος δεν προϋποθέτει καμία αλήθεια εκτός από την ορθότητα της απόδειξης. Έτσι, για τον Αριστοτέλη, ένα θεώρημα που έχει αποδειχθεί είναι αληθές, ενώ στην αξιωματική μέθοδο, η απόδειξη απλώς δηλώνει ότι τα αξιώματα συνεπάγονται τη διατύπωση του θεωρήματος.

Η λογική του Αριστοτέλη έφτασε στο αποκορύφωμά της μαζί με τα Στοιχεία του Ευκλείδη (300 π.Χ.), μια μαθηματική πραγματεία δομημένη σύμφωνα με πολύ υψηλά πρότυπα αυστηρότητας: ο Ευκλείδης δικαιολογεί κάθε πρόταση με μια απόδειξη με τη μορφή αλυσίδων συλλογισμών (αν και δεν είναι πάντα αυστηρά σύμφωνες με τα αριστοτελικά πρότυπα). Η συλλογιστική λογική του Αριστοτέλη και η απεικόνισή της στα Στοιχεία του Ευκλείδη αναγνωρίζονται ως επιστημονικά επιτεύγματα της αρχαίας Ελλάδας και παρέμειναν τα θεμέλια των μαθηματικών για αιώνες.

Πριν από τον απειροστικό λογισμό

Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, τα Στοιχεία του Ευκλείδη αποτελούσαν μια απόλυτα σταθερή βάση για τα μαθηματικά, και η φιλοσοφία των μαθηματικών επικεντρώνονταν στην οντολογική κατάσταση των μαθηματικών εννοιών. Το ερώτημα ήταν αν αυτές υπάρχουν ανεξάρτητα από την αντίληψη (ρεαλισμός) ή μόνο μέσα στο μυαλό (εννοιολογισμός), ή ακόμα και αν είναι απλά ονόματα συλλογών μεμονωμένων αντικειμένων (ονοματισμός).

Στα Στοιχεία, οι μόνοι αριθμοί που λαμβάνονται υπόψιν είναι οι φυσικοί αριθμοί και οι αναλογίες μηκών. Αυτή η γεωμετρική άποψη των μη ακέραιων αριθμών παρέμεινε κυρίαρχη μέχρι το τέλος του Μεσαίωνα, αν και η άνθηση της άλγεβρας οδήγησε στην εξέτασή τους ανεξάρτητα από τη γεωμετρία, γεγονός που υπονοεί την ύπαρξη θεμελιωδών αρχών των μαθηματικών. Παραδείγματος χάριν, οι μετασχηματισμοί εξισώσεων που εισήγαγε ο Αλ-Χουαρίζμι και οι κυβικές και τεταρτοβάθμιες εξισώσεις που ανακαλύφθηκαν τον 16ο αιώνα είναι αποτέλεσμα αλγεβρικών χειρισμών που δεν έχουν γεωμετρικό αντίστοιχο.

Ωστόσο, αυτό δεν αμφισβήτησε τα κλασικά θεμέλια των μαθηματικών, καθώς όλες οι ιδιότητες των αριθμών που χρησιμοποιήθηκαν μπορούν να συναχθούν από τον γεωμετρικό τους ορισμό.

Το 1637, ο Ρενέ Ντεκάρτ δημοσίευσε το έργο La Géométrie, στο οποίο έδειξε ότι η γεωμετρία μπορεί να αναχθεί στην άλγεβρα μέσω των συντεταγμένων, που είναι αριθμοί που καθορίζουν τη θέση ενός σημείου. Αυτό δίνει στους αριθμούς που ονόμασε πραγματικούς αριθμούς έναν πιο θεμελιώδη ρόλο (πριν από αυτόν, οι αριθμοί ορίζονταν ως ο λόγος δύο μηκών). Το βιβλίο του Ντεκάρτ έγινε διάσημο μετά το 1649 και άνοιξε το δρόμο για τον απειροστικό λογισμό.

Απειροστικός λογισμός

Ο Ισαάκ Νεύτων (1642-1727) στην Αγγλία και ο Λάιμπνιτς (1646-1716) στη Γερμανία ανέπτυξαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο τον απειροστικό λογισμό για να επεξεργαστούν τα κινούμενα σημεία (όπως οι πλανήτες στον ουρανό) και τις μεταβλητές ποσότητες.

Αυτό απαιτούσε την εισαγωγή νέων εννοιών, όπως συνεχείς συναρτήσεις, παράγωγα και όρια. Για να αντιμετωπιστούν αυτές οι έννοιες με λογικό τρόπο, ορίστηκαν με βάση τα απειροελάχιστα, που είναι υποθετικοί αριθμοί που είναι άπειρα κοντά στο μηδέν. Οι ισχυρές επιπτώσεις του απειροελάχιστου λογισμού στα θεμέλια των μαθηματικών απεικονίζονται σε ένα φυλλάδιο του προτεσταντικού φιλόσοφου Τζορτζ Μπέρκλεϊ (1685–1753), ο οποίος έγραψε: «Τα απειροελάχιστα δεν είναι ούτε πεπερασμένες ποσότητες, ούτε άπειρα μικρές ποσότητες, ούτε και τίποτα. Μήπως θα μπορούσαμε να τα ονομάσουμε φαντάσματα των χαμένων ποσοτήτων;».

Επίσης, συχνά έχει επικαλεστεί η έλλειψη αυστηρότητας, επειδή τα απειροελάχιστα και οι σχετικές έννοιες δεν είχαν οριστεί τυπικά (ούτε οι γραμμές και τα επίπεδα είχαν οριστεί τυπικά, αλλά οι άνθρωποι ήταν πιο εξοικειωμένοι με αυτά). Οι πραγματικοί αριθμοί, οι συνεχείς συναρτήσεις και οι παράγωγοι δεν είχαν οριστεί τυπικά πριν από τον 19ο αιώνα, όπως και η ευκλείδεια γεωμετρία. Μόνο τον 20ο αιώνα δόθηκε ένας επίσημος ορισμός των απειροελάχιστων, με την απόδειξη ότι το σύνολο των απειροελάχιστων μπορεί να συναχθεί από αυτά.

Παρά την έλλειψη σταθερών λογικών θεμελίων, ο απειροελάχιστος λογισμός υιοθετήθηκε γρήγορα από τους μαθηματικούς και επικυρώθηκε από τις πολυάριθμες εφαρμογές του, ιδίως από το γεγονός ότι οι τροχιές των πλανητών μπορούν να συναχθούν από τον Νόμος της παγκόσμιας έλξης.

19ος αιώνας

Τον 19ο αιώνα, τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν γρήγορα προς πολλές κατευθύνσεις. Αρκετά από τα προβλήματα που εξετάστηκαν οδήγησαν σε ερωτήματα σχετικά με τα θεμέλια των μαθηματικών. Συχνά, οι προτεινόμενες λύσεις οδηγούσαν σε περαιτέρω ερωτήματα που συχνά ήταν ταυτόχρονα φιλοσοφικής και μαθηματικής φύσης. Όλα αυτά τα ερωτήματα οδήγησαν, στο τέλος του 19ου αιώνα και στις αρχές του 20ού αιώνα, σε συζητήσεις που ονομάστηκαν θεμελιώδης κρίση των μαθηματικών. Στις υποενότητες που ακολουθούν περιγράφονται τα κυριότερα τέτοια θεμελιώδη προβλήματα που αποκαλύφθηκαν κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα.

Πραγματική ανάλυση

Δείτε επίσης: Μαθηματική ανάλυση#Ιστορικό

Ο Κωσύ (1789–1857) ξεκίνησε το έργο της δημιουργίας αυστηρών βάσεων για τον απειροστικό λογισμό. Συγκεκριμένα, απέρριψε την ευρετική αρχή που ονόμασε γενικότητα της άλγεβρας, η οποία συνίστατο στην εφαρμογή ιδιοτήτων αλγεβρικών πράξεων σε άπειρες ακολουθίες χωρίς κατάλληλες αποδείξεις. Στο έργο του Cours d'Analyse (1821), εξέτασε πολύ μικρές ποσότητες, οι οποίες σήμερα θα μπορούσαν να ονομαστούν «επαρκώς μικρές ποσότητες». Δηλαδή, μια πρόταση όπως «αν το x είναι πολύ μικρό τότε...» πρέπει να εννοηθεί ότι «υπάρχει ένας (επαρκώς μεγάλος) φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε |x| < 1/n"». Στις αποδείξεις του χρησιμοποίησε αυτό με τρόπο που προηγήθηκε του σύγχρονου (ε, δ)-ορισμού του ορίου.

Ο σύγχρονος (ε, δ)-ορισμός των ορίων και των συνεχών συναρτήσεων αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Μπολτσάνο το 1817, αλλά παρέμεινε σχετικά άγνωστος, και ο Κωσύ πιθανότατα γνώριζε το έργο του Μπολτσάνο.

Ο Καρλ Βάιερστρας (1815–1897) τυποποίησε και διέδωσε τον (ε, δ)-ορισμό των ορίων και ανακάλυψε ορισμένες παθολογικές συναρτήσεις που φαινόταν παράδοξες εκείνη την εποχή, όπως συνεχείς συναρτήσεις που δεν ήταν διαφορίσιμες πουθενά. Πράγματι, τέτοιες συναρτήσεις έρχονται σε αντίθεση με τις προηγούμενες αντιλήψεις για μια συνάρτηση ως κανόνα υπολογισμού ή ομαλό γράφημα.

Σε αυτό το σημείο, το πρόγραμμα της αριθμητικοποίησης της ανάλυσης (μείωση της μαθηματικής ανάλυσης σε αριθμητικές και αλγεβρικές πράξεις) που υποστήριζε ο Βάιερστρας είχε ουσιαστικά ολοκληρωθεί, με εξαίρεση δύο σημεία.

Πρώτον, εξακολουθούσε να λείπει ένας τυπικός ορισμός των πραγματικών αριθμών. Πράγματι, ξεκινώντας από τον Ρίχαρντ Ντεντεκίντ το 1858, αρκετοί μαθηματικοί εργάστηκαν στον ορισμό των πραγματικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των Χέρμαν Χάνκελ, Σαρλ Μεράι και Έντουαρντ Χάιν, αλλά μόνο το 1872 δημοσιεύτηκαν δύο ανεξάρτητοι πληρέστεροι ορισμοί των πραγματικών αριθμών: ο ένας από τον Ντεντεκίντ, μέσω των κοπών Ντεντεκίντ, και ο άλλος από τον Γκέοργκ Κάντορ ως τάξεις ισοδυναμίας των ακολουθιών Κωσύ..

Οι ορισμοί αυτοί άφησαν άλυτα διάφορα προβλήματα που συνέβαλαν στη θεμελιώδη κρίση των μαθηματικών. Πρώτον, και οι δύο ορισμοί υποθέτουν ότι οι ρητοί αριθμοί και επομένως οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται αυστηρά, πράγμα που έγινε λίγα χρόνια αργότερα με τα αξιώματα του Πεάνο. Δεύτερον, και οι δύο ορισμοί περιλαμβάνουν άπειρα σύνολα (περικοπές Ντέντεκιντ και σύνολα στοιχείων μιας ακολουθίας Κωσύ), και η θεωρία συνόλων του Κάντορ δημοσιεύθηκε αρκετά χρόνια αργότερα.

Το τρίτο πρόβλημα είναι πιο λεπτό και σχετίζεται με τα θεμέλια της λογικής: η κλασική λογική είναι μια λογική πρώτης τάξης, δηλαδή οι ποσοδείκτες εφαρμόζονται σε μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν μεμονωμένα στοιχεία και όχι σε μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν (άπειρα) σύνολα στοιχείων. Η βασική ιδιότητα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών που απαιτείται για τον ορισμό και τη χρήση των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει μια ποσοτικοποίηση σε άπειρα σύνολα. Πράγματι, η ιδιότητα αυτή μπορεί να εκφραστεί ως εξής: είτε για κάθε άπειρη ακολουθία πραγματικών αριθμών, αν είναι ακολουθία Κωσύ, έχει ένα όριο που είναι πραγματικός αριθμός, είτε : κάθε υποσύνολο των πραγματικών αριθμών που είναι οριοθετημένο έχει ένα ελάχιστο άνω όριο που είναι πραγματικός αριθμός. Αυτή η ανάγκη ποσοτικοποίησης πάνω σε άπειρα σύνολα είναι ένα από τα κίνητρα για την ανάπτυξη λογικών ανώτερης τάξης κατά το πρώτο μισό του 20ού αιώνα.

Μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Βλέπε επίσης: Μη Ευκλείδεια γεωμετρία#Ιστορία

Πριν από τον 19ο αιώνα, υπήρξαν πολλές αποτυχημένες προσπάθειες να προκύψει το αξίωμα της παραλληλίας από άλλα αξιώματα της γεωμετρίας. Σε μια προσπάθεια να αποδείξει ότι η άρνησή του οδηγεί σε αντίφαση, ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ (1728-1777) άρχισε να οικοδομεί την υπερβολική γεωμετρία και εισήγαγε τις υπερβολικές συναρτήσεις και υπολόγισε το εμβαδόν ενός υπερβολικού τριγώνου (όπου το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο από 180°).

Συνεχίζοντας την κατασκευή αυτής της νέας γεωμετρίας, αρκετοί μαθηματικοί απέδειξαν ανεξάρτητα ότι αν είναι ασυνεπής, τότε και η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ασυνεπής και συνεπώς το αξίωμα της παραλληλίας δεν μπορεί να αποδειχθεί. Αυτό αποδείχθηκε από τον Νικολάι Λομπατσέφσκι το 1826, τον Γιάνος Μπόλυαϊ (1802-1860) το 1832 και τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους (αδημοσίευτο).

Αργότερα, τον 19ο αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Μπέρναρντ Ρίμαν ανέπτυξε την ελλειπτική γεωμετρία, μια άλλη μη ευκλείδεια γεωμετρία όπου δεν μπορεί να βρεθεί καμία παράλληλος και το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι μεγαλύτερο από 180°. Αποδείχθηκε συνεπής ορίζοντας τα σημεία ως ζεύγη αντιποδικών σημείων σε μια σφαίρα (ή υπερσφαίρα) και τις γραμμές ως μεγάλους κύκλους στη σφαίρα.

Αυτές οι αποδείξεις του μη αποδείξιμου του παράλληλου αξιώματος οδήγησαν σε διάφορα φιλοσοφικά προβλήματα, το κυριότερο από τα οποία είναι ότι πριν από αυτή την ανακάλυψη, το παράλληλο αξίωμα και όλες οι συνέπειές του θεωρούνταν αληθείς. Έτσι, οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες αμφισβήτησαν την έννοια της μαθηματικής αλήθειας.

Συνθετική γεωμετρία έναντι αναλυτικής γεωμετρίας

Από την εισαγωγή της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Ρενέ Ντεκάρτ τον 17ο αιώνα, υπήρχαν δύο προσεγγίσεις στη γεωμετρία, η παλιά που ονομαζόταν συνθετική γεωμετρία και η νέα, όπου όλα καθορίζονται με όρους πραγματικών αριθμών που ονομάζονται συντεταγμένες.

Οι μαθηματικοί δεν ανησυχούσαν ιδιαίτερα για την αντίφαση μεταξύ αυτών των δύο προσεγγίσεων πριν από τα μέσα του 19ου αιώνα, όπου υπήρξε «μια έντονη διαμάχη μεταξύ των υποστηρικτών των συνθετικών και αναλυτικών μεθόδων στην προβολική γεωμετρία, με τις δύο πλευρές να κατηγορούν η μία την άλλη για την ανάμειξη προβολικών και μετρικών εννοιών». Πράγματι, δεν υπάρχει έννοια απόστασης σε ένα προβολικό χώρο, και ο λόγος διασταύρωσης, που είναι ένας αριθμός, είναι μια βασική έννοια της συνθετικής προβολικής γεωμετρίας.

Ο Καρλ φον Στάουντ ανέπτυξε μια καθαρά γεωμετρική προσέγγιση αυτού του προβλήματος εισάγοντας «ρίψεις» που σχηματίζουν αυτό που σήμερα ονομάζεται σώμα, στο οποίο μπορεί να εκφραστεί ο λόγος διασταύρωσης.

Προφανώς, το πρόβλημα της ισοδυναμίας μεταξύ αναλυτικής και συνθετικής προσέγγισης λύθηκε πλήρως μόνο με το βιβλίο του Εμίλ Άρτιν Γεωμετρική Άλγεβρα που εκδόθηκε το 1957. Ήταν γνωστό ότι, δεδομένου ενός σώματος k, μπορεί κανείς να ορίσει αφινικούς και προβολικούς χώρους πάνω στο k με όρους k-διανυσματικών χώρων. Σε αυτούς τους χώρους ισχύει το θεώρημα του Πάππου για το εξάγωνο. Αντίστροφα, αν το θεώρημα του Πάππου για το εξάγωνο περιλαμβάνεται στα αξιώματα μιας επίπεδης γεωμετρίας, τότε μπορεί κανείς να ορίσει ένα σώμα k έτσι ώστε η γεωμετρία να είναι η ίδια με την αφινική ή προβολική γεωμετρία πάνω στο k.

Φυσικοί αριθμοί

Κύριο άρθρο: Αξιώματα Πεάνο

Το έργο της δημιουργίας μιας αυστηρής πραγματικής ανάλυσης και του ορισμού των πραγματικών αριθμών περιελάμβανε τη μείωση όλων σε ρητούς αριθμούς και, συνεπώς, σε φυσικούς αριθμούς, δεδομένου ότι οι θετικοί ρητοί αριθμοί είναι κλάσματα φυσικών αριθμών. Υπήρχε επομένως ανάγκη για έναν τυπικό ορισμό των φυσικών αριθμών, ο οποίος να υποδηλώνει μια αξιωματική θεωρία της αριθμητικής. Αυτό ξεκίνησε με τον Τσαρλς Σάντερς Πιρς το 1881 και τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ το 1888, οι οποίοι όρισαν τους φυσικούς αριθμούς ως την πληθικότητα  ενός πεπερασμένου συνόλου. Ωστόσο, αυτό περιλαμβάνει τη θεωρία συνόλων, η οποία δεν είχε τυποποιηθεί εκείνη την εποχή.

Ο Τζουζέπε Πεάνο παρείχε το 1888 μια πλήρη αξιωματικοποίηση βασισμένη στην τακτική ιδιότητα των φυσικών αριθμών. Το τελευταίο αξίωμα του Πεάνο είναι το μόνο που προκαλεί λογικές δυσκολίες, καθώς αρχίζει είτε με «αν S είναι ένα σύνολο τότε» είτε με «αν $\varphi$ είναι ένα κατηγόρημα τότε». Έτσι, τα αξιώματα του Πεάνο προκαλούν μια ποσοτικοποίηση σε άπειρα σύνολα, και αυτό σημαίνει ότι η αριθμητική του Πεάνο είναι αυτό που σήμερα ονομάζεται λογική δεύτερης τάξης.

Αυτό δεν ήταν καλά κατανοητό εκείνη την εποχή, αλλά το γεγονός ότι το άπειρο εμφανιζόταν στον ορισμό των φυσικών αριθμών ήταν ένα πρόβλημα για πολλούς μαθηματικούς της εποχής. Παραδείγματος χάριν, ο Ανρί Πουανκαρέ δήλωσε ότι τα αξιώματα μπορούν να αποδειχθούν μόνο στην πεπερασμένη εφαρμογή τους και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι είναι «η δύναμη του νου» που επιτρέπει την αντίληψη της αόριστης επανάληψης της ίδιας πράξης. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τη χρήση του τελευταίου αξιώματος του Πεάνο για να δείξει ότι η συνάρτηση διαδόχου παράγει όλους τους φυσικούς αριθμούς. Επίσης, ο Λέοπολντ Κρονέκερ είπε «Ο Θεός δημιούργησε τους ακέραιους αριθμούς, όλα τα άλλα είναι έργο του ανθρώπου». Αυτό μπορεί να ερμηνευθεί ως «οι ακέραιοι αριθμοί δεν μπορούν να οριστούν μαθηματικά».

Άπειρα σύνολα

Πριν από το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, το άπειρο ήταν μια φιλοσοφική έννοια που δεν ανήκε στα μαθηματικά. Ωστόσο, με την εμφάνιση του απειροστικού λογισμού, οι μαθηματικοί εξοικειώθηκαν με το άπειρο, κυρίως μέσω του δυνητικού απείρου, δηλαδή ως αποτέλεσμα μιας ατέρμονης διαδικασίας, όπως ο ορισμός μιας άπειρης ακολουθίας, μιας άπειρης σειράς ή ενός ορίου. Η δυνατότητα ενός πραγματικού απείρου αποτέλεσε αντικείμενο πολλών φιλοσοφικών διαφωνιών.

Τα σύνολα, και πιο ειδικά τα άπειρα σύνολα, δεν θεωρούνταν ως μαθηματική έννοια- ειδικότερα, δεν υπήρχε σταθερός όρος γι' αυτά. Μια θεαματική αλλαγή προέκυψε με το έργο του Γκέοργκ Κάντορ ο οποίος ήταν ο πρώτος μαθηματικός που μελέτησε συστηματικά τα άπειρα σύνολα. Συγκεκριμένα, εισήγαγε τους πληθικούς αριθμούς που μετρούν το μέγεθος των άπειρων συνόλων, και τους διατακτικούς αριθμούς που, κατά προσέγγιση, καθιστούν δυνατή τη συνέχιση της αρίθμησης μετά την επίτευξη του απείρου. Ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματά του είναι η ανακάλυψη ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι αυστηρά περισσότεροι από τους φυσικούς αριθμούς (ο πληθικός της συνέχειας των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από εκείνο των φυσικών αριθμών).

Τα αποτελέσματα αυτά απορρίφθηκαν από πολλούς μαθηματικούς και φιλοσόφους και οδήγησαν σε συζητήσεις που αποτελούν μέρος της θεμελιώδους κρίσης των μαθηματικών.

Η κρίση ενισχύθηκε με το παράδοξο του Ράσελ που υποστήριξε ότι η φράση «το σύνολο όλων των συνόλων» είναι αυτοαναιρούμενη. Αυτή η αντίφαση εισήγαγε μια αμφιβολία για τη συνοχή όλων των μαθηματικών.

Με την εισαγωγή της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ (περ. 1925) και την υιοθέτησή της από τη μαθηματική κοινότητα, η αμφιβολία για τη συνοχή ουσιαστικά απομακρύνθηκε, αν και η συνοχή της θεωρίας συνόλων δεν μπορεί να αποδειχθεί λόγω του θεωρήματος μη πληρότητας του Γκέντελ.

Μαθηματική λογική

Το 1847, ο Ντε Μόργκαν δημοσίευσε τους νόμους του και ο Τζορτζ Μπουλ επινόησε μια άλγεβρα, που σήμερα αποκαλείται άλγεβρα Μπουλ, η οποία επιτρέπει την έκφραση της λογικής του Αριστοτέλη σε όρους τύπων και αλγεβρικών πράξεων. Η άλγεβρα Μπουλ είναι η αφετηρία της λογικής της μαθηματικοποίησης και η βάση του προτασιακού λογισμού

Ανεξάρτητα, τη δεκαετία του 1870, ο Τσαρλς Σάντερς Περς και ο Γκότλομπ Φρέγκε επέκτειναν τον προτασιακό λογισμό εισάγοντας ποσοδείκτες, για την οικοδόμηση της κατηγορηματικής λογικής.

Ο Φρέγκε επισήμανε τρεις επιθυμητές ιδιότητες μιας λογικής θεωρίας: συνέπεια (αδυναμία απόδειξης αντιφατικών δηλώσεων), πληρότητα (κάθε δήλωση είναι είτε αποδείξιμη είτε ανασκευάσιμη- δηλαδή, η άρνησή της είναι αποδείξιμη) και αποφασισιμότητα (υπάρχει μια διαδικασία απόφασης για τον έλεγχο κάθε δήλωσης).

Κοντά στο γύρισμα του αιώνα, ο Μπέρτραντ Ράσελ εκλαΐκευσε το έργο του Φρέγκε και ανακάλυψε το παράδοξο του Ράσελ που συνεπάγεται ότι η φράση "το σύνολο όλων των συνόλων" είναι αυτοαναιρούμενη. Αυτό το παράδοξο φάνηκε να καθιστά το σύνολο των μαθηματικών ασυνεπές και αποτελεί μία από τις κύριες αιτίες της θεμελιώδους κρίσης των μαθηματικών.

Θεμελιώδης κρίση

Η θεμελιώδης κρίση των μαθηματικών προέκυψε στα τέλη του 19ου αιώνα και στις αρχές του 20ού αιώνα με την ανακάλυψη αρκετών παραδόξων ή αντιδιανοητικών αποτελεσμάτων.

Ένα από τα αποτελέσματα ήταν η απόδειξη ότι το αξίωμα της παραλληλίας δεν μπορεί να αποδειχθεί. Αυτό προκύπτει από την κατασκευή μιας μη ευκλείδειας γεωμετρίας εντός της ευκλείδειας γεωμετρίας, της οποίας η ασυνέπεια θα συνεπαγόταν την ασυνέπεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Ένα γνωστό παράδοξο είναι το παράδοξο του Ράσελ, το οποίο δείχνει ότι η πρόταση "το σύνολο όλων των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους" είναι αυτοαναιρούμενη. Άλλα φιλοσοφικά προβλήματα ήταν η απόδειξη της ύπαρξης μαθηματικών αντικειμένων που δεν μπορούν να υπολογιστούν ή να περιγραφούν ρητά και η απόδειξη της ύπαρξης αριθμητικών θεωρημάτων που δεν μπορούν να αποδειχθούν με την αριθμητική του Πεάνο.

Αρκετές φιλοσοφικές σχολές των μαθηματικών ήρθαν αντιμέτωπες με αυτά τα προβλήματα τον 20ό αιώνα και περιγράφονται παρακάτω.

Τα προβλήματα αυτά μελετήθηκαν επίσης από τους μαθηματικούς, και αυτό οδήγησε στην καθιέρωση της μαθηματικής λογικής ως μια νέα περιοχή των μαθηματικών, η οποία συνίσταται στην παροχή μαθηματικών ορισμών σε λογικές (σύνολα κανόνων εξαγωγής συμπερασμάτων), μαθηματικές και λογικές θεωρίες, θεωρήματα και αποδείξεις και στη χρήση μαθηματικών μεθόδων για την απόδειξη θεωρημάτων σχετικά με αυτές τις έννοιες.

Αυτό οδήγησε σε απροσδόκητα αποτελέσματα, όπως τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ, τα οποία ουσιαστικά δηλώνουν ότι, αν μια θεωρία περιέχει την τυπική αριθμητική, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί ότι δεν είναι αυτοαναιρούμενη - και, αν δεν είναι αυτοαναιρούμενη, υπάρχουν θεωρήματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν εντός της θεωρίας, αλλά τα οποία ωστόσο είναι αληθή με κάποια τεχνική έννοια.

Η θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ με το αξίωμα της επιλογής (ZFC) είναι μια λογική θεωρία που καθιερώθηκε από τον Ερνστ Ζερμέλο και τον Αβραάμ Φράνκελ. Έγινε το τυπικό θεμέλιο των σύγχρονων μαθηματικών και, εκτός αν ορίζεται ρητά το αντίθετο, χρησιμοποιείται σε όλα τα σύγχρονα μαθηματικά κείμενα, συνήθως σιωπηρά.

Ταυτόχρονα, η αξιωματική μέθοδος έγινε εκ των πραγμάτων πρότυπο: η απόδειξη ενός θεωρήματος πρέπει να προκύπτει από ρητά αξιώματα και από προηγουμένως αποδεδειγμένα θεωρήματα με την εφαρμογή σαφώς καθορισμένων κανόνων εξαγωγής συμπερασμάτων. Τα αξιώματα δεν χρειάζεται να αντιστοιχούν σε κάποια πραγματικότητα. Παρ' όλα αυτά, είναι ένα ανοιχτό φιλοσοφικό πρόβλημα να εξηγήσουμε γιατί τα συστήματα αξιωμάτων που οδηγούν σε πλούσιες και χρήσιμες θεωρίες είναι αυτά που προκύπτουν από την αφαίρεση από τη φυσική πραγματικότητα ή από άλλη μαθηματική θεωρία.

Εν ολίγοις, η θεμελιώδης κρίση έχει ουσιαστικά επιλυθεί, και αυτό ανοίγει νέα φιλοσοφικά προβλήματα. Ειδικότερα, δεν μπορεί να αποδειχθεί ότι το νέο θεμέλιο (ZFC) δεν είναι αυτοαναιρούμενο. Υπάρχει γενική συναίνεση ότι, αν αυτό συνέβαινε, το πρόβλημα θα μπορούσε να επιλυθεί με μια ήπια τροποποίηση της ZFC.

Φιλοσοφικές απόψεις

Κύριο άρθρο: Φιλοσοφία των μαθηματικών

Όταν προέκυψε η θεμελιώδης κρίση, υπήρξε έντονη συζήτηση μεταξύ μαθηματικών και λογικών για το τι έπρεπε να γίνει για την αποκατάσταση της εμπιστοσύνης στα μαθηματικά. Αυτό περιελάμβανε φιλοσοφικά ερωτήματα σχετικά με τη μαθηματική αλήθεια, τη σχέση των μαθηματικών με την πραγματικότητα, την πραγματικότητα των μαθηματικών αντικειμένων και τη φύση των μαθηματικών.

Για το ζήτημα των θεμελίων, υπήρχαν δύο κύριες επιλογές για την προσπάθεια αποφυγής των παραδόξων. Η πρώτη οδήγησε στον διαισθητισμό και τον εποικοδομισμό, και συνίστατο στον περιορισμό των λογικών κανόνων για να παραμείνουν πιο κοντά στη διαίσθηση, ενώ η δεύτερη, η οποία έχει ονομαστεί φορμαλισμός, θεωρεί ότι ένα θεώρημα είναι αληθές αν μπορεί να συναχθεί από τα αξιώματα με την εφαρμογή κανόνων συμπερασμού (τυπική απόδειξη), και ότι δεν απαιτείται η «αλήθεια» των αξιωμάτων για την εγκυρότητα ενός θεωρήματος.

Φορμαλισμός

Υποστηρίχθηκε ότι οι φορμαλιστές, όπως ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ (1862-1943), θεωρούν ότι τα μαθηματικά είναι μόνο μια γλώσσα και μια σειρά από παιχνίδια. Ο Χίλμπερτ επέμενε ότι ο φορμαλισμός, που ο ίδιος αποκαλούσε «παιχνίδι τύπων», είναι θεμελιώδες μέρος των μαθηματικών, αλλά ότι τα μαθηματικά δεν πρέπει να αναχθούν στον φορμαλισμό. Πράγματι, χρησιμοποίησε τις λέξεις «παιχνίδι τύπων» στην απάντησή του το 1927 στις επικρίσεις του Λόιτσεν Εχμπέρτους Γιαν Μπράουερ:

Και σε ποιο βαθμό το παιχνίδι των τύπων που κατέστη δυνατό ήταν επιτυχές; Αυτό το παιχνίδι των τύπων μας επιτρέπει να εκφράσουμε ολόκληρο το περιεχόμενο της σκέψης της μαθηματικής επιστήμης με ενιαίο τρόπο και να το αναπτύξουμε με τέτοιο τρόπο ώστε, ταυτόχρονα, να γίνουν σαφείς οι δεσμοί μεταξύ των προτάσεων και των επιμέρους γεγονότων ... Εκτός από τη μαθηματική του αξία, το σύνολο των τύπων που τόσο πολύ αποδοκιμάζει ο Μπράουερ έχει μια σημαντική γενική φιλοσοφική σημασία. Στην πραγματικότητα, αυτό το παιχνίδι των τύπων παίζεται σύμφωνα με ορισμένους ακριβείς κανόνες, στους οποίους εκφράζεται η «τεχνική της σκέψης μας». Οι κανόνες αυτοί αποτελούν ένα κλειστό σύστημα που μπορούμε να ανακαλύψουμε και να δηλώσουμε οριστικά.

Επομένως, ο Χίλμπερτ επιμένει ότι τα μαθηματικά δεν είναι ένα «αυθαίρετο» παιχνίδι με «αυθαίρετους» κανόνες- μάλλον πρέπει να συμφωνούν με τον τρόπο με τον οποίο εξελίσσεται η σκέψη μας, και στη συνέχεια η ομιλία και η γραφή μας.

Δεν μιλάμε εδώ για αυθαιρεσία σε καμία περίπτωση. Τα μαθηματικά δεν μοιάζουν με ένα παιχνίδι του οποίου τα θέματα καθορίζονται από αυθαίρετα καθορισμένους κανόνες. Αντιθέτως, πρόκειται για ένα εννοιολογικό σύστημα που διαθέτει εσωτερική αναγκαιότητα η οποία δεν μπορεί παρά να είναι έτσι και με κανένα τρόπο αλλιώς.

Η θεμελιώδης φιλοσοφία του φορμαλισμού, όπως την εξέφρασε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ, είναι μια απάντηση στα παράδοξα της θεωρίας συνόλων και βασίζεται στην τυπική λογική. Σχεδόν όλα τα μαθηματικά θεωρήματα σήμερα μπορούν να διατυπωθούν ως θεωρήματα της θεωρίας συνόλων. Η αλήθεια μιας μαθηματικής δήλωσης, κατά την άποψη αυτή, αντιπροσωπεύεται από το γεγονός ότι η δήλωση μπορεί να προκύψει από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων χρησιμοποιώντας τους κανόνες της τυπικής λογικής.

Απλώς η χρήση του φορμαλισμού από μόνη της δεν εξηγεί διάφορα ζητήματα: γιατί πρέπει να χρησιμοποιούμε τα αξιώματα που χρησιμοποιούμε και όχι κάποια άλλα, γιατί πρέπει να χρησιμοποιούμε τους λογικούς κανόνες που χρησιμοποιούμε και όχι κάποιους άλλους, γιατί οι «αληθείς» μαθηματικές δηλώσεις (π.χ. οι νόμοι της αριθμητικής) εμφανίζονται να είναι αληθείς κ.ο.κ. Ο Χέρμαν Βάιλ έθεσε αυτά ακριβώς τα ερωτήματα στον Χίλμπερτ:

Ποια «αλήθεια» ή αντικειμενικότητα μπορεί να αποδοθεί σε αυτή τη θεωρητική κατασκευή του κόσμου, η οποία υπερβαίνει κατά πολύ το δεδομένο, είναι ένα βαθύ φιλοσοφικό πρόβλημα. Συνδέεται στενά με το περαιτέρω ερώτημα: τι μας ωθεί να πάρουμε ως βάση ακριβώς το συγκεκριμένο σύστημα αξιωμάτων που ανέπτυξε ο Χίλμπερτ; Η συνέπεια είναι πράγματι μια αναγκαία αλλά όχι επαρκής συνθήκη. Προς το παρόν μάλλον δεν μπορούμε να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα ...

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η μελέτη των τυπικών θεωριών, σε κλάδους όπως τα αντίστροφα μαθηματικά και η Θεωρία πολυπλοκότητας, παρέχει επαρκείς απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα. Όπως σημείωσε ο Βέιλ, τα τυπικά λογικά συστήματα διατρέχουν επίσης τον κίνδυνο της ασυνέπειας- στην περίπτωση του αξιώματος Πεάνο, ο κίνδυνος αυτός έχει ήδη επιλυθεί με αρκετές αποδείξεις συνέπειας, αλλά το κατά πόσον είναι αρκετά πεπερασμένα ώστε να έχουν νόημα είναι ένα θέμα συζήτησης. Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δηλώνει ότι τα λογικά συστήματα αριθμητικής δεν μπορούν ποτέ να περιέχουν μια έγκυρη απόδειξη της συνέπειάς τους. Αυτό που ήθελε να κάνει ο Χίλμπερτ ήταν να αποδείξει ότι ένα λογικό σύστημα S ήταν συνεπές, με βάση τις αρχές P που αποτελούσαν μόνο ένα μικρό μέρος του S. Αλλά ο Γκέντελ απέδειξε ότι οι αρχές P δεν μπορούσαν καν να αποδείξουν ότι το P ήταν συνεπές, πόσο μάλλον ότι το S ήταν συνεπές.

Ενορατισμός

Οι Ενορατιστές, όπως ο Λ. Ε. Γ. Μπρούβερ (1882-1966), θεωρούσαν ότι τα μαθηματικά είναι δημιούργημα του ανθρώπινου νου. Οι αριθμοί, όπως και οι χαρακτήρες των παραμυθιών, είναι απλώς νοητικές οντότητες, οι οποίες δεν θα υπήρχαν αν δεν υπήρχαν ποτέ ανθρώπινα μυαλά να τους σκεφτούν.

Η θεμελιώδης φιλοσοφία του ενορατισμού ή του συμπερασματικού, όπως την υποδεικνύουν σε ακραίο βαθμό ο Μπρούβερ και ο Στίβεν Κλέιν, απαιτεί οι αποδείξεις να είναι «εποικοδομητικές» στη φύση τους - η ύπαρξη ενός αντικειμένου πρέπει να αποδεικνύεται και όχι να συνάγεται από την απόδειξη της αδυναμίας της ανυπαρξίας του. Παραδείγματος χάριν, ως συνέπεια αυτού είναι ύποπτη η μορφή απόδειξης που είναι γνωστή ως εις άτοπον απαγωγή (reductio ad absurdum).

Ορισμένες σύγχρονες θεωρίες στη φιλοσοφία των μαθηματικών αρνούνται την ύπαρξη θεμελίων με την αρχική έννοια. Ορισμένες θεωρίες τείνουν να επικεντρώνονται στη μαθηματική πρακτική και στοχεύουν στην περιγραφή και ανάλυση της πραγματικής εργασίας των μαθηματικών ως κοινωνικής ομάδας. Άλλες προσπαθούν να δημιουργήσουν μια γνωστική επιστήμη των μαθηματικών, εστιάζοντας στην ανθρώπινη νόηση ως προέλευση της αξιοπιστίας των μαθηματικών όταν εφαρμόζονται στον πραγματικό κόσμο. Αυτές οι θεωρίες θα πρότειναν να βρουν θεμέλια μόνο στην ανθρώπινη σκέψη και όχι σε κάποιο αντικειμενικό εξωτερικό κατασκεύασμα. Το θέμα παραμένει αμφιλεγόμενο.

Λογικισμός

Κύριο άρθρο: Λογικισμός

Ο λογικισμός είναι μια σχολή σκέψης και ένα ερευνητικό πρόγραμμα στη φιλοσοφία των μαθηματικών, που βασίζεται στη θέση ότι τα μαθηματικά είναι μια επέκταση της λογικής ή ότι ορισμένα ή όλα τα μαθηματικά μπορούν να παραχθούν σε ένα κατάλληλο τυπικό σύστημα του οποίου τα αξιώματα και οι κανόνες συμπερασμού είναι «λογικής» φύσης. Ο Μπερτράντ Ράσελ και ο Άλφρεντ Νορθ Γουάιτχεντ υπερασπίστηκαν αυτή τη θεωρία που ξεκίνησε από τον Γκότλομπ Φρέγκε και επηρεάστηκε από τον Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ.

Μαθηματικός Πλατωνισμός

Πολλοί ερευνητές της αξιωματικής θεωρίας συνόλων υιοθέτησαν αυτό που είναι γνωστό ως πλατωνισμός της θεωρίας συνόλων, με χαρακτηριστικό παράδειγμα τον Κουρτ Γκέντελ.

Αρκετοί θεωρητικοί συνόλων ακολούθησαν αυτή την προσέγγιση και έψαξαν ενεργά για αξιώματα που θα μπορούσαν να θεωρηθούν αληθή για ευρετικούς λόγους και που θα επέτρεπαν την επίλυση της υπόθεσης του συνεχούς. Μελετήθηκαν πολλά αξιώματα μεγάλων πληθάριθμών, αλλά η υπόθεση παρέμενε πάντοτε ανεξάρτητη από αυτά τα αξιώματα και θεωρείται πλέον απίθανο να λυθεί η CH με ένα νέο αξίωμα μεγάλων πληθάριθμών. Εξετάστηκαν και άλλοι τύποι αξιωμάτων, αλλά κανένας από αυτούς δεν κατέληξε σε συναίνεση σχετικά με την υπόθεση του συνεχούς. Η πρόσφατη εργασία του Χάμκινς προτείνει μια πιο ευέλικτη εναλλακτική λύση: ένα θεωρητικό πολυσύμπαν που επιτρέπει το ελεύθερο πέρασμα μεταξύ θεωρητικών συμπάντων που ικανοποιούν την υπόθεση του συνεχούς και άλλων συμπάντων που δεν ικανοποιούν.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Θεμέλια των Μαθηματικών Τμήμα Μαθηματικών - Πανεπιστήμιο Κρήτης

Πηγές

• Avigad, Jeremy (2003) Number theory and elementary arithmetic, Philosophia Mathematica Vol. 11, pp. 257–284
• Eves, Howard (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition, Dover Publications, INC, Mineola NY, ISBN 0-486-69609-X (pbk.) cf §9.5 Philosophies of Mathematics pp. 266–271. Eves lists the three with short descriptions prefaced by a brief introduction.
• Goodman, N.D. (1979), "Mathematics as an Objective Science", in Tymoczko (ed., 1986).
• Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
• Hersh, R. (1979), "Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics", in (Tymoczko 1986).
• Hilbert, D. (1922), "Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung", Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157–177. Translated, "The New Grounding of Mathematics. First Report", in (Mancosu 1998).
• Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
• Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introduction to Meta-Mathematics (Tenth impression 1991 έκδοση). Amsterdam NY: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9. 

In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.

• Mancosu, P. (ed., 1998), From Hilbert to Brouwer. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, Oxford, UK.
• Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", Journal of Philosophy 64/1, 5–22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996).
• —, "What is Mathematical Truth?", in Tymoczko (ed., 1986).
• Sudac, Olivier (Apr 2001). «The prime number theorem is PRA-provable». Theoretical Computer Science 257 (1–2): 185–239. doi:10.1016/S0304-3975(00)00116-X. 
• Troelstra, A. S. (no date but later than 1990), "A History of Constructivism in the 20th Century", A detailed survey for specialists: §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop's Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references.
• Tymoczko, T. (1986), "Challenging Foundations", in Tymoczko (ed., 1986).
• —,(ed., 1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986. Revised edition, 1998.
• van Dalen D. (2008), "Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)", in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [2008-03-13]
• Weyl, H. (1921), "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematische Zeitschrift 10, 39–79. Translated, "On the New Foundational Crisis of Mathematics", in (Mancosu 1998).
• Wilder, Raymond L. (1952), Introduction to the Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, New York, NY.