Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

en:American Mathematical Society

en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Tangential angle Εφαπτομενική γωνία

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη γεωμετρία, η εφαπτομενική γωνία μιας καμπύλης στο καρτεσιανό επίπεδο, σε ένα συγκεκριμένο σημείο, είναι η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο και του άξονα x.^[1] (Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν τη γωνία ως την απόκλιση από τη κατεύθυνση της καμπύλης σε κάποιο σταθερό σημείο εκκίνησης. Αυτό είναι ισοδύναμο με τον ορισμό που δίνεται εδώ με την προσθήκη μιας σταθεράς στη γωνία ή με την περιστροφή της καμπύλης^[2]).

Εξισώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν μια καμπύλη δίνεται παραμετρικά από την $(x' (t), y (t))$ , τότε η εφαπτομενική γωνία $φ$ στο $t$ ορίζεται (μέχρι ένα πολλαπλάσιο του $2π$ ) από τη σχέση^[3]

{\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).

Εδώ, το πρώτο σύμβολο υποδηλώνει την παράγωγο ως προς $t$ . Έτσι, η εφαπτομενική γωνία προσδιορίζει την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας $(x (t), y (t))$ , ενώ η ταχύτητα προσδιορίζει το μέγεθός της. Το διάνυσμα

{\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}

ονομάζεται μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα, οπότε ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ότι η εφαπτομενική γωνία στο $t$ είναι η γωνία $φ$ τέτοια ώστε $(cos φ, sin φ)$ είναι το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα στο $t$ .

Αν η καμπύλη παραμετροποιείται από το μήκος τόξου $s$ , τότε ${| x'(s), y'(s) | = 1$ , τότε ο ορισμός απλοποιείται ως εξής

{\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).

Σε αυτή την περίπτωση, η καμπυλότητα $κ$ δίνεται από τη σχέση $φ'(s)$ , όπου $κ$ λαμβάνεται θετική αν η καμπύλη κάμπτεται προς τα αριστερά και αρνητική αν η καμπύλη κάμπτεται προς τα δεξιά.^[1] Αντίστροφα, η εφαπτομενική γωνία σε ένα δεδομένο σημείο ισούται με το ορισμένο ολοκλήρωμα της καμπυλότητας μέχρι το σημείο αυτό:^[4]^[1]

\varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}

\varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s'(t)dt+\varphi _{0}

Αν η καμπύλη δίνεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $y = f' (x)$ , τότε μπορούμε να πάρουμε $(x, f (x))$ ως παραμετροποίηση, και μπορούμε να υποθέσουμε ότι $φ$ είναι μεταξύ {{math|-π} και {{math|π}. Έτσι προκύπτει η ρητή έκφραση

\varphi =\arctan f'(x).

Απαραίτητη αλλά όχι επαρκής προϋπόθεση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Argand (1814). «Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise» (στα γαλλικά). Annales de mathématiques pures et appliquées 5: 197–209. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209.
Adams, Robert A.· Essex, Christopher (2009). Calculus: A Complete Course. Pearson Prentice Hall. σελ. 744. ISBN 978-0-321-54928-0.
Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (2018), «Closed cycloids in a normed plane», Monatshefte für Mathematik 185 (1): 43–60, doi:10.1007/s00605-017-1030-5

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Weisstein, Eric W., "Natural Equation" από το MathWorld.
↑ For example: Whewell, W. (1849). «Of the Intrinsic Equation of a Curve, and Its Application». Cambridge Philosophical Transactions 8: 659–671. https://books.google.com/books?id=2vsIAAAAIAAJ&pg=PA659. This paper uses $φ$ to mean the angle between the tangent and tangent at the origin. This is the paper introducing the Whewell equation, an application of the tangential angle.
↑ Weisstein, Eric W., "Tangential Angle" από το MathWorld.
↑ Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (2004). «Sampling planar curves using curvature-based shape analysis». Mathematical methods for curves and surfaces. Tromsø. ISBN 978-0-9728482-4-4.

[[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Καμπύλες] [[Κατηγορία:Πραγματική ανάλυση]

[[Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρίαν] [[Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα]

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Θεωρία αναπαραστάσεων] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών]

[[Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση]

[[Κατηγορία:Μαθηματικά προβλήματα]

[[Κατηγορία:Διάσταση]

[[Κατηγορία:Επιστήμη υπολογιστών]

[[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Μιγαδική αναλυτική ποικιλία } [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]