Εσωτερικό γινόμενο

Στα μαθηματικά, εσωτερικό γινόμενο ή βαθμωτό γινόμενο ή γινόμενο τελείας ονομάζεται μία συνάρτηση που παίρνει δύο στοιχεία του διανυσματικού χώρου και δίνει ως αποτέλεσμα έναν πραγματικό αριθμό, και ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες (δείτε τον αυστηρό ορισμό παρακάτω).

Όταν σε ένα διανυσματικό χώρο ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο, τότε μπορεί να οριστεί και το μέτρο του διανύσματος ${\vec {\alpha }}$ το οποίο είναι

$|{\vec {\alpha }}|={\sqrt {{\vec {\alpha }}^{2}}}$,

όπου το ${\vec {\alpha }}^{2}$ είναι το εσωτερικό γινόμενο του ${\vec {\alpha }}$ με τον εαυτό του.

Ορισμός για το Ευκλείδειο επίπεδο

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ του Ευκλείδειου επιπέδου. Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των ${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}$ τον πραγματικό αριθμό :

${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|\cos \varphi$,

όπου $\varphi$ η γωνία μεταξύ ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ και αν ${\vec {\alpha }}\neq {\vec {0}}$ και ${\vec {\beta }}\neq {\vec {0}}$.

Αν ${\vec {\alpha }}={\vec {0}}$ ή ${\vec {\beta }}={\vec {0}}$, τότε ${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=0$.

Παρατηρήσεις:

1. ${\vec {\alpha }}\upuparrows {\vec {\beta }}$ αν και μόνο αν ${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|$
2. ${\vec {\alpha }}\uparrow \downarrow {\vec {\beta }}$ αν και μόνο αν ${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=-|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|$
3. ${\vec {\alpha }}\bot {\vec {\beta }}$ αν και μόνο αν ${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=0$

Ιδιότητες

Αν ${\vec {\alpha }}=(\alpha _{x},\alpha _{y})$ και ${\vec {\beta }}=(\beta _{x},\beta _{y})$, τότε

${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=\alpha _{x}\beta _{x}+\alpha _{y}\beta _{y}$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε το τρίγωνο με κορυφές $(\alpha _{x},\alpha _{y})$, $(\beta _{x},\beta _{y})$ και την αρχή των αξόνων ${\rm {O}}=(0,0)$. Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε ότι

$|{\vec {a}}-{\vec {\beta }}|^{2}=|{\vec {\alpha }}|^{2}+|{\vec {\beta }}|^{2}-2|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|\cos \varphi$.

Επίσης, από τον τύπο της Ευκλείδειας απόστασης μεταξύ δύο σημείων έχουμε ότι

${\begin{aligned}|{\vec {a}}-{\vec {\beta }}|^{2}&=(\alpha _{x}-\beta _{x})^{2}+(\alpha _{y}-\beta _{y})^{2}\\&=\alpha _{x}^{2}-2\alpha _{x}\beta _{x}+\beta _{x}^{2}+\alpha _{y}^{2}-2\alpha _{y}\beta _{y}+\beta _{y}^{2}\\\end{aligned}}$,

και

$|{\vec {\alpha }}|^{2}+|{\vec {\beta }}|^{2}=\alpha _{x}^{2}+\alpha _{y}^{2}+\beta _{x}^{2}+\beta _{y}^{2}$.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω τρεις σχέσεις έχουμε ότι

$-2(\alpha _{x}\beta _{x}+\alpha _{y}\beta _{y})=-2|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|\cos \varphi$,

και καταλήγουμε ότι

${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=\alpha _{x}\beta _{x}+\alpha _{y}\beta _{y}$.

Ορισμός για Ευκλείδειο χώρο

Στον $n$ διαστάσεων Ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{n}$, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ${\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ και ${\vec {\beta }}=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$, δίνεται από τον τύπο

${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=\alpha _{1}\cdot \beta _{1}+\alpha _{2}\cdot \beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\cdot \beta _{n}$.

Ιδιότητες

• (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Για κάθε διανύσματα ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}\in \mathbb {R} ^{n}$, ισχύει ότι

${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}={\vec {\beta }}\cdot {\vec {\alpha }}$.

Απόδειξη  

${\begin{aligned}{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}&=\alpha _{1}\cdot \beta _{1}+\alpha _{2}\cdot \beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\cdot \beta _{n}\\&=\beta _{1}\cdot \alpha _{1}+\beta _{2}\cdot \alpha _{2}+\ldots +\beta _{n}\cdot \alpha _{n}\\&={\vec {\beta }}\cdot {\vec {\alpha }}\end{aligned}}$

• (Επιμεριστική ιδιότητα) Για κάθε ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}\in V$, ισχύει ότι

${\vec {\alpha }}\cdot ({\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }})={\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}+{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\gamma }}$.

Απόδειξη  

${\begin{aligned}{\vec {\alpha }}\cdot ({\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }})&=\alpha _{1}\cdot ({\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }})_{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot ({\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }})_{n}\\&=\alpha _{1}\cdot (\beta _{1}+\gamma _{1})+\ldots +\alpha _{n}\cdot (\beta _{n}+\gamma _{n})\\&=(\alpha _{1}\cdot \beta _{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot \beta _{n})+(\alpha _{1}\cdot \gamma _{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot \gamma _{n})\\&={\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}+{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\gamma }}\end{aligned}}$

• Για κάθε ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}\in V$ και $\lambda \in \mathbb {R}$,

${\vec {\alpha }}\cdot (\lambda {\vec {\beta }})=\lambda \cdot ({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }})$.

Απόδειξη  

${\begin{aligned}{\vec {\alpha }}\cdot (\lambda {\vec {\beta }})&={\vec {\alpha }}\cdot (\lambda {\vec {\beta }})\\&=\alpha _{1}\cdot (\lambda {\vec {\beta }})_{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot (\lambda {\vec {\beta }})_{n}\\&=\alpha _{1}\cdot (\lambda \beta _{1})+\ldots +\alpha _{n}\cdot (\lambda \beta _{n})\\&=\lambda (\alpha _{1}\cdot \beta _{1})+\ldots +\lambda (\alpha _{n}\cdot \beta _{n})\\&=\lambda (\alpha _{1}\cdot \beta _{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot \beta _{n})\\&=\lambda \cdot ({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}).\end{aligned}}$

• Για κάθε ${\vec {\alpha }}\in V$,

${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}\geq 0$.

Απόδειξη  

${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}=\alpha _{1}^{2}+\ldots +\alpha _{n}^{2}\geq 0$

καθώς $\alpha _{i}^{2}\geq 0$ για κάθε $\alpha _{i}$.

• ${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}=0$ αν και μόνο αν ${\vec {\alpha }}={\vec {0}}$.

Απόδειξη  

${\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}=\alpha _{1}^{2}+\ldots +\alpha _{n}^{2}$

αν και μόνο αν (καθώς $\alpha _{i}^{2}\geq 0$ για κάθε $\alpha _{i}$)

$\alpha _{1}^{2}=0$, $\ldots$, $\alpha _{n}^{2}=0$,

αν και μόνο αν

${\vec {\alpha }}={\vec {0}}$.

Ορισμός για γενικό διανυσματικό χώρο

Σε έναν διανυσματικό χώρο $V$, η συνάρτηση $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R}$ είναι εσωτερικός πολλαπλασιασμός αν ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες

1. $\langle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}\rangle =\langle {\vec {\beta }},{\vec {\alpha }}\rangle$ για κάθε ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}\in V$.
2. $\langle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}+{\vec {\gamma }}\rangle =\langle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}\rangle +\langle {\vec {\alpha }},{\vec {\gamma }}\rangle$ για κάθε ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}\in V$.
3. $\langle {\vec {\alpha }},\lambda {\vec {\beta }}\rangle =\lambda \langle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}\rangle$ για κάθε ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}\in V$ και $\lambda \in \mathbb {R}$.
4. $\langle {\vec {\alpha }},{\vec {\alpha }}\rangle \geq 0$ για κάθε ${\vec {\alpha }}\in V$.
5. $\langle {\vec {\alpha }},{\vec {\alpha }}\rangle =0$ αν και μόνο αν ${\vec {\alpha }}={\vec {0}}$.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Denis Auroux (2007). Lec 1 | MIT 18.02 Multivariable Calculus, Fall 2007. MIT open course. Συμβαίνει στα 00 00.  - Εσωτερικό γινόμενο, μάθημα μαθηματικών στο MIT (καθηγητής Denis Auroux).
• Διαδραστική εφαρμογή για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
• Διαδραστική εφαρμογή για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
• Διανυσματικοί χώροι και χώροι με εσωτερικό γινόμενο

Ελληνικά άρθρα

• Νίκος Βαδιβούλης (1980). «Εσωτερικό γινόμενο και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Β΄ (4): 34-38. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4139. 
• Τ. Λαμπρόπουλος (1985). «Εσωτερικό γινόμενο». Ευκλείδης Β΄ (4): 51-59. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2789. 
• Τ. Λαμπρόπουλος (1990). «Εφαρμογές του εσωτερικού γινομένου». Ευκλείδης Β΄ (1): 35-43. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2868. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Greco, Frank A. (Ιουλίου 2019). «How is the scalar product derived?». The Mathematical Gazette 103 (557): 357–358. doi:10.1017/mag.2019.75. 
• Clifford, Frank (Οκτωβρίου 1989). «73.40 Applications of the scalar product». The Mathematical Gazette 73 (465): 231–234. doi:10.2307/3618452. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1989-10_73_465/page/231. 
• Gerrish, F. (Νοεμβρίου 2000). «Vector products». The Mathematical Gazette 84 (501): 453–459. doi:10.2307/3620775. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2000-11_84_501/page/453. 
• Edwards, Constance C.; Sansgiry, Prashant S. (Απριλίου 1997). «Proof Without Words: The Distributive Property of the Triple Scalar Product». Mathematics Magazine 70 (2): 136–136. doi:10.1080/0025570X.1997.11996518. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1997-04_70_2/page/136.