Μιγαδικός αριθμός

Γραφική παράσταση του μιγαδικού x + i y = r e^iφ χρησιμοποιώντας ένα διάνυσμα.

Στα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη του στοιχείου $i$, που λέγεται φανταστική μονάδα και έχει την ιδιότητα:

$i^{2}=-1$

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή $a+bi$, όπου τα $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, ο $3+2i$ είναι ένας μιγαδικός, με πραγματικό μέρος $3$ και φανταστικό μέρος $2$.

Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Στην ορολογία των μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των μιγαδικών είναι σώμα.

Η βασική διαφορά των μιγαδικών αριθμών με τους πραγματικούς είναι η ύπαρξη του στοιχείου i και των πολλαπλασίων του, που όταν υψωθούν στο τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον, στους μιγαδικούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό.

Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.

Ιστορικό

Οι μιγαδικοί αριθμοί επινοήθηκαν από τον Ιταλό μαθηματικό Τζερόλαμο Καρντάνο, ο οποίος τους χαρακτήριζε ως φανταστικούς, στην προσπάθειά του να βρει αναλυτικές λύσεις σε κυβικές εξισώσεις. Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων εξισώσεων απαιτεί ενδιάμεσους υπολογισμούς, οι οποίοι μπορεί να περιλαμβάνουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών, ακόμα κι όταν η ρίζα είναι πραγματικός αριθμός. Το γεγονός αυτό οδήγησε τελικά στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, που δείχνει ότι στο σώμα των μιγαδικών αριθμών κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μια ρίζα.

Ορισμοί

Οι μιγαδικοί αριθμοί ορίζονται ως το σώμα $\mathbb {C} =(\mathbb {R} ^{2},\oplus ,\otimes )$, όπου

• $\mathbb {R} ^{2}$ είναι το Καρτεσιανό γινόμενο του συνόλου πραγματικών αριθμών με τον εαυτό του, δηλαδή το σύνολο από όλα τα ζεύγη $(a,b)$ με $a,b\in \mathbb {R}$,
• ${\displaystyle \oplus$ :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} είναι η πράξη της πρόσθεσης και ορίζεται ως

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$,

για κάθε $a,b,c,d\in \mathbb {R}$, και

${\displaystyle \otimes$ :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} είναι η πράξη του πολλαπλασιασμού και ορίζεται ως

$(a,b)\otimes (c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+c\cdot b)$

για κάθε $a,b,c,d\in \mathbb {R}$.

Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει ότι το $(0,0)$ είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και $(1,0)$ είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού.

Φανταστική μονάδα

Για χάριν ευκολίας, ένα στοιχείο $(a,b)$ του $\mathbb {C}$ γράφεται ως $a+ib$ και ορίζοντας την φανταστική μονάδα $i=(0,1)$, η πρόσθεση και η αφαίρεση προκύπτουν από τους γνωστούς κανόνες της αντιμετάθεσης, του προσεταιρισμού και του επιμερισμού:

• $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$
• $(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)$
• $(a+ib)(c+id)=ac+ibc+iad+i^{2}bd=(ac-bd)+i(bc+ad)$

Όταν $a=0$ γράφουμε απλά $z=ib$ και όταν $b=0$ γράφουμε $z=a$.

Πραγματικοί αριθμοί ως υποσώμα

Οι μιγαδικοί αριθμοί περιέχουν τους πραγματικούς αριθμούς ως υποσώμα, αντιστοιχώντας κάθε πραγματικό αριθμό $a\in \mathbb {R}$ στον μιγαδικό αριθμό $a+0i$.

Απόδειξη  

Έστω $a,b\in \mathbb {R}$ δύο πραγματικοί αριθμοί. Θεωρούμε την συνάρτηση $f(x)=(x,0)\in \mathbb {R} ^{2}$.

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1}=(a,0)$ και $z_{2}=(b,0)$. Θα δείξουμε ότι

$f(a)\oplus f(b)=f(a+b)$.

Από τους παραπάνω ορισμούς της πρόσθεσης έχουμε ότι

$f(a)\oplus f(b)=(a,0)\oplus (b,0)=(a+b,0)=f(a+b)$.

Αντίστοιχα για τον πολλαπλασιασμό ισχύει ότι

$f(a)\otimes f(b)=(a\cdot b,0)=f(a\cdot b)$.

Το αυστηρά ορισμένο αυτό σώμα έχει όλες τις ιδιότητες που προαναφέρθηκαν για τους μιγαδικούς και αποφεύγει την "αντιδιαισθητική" αναφορά στο ${\sqrt {-1}}$. Για το σώμα αυτό ισχύει

$i^{2}=(0,1)\otimes (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,1\cdot 0+0\cdot 1)=(-1,0)=-1$,

όπου όμως το $-1$ δεν είναι ο πραγματικός $-1$ αλλά ο εναλλακτικός συμβολισμός του μιγαδικού $(-1,0)$, κι έτσι δεν δημιουργείται πρόβλημα. Οι μιγαδικοί, δηλαδή, δεν είναι μια αυθαίρετη επίκληση στην ύπαρξη ριζών αρνητικών πραγματικών, αλλά ένα εντελώς διαφορετικό σώμα, του οποίου τουλάχιστον ένα υπόσωμα είναι ισόμορφο με τους πραγματικούς.

Πραγματικό και φανταστικό μέρος

Για έναν μιγαδικό αριθμό $z=a+ib$, ορίζουμε

• $a=\operatorname {Re} (z)$ ως το πραγματικό μέρος του $z$, και
• $b=\operatorname {Im} (z)$ ως το φανταστικό μέρος του $z$.

Μιγαδικό επίπεδο

Ένας μιγαδικός $z=a+ib$ παριστάνεται και με το διάνυσμα με αρχή το κέντρο των αξόνων και πέρας το σημείο $(a,b)$.

Κάθε μιγαδικός αριθμός $z=a+ib$ μπορεί να αντιστοιχιστεί σε ένα σημείο ${\rm {M}}(a,b)$ ενός δισδιάστατου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Κάθε τέτοιο σημείο ${\rm {M}}$ λέγεται εικόνα του αντίστοιχου μιγαδικού αριθμού $z$ και συμβολίζεται με ${\rm {M}}(z)$ ή ${\rm {M}}(a,b)$. Σε αυτή την περίπτωση, το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων λέγεται μιγαδικό επίπεδο (ή διάγραμμα Αργκάν).

Ο άξονας $xx'$ περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς και γι'αυτό λέγεται πραγματικός άξονας. Ο άξονας $yy'$ περιέχει όλους τους φανταστικούς αριθμούς και γι'αυτό λέγεται φανταστικός άξονας.

Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως η απόσταση του ${\rm {M}}$ από το κέντρο ${\rm {O}}$ του μιγαδικού επιπέδου

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 0$ .

Ο $z$ και ο συζυγής του ${\bar {z}}$ στο μιγαδικό επίπεδο. Ο ${\bar {z}}$ αποτελεί τον κατοπτρισμό του $z$ ως προς τον άξονα των πραγματικών

Συζυγής μιγαδικός

Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού $z=a+ib$ ορίζεται ως $a-ib$, και συμβολίζεται ${\bar {z}}$. Γεωμετρικά, ο ${\bar {z}}$ αποτελεί τον κατοπτρισμό του $z$ ως προς τον άξονα των πραγματικών (βλ. σχήμα).

Τριγωνομετρική μορφή

Εκτός από τις καρτεσιανές συντεταγμένες του, ένας μιγαδικός μπορεί να γραφεί και με πολική ή τριγωνομετρική μορφή. Οι πολικές συντεταγμένες ενός μιγαδικού $z$ είναι το ζευγάρι $(r,\phi )$, όπου $r=\left|z\right|$, είναι το μέτρο του μιγαδικού και $\phi$, το πρωτεύον όρισμα του $z$.

Όρισμα ενός μιγαδικού $z$ είναι κάθε μία από τις γωνίες που σχηματίζει ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας $\mathbb {R}$ με το αντίστοιχο διάνυσμα του $z$. Πρωτεύον όρισμα είναι η γωνία εκείνη που βρίσκεται στο διάστημα $\left(-\pi ,\pi \right\rbrack$, και συμβολίζεται με $Arg(z)$. Οπότε, κάθε άλλο όρισμα του $z$, διαφέρει κατά $2\kappa \pi$ από το $Arg(z)$, όπου $\kappa \in \mathbb {Z}$ (ακέραιος).

Ισχύει ότι:

$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )$

όπου

$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 0$

και το όρισμα $\phi$ προσδιορίζεται με προσθετέο $2\kappa \pi$, δηλαδή ορίσματα που διαφέρουν κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του $2\pi$ είναι ισοδύναμα.

Εκθετική μορφή

Η εξίσωση του Όιλερ, λέει ότι

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$.

Αυτή μας επιτρέπει να μετατρέψουμε την τριγωνομετρική μορφή στην λεγόμενη εκθετική μορφή

$z=|z|e^{i\phi }$.

Με βάση την εκθετική μορφή των μιγαδικών αριθμών, μπορούν να οριστούν ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεσή τους ως εξής:

$r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}$

και όταν $z_{2}\neq 0$,

${\frac {r_{1}e^{i\phi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi _{1}-\phi _{2})}$

Κατά αυτό τον τρόπο, η πρόσθεση μιγαδικών ταυτίζεται με πρόσθεση διανυσμάτων ενώ ο πολλαπλασιασμός μπορεί να θεωρηθεί ως μία στροφή (και ομοιοθεσία, δηλ. επιμήκυνση ή σμίκρυνση) διανύσματος. Ο πολλαπλασιασμός με τον φανταστικό αριθμό $i$ αντιστοιχεί σε μία στροφή $90^{\circ }$ (με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού). Η γεωμετρική, επομένως, σημασία της εξίσωσης $i^{2}=-1$, που ορίζει τη φανταστική μονάδα, είναι πως δύο διαδοχικές στροφές $90^{\circ }$ ταυτίζονται με μία στροφή $180^{\circ }$.

Δείτε επίσης

• Μιγαδική ανάλυση
• Ταυτότητα του Όιλερ
• Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Μία εφαρμογή στο Geogebra για την ισότητα και πράξεις μιγαδικών

Ελληνικά άρθρα

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Τσαπακίδης, Γ. (Ιουλίου 2013). «Μιγαδικοί αριθμοί και γεωμετρία». Ευκλείδης Β΄ (89): 65-68. http://niobe.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T89.pdf. 
• Β. Γιαννακόπουλος; Ν. Ζανής (1979). «Για τη Β'Τάξη: Μιγαδικοί Αριθμοί». Ευκλείδης Β΄ (1): 193-194. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3563. 
• Γ. Θωμαΐδης (1987). «Εισαγωγή των μιγαδικών αριθμών στα Μαθηματικά». Ευκλείδης Β΄ (2): 67-71. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3007. 
• Βάθης Δημήτριος (1991). «Οι Μιγαδικοί αριθμοί στη Γεωμετρία». Ευκλείδης Β΄ (2): 33-36. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3072. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Temple, G. (Ιουλίου 1937). «The Theory of Complex Numbers». The Mathematical Gazette 21 (244): 220–225. doi:10.2307/3605402. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1937-07_21_244/page/220. 
• Diamond, Louis E. (1 Μαΐου 1957). «Introduction to Complex Numbers». Mathematics Magazine 30 (5): 233. doi:10.2307/3029166. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_may-june-1957_30_5/page/233. 
• Jones, Phillip S. (1954). «Complex numbers: an example of recurring themes in the development of mathematics—III». The Mathematics Teacher 47 (5): 340-345. https://www.jstor.org/stable/27954624. 
• Willson, William Wynne (Δεκεμβρίου 1970). «An Approach to Complex Numbers». The Mathematical Gazette 54 (390): 342–346. doi:10.2307/3613848. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1970-12_54_390/page/342. 
• Green, D. R. (Ιουνίου 1976). «The historical development of complex numbers». The Mathematical Gazette 60 (412): 99–107. doi:10.2307/3616235. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1976-06_60_412/page/99. 

Βιβλιογραφία

• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd έκδοση). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Apostol, Tom (1981). Mathematical analysis. Addison-Wesley. 
• Argand (1814). «Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise» (στα γαλλικά). Annales de mathématiques pures et appliquées 5: 197–209. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c126479&view=1up&seq=209. 
• Gauss, C. F. (1831). «Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.» (στα la). Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores 7: 89–148. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015073697180&view=1up&seq=292. 
• Solomentsev, E.D. (2001), «Complex number», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=c/c024140 
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4. 
• Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7. 
• Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1. 
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd έκδοση). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6. 
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: en:John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6. 
• Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4. 
• Press, W.H.· Teukolsky, S.A.· Vetterling, W.T.· Flannery, B.P. (2007). «Section 5.5 Complex Arithmetic». Numerical Recipes: The art of scientific computing (3rd έκδοση). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 13 Μαρτίου 2020. Ανακτήθηκε στις 27 Μαΐου 2023. 
• Solomentsev, E.D. (2001), «Complex number», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=c/c024140 
• Bourbaki, Nicolas (1998). «Foundations of mathematics § logic: set theory». Elements of the history of mathematics. Springer. 
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd έκδοση). New York: en:McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9. 
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. en:Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2. 
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1.  — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
• Ebbinghaus, H. D.· Hermes, H.· Hirzebruch, F.· Koecher, M.· Mainzer, K.· Neukirch, J.· Prestel, A.· Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover έκδοση). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2.  — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Βικιβιβλίο στην αγγλική έκδοση (Wikibooks)