Αρχιμήδεια ιδιότητα

Απεικόνιση της Αρχιμήδειου ιδιότητας.

Η Αρχιμήδεια ιδιότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλώνει ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x και y με x > 0, υπάρχει φυσικός αριθμός ν τέτοιος ώστε $\nu x>y$.

Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής προκύπτει εύκολα από το γεγονός ότι το σύνολο N των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο. Επειδή λοιπόν το N δεν είναι άνω φραγμένο ο πραγματικός αριθμός y/x δεν μπορεί να είναι άνω φράγμα του και επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένας φυσικός αριθμός ν τέτοιος ώστε $\nu$> y/x και ισοδύναμα $\nu x>y$.

Η γεωμετρική ερμηνεία της αρχιμήδειας ιδιότητας είναι η εξής: για οποιαδήποτε δύο ευθύγραμμα τμήματα, με ένα πεπερασμένο αριθμό ευθυγράμμων τμημάτων ίσων με το μικρότερο από τα δύο, τοποθετημένα το ένα δίπλα στο άλλο μπορούμε να σχηματίσουμε ευθύγραμμο τμήμα που να ξεπερνά το μεγαλύτερο από τα δύο σε μήκος.

Ιστορία και προέλευση του ονόματος της Αρχιμήδους ιδιότητας

Η συγκεκριμένη έννοια έλαβε το όνομά της από τον Ότο Στολτς (στη δεκαετία του 1880) από τον αρχαίο Έλληνα γεωμέτρη και φυσικό Αρχιμήδη από τις Συρακούσες.

Η Αρχιμήδεια ιδιότητα εμφανίζεται στο βιβλίο V των Στοιχείων του Ευκλείδη ως Ορισμός 4:

Λέγεται ότι τα μεγέθη έχουν λόγο μεταξύ τους που μπορούν, όταν πολλαπλασιάζονται, να υπερβαίνουν το ένα το άλλο.

Επειδή ο Αρχιμήδης το απέδωσε στον Εύδοξο της Κνίδου, είναι επίσης γνωστό ως "Θεώρημα του Εύδοξου" ή αξίωμα του Εύδοξου.

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε τα απειροστά σε ευρετικά επιχειρήματα, αν και αρνήθηκε ότι αυτά ήταν τελειωμένες μαθηματικές αποδείξεις.

Ορισμός για γραμμικά διατεταγμένες ομάδες

Έστω x και y θετικά στοιχεία μιας γραμμικά διατεταγμένης ομάδας G. Τότε το $x$ είναι απειροελάχιστο σε σχέση με το $y$ (ή ισοδύναμα, το $y$ είναι άπειρο σε σχέση με το $x$) αν, για κάθε φυσικό αριθμό $x$, το πολλαπλάσιο $nx$ είναι μικρότερο από το y$y$, δηλαδή ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

$\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}<y.\,$

Ο ορισμός αυτός μπορεί να επεκταθεί σε ολόκληρη την ομάδα με τη λήψη απόλυτων τιμών.

Η ομάδα $G$ είναι Αρχιμήδειος αν δεν υπάρχει ζεύγος $(x,y)$ τέτοιο ώστε το $x$ να είναι απειροελάχιστο ως προς το $y$.

Επιπλέον, εάν το $K$ είναι μια αλγεβρική δομή με μονάδα (1) - παραδείγματος χάριν, ένας δακτύλιος - ένας παρόμοιος ορισμός ισχύει για το $K$. Αν το $x$ είναι απειροελάχιστο ως προς το $1$, τότε το $x$ είναι ένα απειροελάχιστο στοιχείο. Ομοίως, αν το $y$ είναι άπειρο ως προς το $1$, τότε το $y$ είναι ένα άπειρο στοιχείο. Η αλγεβρική δομή $K$ είναι Αρχιμήδειος αν δεν έχει άπειρα στοιχεία και δεν έχει απειροελάχιστα στοιχεία.

Βιβλιογραφία

• Thomson, Brian S.· Bruckner, Andrew M. (2008). Elementary Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4161-2. 
• Howland, James (2010). Basic Real Analysis. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-7318-2. 
• Lewin, Jonathan (13 Ιανουαρίου 2003). An Interactive Introduction to Mathematical Analysis Hardback with CD-ROM. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81589-5. 
• Burn, R. P. (28 Αυγούστου 2000). Numbers and Functions: Steps Into Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78836-6. 
• Binmore, K. G. (2 Σεπτεμβρίου 1982). Mathematical Analysis: A Straightforward Approach. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28882-8. 
• Schramm, Michael J. (11 Μαΐου 2012). Introduction to Real Analysis. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13192-4. 
• Denlinger, Charles (28 Ιανουαρίου 2011). Elements of Real Analysis. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-7947-4. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Αρχιμήδεια ιδιότητα και ακέραιο μέρος