Άλγεβρα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Τομείς των μαθηματικών με τη λέξη άλγεβρα στο όνομά τους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμένες περιοχές των μαθηματικών που εμπίπτουν στην κατηγορία της αφηρημένης άλγεβρας έχουν τη λέξη άλγεβρα στο όνομά τους (η γραμμική άλγεβρα είναι ένα παράδειγμα). Άλλες όμως όχι: θεωρία ομάδων, θεωρία δακτυλίων, και η θεωρία του πεδίου είναι παραδείγματα. Σε αυτή την ενότητα, παραθέτουμε ορισμένα πεδία των μαθηματικών με τη λέξη "άλγεβρα" στο όνομά τους.

Πολλές μαθηματικές δομές ονομάζονται άλγεβρες:

  • Άλγεβρα πάνω από το ένα πεδίο ή γενικότερα άλγεβρα πάνω από έναν δακτύλιο.
    Πολλές κατηγορίες άλγεβρας πάνω από ένα πεδίο ή έναν δακτύλιο έχουν ένα συγκεκριμένο όνομα:
    • Αντιμεταθετική άλγεβρα
    • Μη-αντιμεταθετική άλγεβρα
    • Άλγεβρα Lie
    • Άλγεβρα Hopf
    • C*-άλγεβρα
    • Συμμετρική άλγεβρα
    • Εξωτερική άλγεβρα
    • Διανυσματική άλγεβρα
  • Στην θεωρία μέτρου,
  • Στη θεωρία κατηγοριών:
    • F-άλγεβρα
    • T-άλγεβρα
  • Στη λογική,
    • Σχεσιακή άλγεβρα: ένα σύνολο πεπερασμένων σχέσεων που είναι κλειστό κάτω από ορισμένες πράξεις.
    • Άλγεβρα boole, μια δομή αφαιρετικού υπολογισμού με τις λογικές τιμές λάθος (false) και σωστό (true). Οι δομές επίσης να έχουν το ίδιο όνομα.
    • Άλγεβρα Heyting

Στοιχειώδης άλγεβρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειογραφία αλγεβρικής έκφρασης :
  1 – ισχύς (εκθέτης)
  2 – συντελεστής
  3 – όρος
  4 – πράξη
  5 – σταθερός όρος
  x y c – μεταβλητές/σταθερές

Η Στοιχειώδης άλγεβρα είναι η πιο βασική μορφή της άλγεβρας. Διδάσκεται σε μαθητές που θεωρείται ότι δεν έχουν γνώσεις μαθηματικών πέρα από τις βασικές αρχές της αριθμητικής. Στην αριθμητική περιλαμβάνονται μόνο οι αριθμοί και οι αριθμητικές πράξεις (όπως +, −, ×, ÷). Στην άλγεβρα, οι αριθμοί συχνά αντιπροσωπεύονται από σύμβολα που ονομάζονται μεταβλητές (όπως a, n, x, y ή z). Αυτό είναι χρήσιμο, επειδή:

  • Επιτρέπει την γενική διατύπωση αριθμητικών νόμων (όπως a + b = b + a για όλα τα a και b) και, επομένως, είναι το πρώτο βήμα για την συστηματική διερεύνηση των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών του συστήματος.
  • Επιτρέπει την αναφορά σε "άγνωστους" αριθμούς, τη διατύπωση των εξισώσεων και τη μελέτη των λύσεών τους. (Για παράδειγμα, "Βρείτε x τέτοιο ώστε 3x + 1 = 10" ή πηγαίνοντας λίγο παραπέρα "Βρείτε x τέτοιο ώστε ax + b = c". Αυτό το βήμα οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν είναι η φύση των συγκεκριμένων αριθμών που μας επιτρέπει να το λύσουμε, αλλά οι διεργασίες που εμπλέκονται.)
  • Επιτρέπει τη διαμόρφωση των λειτουργικών σχέσεων. (Για παράδειγμα, "Αν πουλάτε x εισιτήρια, τότε το κέρδος σας θα είναι 3x − 10 δολάρια, ή f(x) = 3x − 10, όπου f είναι η συνάρτηση, και x είναι ο αριθμός στον οποίο εφαρμόζεται η λειτουργία".)

Πολυώνυμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τρίτου βαθμού.