Υδρογόνο

Υδρογόνο
- ← Υδρογόνο → Ήλιο - ↑ Η ↓ Li Περιοδικός Πίνακας
Το άτομο του Υδρογόνου
Αέριο υδρογόνο
Ιστορία
Ταυτότητα του στοιχείου
Όνομα, σύμβολο	Υδρογόνο (Η)
Ατομικός αριθμός (Ζ)	1
Κατηγορία	αμέταλλα
ομάδα, περίοδος, τομέας	1 ,1, s
Σχετική ατομική μάζα (Ar)	1,00794
Ηλεκτρονική διαμόρφωση	1s
Ατομικές ιδιότητες
Ατομική ακτίνα	25 (53,5) pm
Ομοιοπολική ακτίνα	31,(5) pm
Ακτίνα van der Waals	120 pm
Ηλεκτραρνητικότητα	2,20 (Κλίμακα Pauling)
Κυριότεροι αριθμοί οξείδωσης	0, ±1
Ενέργειες ιονισμού	1η:1312.0 kJ·mol−1
Φυσικά χαρακτηριστικά
Κρυσταλλικό σύστημα	εξαγωνικό
Σημείο τήξης	-259,14(°C) (14,02 K)
Σημείο βρασμού	-252,87 °C (20,29 K)
Τριπλό σημείο	-259,36 °C (13,8 K), 7,042 kPa
Κρίσιμο σημείο	-240,19 °C (32,97 K), 1,293 MPa
Πυκνότητα	0,08988 kg/m3
Ενθαλπία τήξης	0,117 kJ/mol
Ταχύτητα του ήχου	1310 m/s
Η κατάσταση αναφοράς είναι η πρότυπη κατάσταση (25°C, 1 Atm) εκτός αν σημειώνεται διαφορετικά

To υδρογόνο (λατινικά hydrogenium, αγγλικά hydrogen) είναι το χημικό στοιχείο με ατομικό αριθμό 1. Αντιπροσωπεύεται διεθνώς από το χημικό σύμβολο H. Με ατομική μάζα 1,00794(7) amu, το υδρογόνο είναι το ελαφρύτερο χημικό στοιχείο. Ακόμη, στη μονοατομική αλλομορφή του (H₁), είναι η πιο άφθονη χημική ουσία στο σύμπαν, του οποίου θεωρείται ότι αποτελεί το 75% της συνολικής βαρυονικής του μάζας. Τα άστρα της κύριας ακολουθίας αποτελούνται κυρίως από υδρογόνο σε κατάσταση πλάσματος.

Στις συνηθισμένες συνθήκες, δηλαδή θερμοκρασία 25°C και πίεση 1 atm, το υδρογόνο είναι ένα άχρωμο, άοσμο, άγευστο, μη τοξικό, αμεταλλικό και πολύ εύφλεκτο διατομικό αέριο, με χημικό τύπο H₂. Το φυσικό ατομικό (αλλά και το διατομικό) υδρογόνο είναι σπάνιο στη Γη, γιατί στις συνθήκες που επικρατούν στον πλανήτη, το υδρογόνο σχηματίζει τάχιστα ομοιοπολικές ενώσεις με τα περισσότερα αμέταλλα στοιχεία. Έτσι, το περισσότερο υδρογόνο του πλανήτη μας έχει συγκεντρωθεί στο νερό και στις περισσότερες οργανικές ενώσεις.

Το υδρογόνο έχει έναν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στην οξεοβασική χημεία, με πολλές χημικές αντιδράσεις ανταλλαγής πρωτονίων μεταξύ διαλυτών μορίων (και ιόντων). Σε ιονικές ενώσεις, μπορεί να πάρει αρνητικό ηλεκτρικό φορτίο, που ονομάζεται «ανιόν υδριδίου» (H^-), ή θετικό ηλεκτρικό φορτίο, που ονομάζεται «υδρογονοκατιόν» (H⁺). Το τελευταίο, μπορεί να παριστάνεται συχνά γραπτώς ως γυμνό πρωτόνιο, αλλά στην πραγματικότητα δεν έχουν βρεθεί ιονικές ενώσεις που να περιέχουν πραγματικά γυμνό πρωτόνιο, αλλά το υδρογόνο μετέχει σε πιο πολύπλοκα υδρογονούχα σύμπλοκα ιόντα, όπως για παράδειγμα το «υδροξώνιο» (H₃O⁺).

Το πιο συνηθισμένο ισότοπο του υδρογόνου είναι το «πρώτιο» (¹H, αν και σπάνια χρησιμοποιείται αυτό το όνομά του) με ένα πρωτόνιο και κανένα νετρόνιο, στον πυρήνα του. Το υδρογόνο έχει το απλούστερο γνωστό άτομο και χρησιμοποιήθηκε για την ανάπτυξη της ατομικής θεωρίας. Είναι το μόνο ουδέτερο άτομο για το οποίο υπάρχει αναλυτική λύση για την εξίσωση Σρέντιγκερ (Schrödinger), οπότε η θεωρητική μελέτη του ατόμου του, δηλαδή των ενεργειακών καταστάσεών του και των δυνατοτήτων του για δημιουργία δεσμών, έπαιξε ένα νευραλγικό ρόλο για την ανάπτυξη της Κβαντομηχανικής.

Το στοιχειακό υδρογόνο (γνωστό και ως «διυδρογόνο», H₂) παράχθηκε για πρώτη φορά τεχνητά στις αρχές του 16^ου αιώνα, με ανάμειξη μετάλλων και ισχυρών οξέων. Τη χρονική περίοδο 1766 - 1781, ο Χένρι Κάβεντις (Henry Cavendish) αναγνώρισε πρώτος ότι το αέριο υδρογόνο είναι μια διακριτή (διαφορετική από τις ήδη γνωστές) χημική ουσία, και ότι παρήγαγε νερό όταν καίγονταν. Με βάση αυτή τη βασική του ιδιότητα το ονόμασε «υδρογόνο», συνενώνοντας τις ελληνικές λέξεις «ὕδωρ» και «γεννῶ».

Η βιομηχανική του παραγωγή γίνεται κυρίως με επίδραση ατμού σε φυσικό αέριο, και λιγότερο συχνά, με την περισσότερο ενεργοβόρα μέθοδο της λεγόμενης «ηλεκτρόλυσης του νερού». Το περισσότερο υδρογόνο που παράγεται, καταναλώνεται σε κοντινή απόσταση. Οι δυο μεγαλύτερες καταναλώσεις του αφορούν την κατεργασία (συγκεκριμένα υδρογονόλυση) ορυκτών καυσίμων και η παραγωγή αμμωνίας, η τελευταία κυρίως για τη βιομηχανία παραγωγής λιπασμάτων.

Επίσης, το υδρογόνο είναι μια πρόκληση για τη μεταλλουργία, αφού μπορεί να διαπιδύσει πολλά μέταλλα. Το γεγονός αυτό περιπλέκει τη σχεδίαση και κατασκευή των σωλήνων μεταφοράς του και των δοχείων αποθήκευσής του.

Ιστορία της ανακάλυψης και της χρήσης υδρογόνου

• Το αέριο υδρογόνο, H₂, πρωτοπαρασκευάστηκε τεχνητά από τον T. φον Χοενχάιμ, με την επίδραση ισχυρών οξέων σε μέταλλα. Δεν γνώριζε, όμως, ότι το παραγόμενο εύφλεκτο αέριο από μια τέτοια αντίδραση είναι το υδρογόνο, ένα νέο χημικό στοιχείο για την εποχή.
• Το 1671, ο Ρόμπερτ Μπόιλ το ανακάλυψε εκ νέου και περιέγραψε την αντίδραση ρινισμάτων σιδήρου και διαλυμάτων οξέων, που κατέληγαν στην παραγωγή αέριου υδρογόνου.
• Το 1746 ο Χένρι Κάβεντις ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε το παραγόμενο υδρογόνο ως ξεχωριστό χημικό στοιχείο, ονομάζοντάς το «εύφλεκτο αέρα». Αργότερα, το 1781, διαπίστωσε ότι το υδρογόνο παράγει νερό όταν καίγεται. Συχνά σε αυτόν αποδίδεται η ανακάλυψη του υδρογόνου.
• Το 1783, ο Αντουάν Λαβουαζιέ ονόμασε το νέο χημικό στοιχείο «υδρογόνο», για τους λόγους που αναφέρονται στην ετυμολογία της λέξης στην αρχή του άρθρου, όταν αυτός και ο Λαπλάς ξανανακάλυψαν το εύρημα του Κάβεντις, ότι δηλαδή το υδρογόνο καίγεται σχηματίζοντας νερό.
• Το υδρογόνο υγροποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Τζέιμς Ντιούαρ το 1898 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απότομης εκτόνωσης συμπιεσμένου αερίου. Διατήρησε το υγρό υδρογόνο που παράχθηκε στην ομώνυμη εφεύρεσή του, το δοχείο Ντιούαρ Με την ίδια μέθοδο κατόρθωσε να παρασκευάσει στερεό υδρογόνο τον επόμενο χρόνο (1899).

• Το δευτέριο ανακαλύφθηκε το Δεκέμβριο του 1931 από τον Χάρολντ Ουρέυ και το τρίτιο (που είναι τεχνητό) πρωτοπαρασκευάστηκε το 1934, από τους Έρνεστ Ράδερφορντ, Μαρκ Όλιφαντ και Πωλ Χάρτεκ. Το βαρύ ύδωρ (D₂O), ανακαλύφθηκε από την ομάδα του Ουρέυ το 1932.

• Ο Φράνκις Ισαάκ ντε Ριβάζ κατασκεύασε τον πρώτο κινητήρα εσωτερικής καύσης που χρησιμοποιούσε μίγμα υδρογόνου και οξυγόνου το 1806.

• Ο Έντουαρντ Ντάνιελ Κλαρκ ανακάλυψε τον σωλήνα ανάφλεξης υδρογόνου το 1819.

• Ο Ντομπερέινερ εφηύρε τη λυχνία υδρογόνου το 1823.
• Το πρώτο αερόστατο υδρογόνου εφευρέθηκε από τον Ζακ Τσαρλς το 1783. Το υδρογόνο παρείχε την απαιτούμενη άνωση για τα πρώτα αξιόπιστα αεροπορικά ταξίδια μετά από την εφεύρεση, το 1852, του πρώτου αερόπλοιο υδρογόνου από τον Χενρί Γκιφφάρντ. Ο Γερμανός Κόμης Φέρντιναρντ φον Ζέππελιν προώθησε την ιδέα των «σκληρών» αερόπλοιων που ανυψώθηκαν με υδρογόνο και που αργότερα ονομάσθηκαν προς τιμήν του Ζέπελιν. Το πρώτο τέτοιο αερόπλοιο πέταξε το 1900. Η εφεύρεση αυτή εγκαινίασε τις πρώτες τακτικές αερογραμμές που, από το 1910, που άρχισαν, μέχρι την έναρξη του ΑΠΠ, τον Αύγουστο του 1914 είχαν μεταφέρει 35.000 επιβάτες χωρίς κανένα ατύχημα. Κατά τη διάρκεια του πολέμου τα ζέπελιν χρησιμοποιήθηκαν σε αποστολές αναγνώρισης και βομβαρδισμού και με ανύψωση από πλοία του ναυτικού.

• Η πρώτη υπερατλαντική πτήση (χωρίς στάσεις) έγινε από το βρετανικό αερόπλοιο R34 το 1919. Οι κανονικές αερογραμμές με αερόπλοια επαναλήφθηκαν τη δεκαετία του 1920 και η ανακάλυψη του ηλίου στις ΗΠΑ, ως μη εύφλεκτο υποσχόταν αυξημένη ασφάλεια, αλλά οι ΗΠΑ αρνήθηκαν να πουλήσουν το νέο αέριο για μια τέτοια χρήση. Γι' αυτό συνεχίστηκε η χρήση υδρογόνου στα αερόπλοια, μέχρι το περίφημο δυστύχημα του αερόπλοιου Hindenburg πάνω από τη Νέα Υερσέη στις 6 Μαΐου του 1937. Το επεισόδιο μεταδόθηκε ζωντανά από το ραδιόφωνο και κινηματογραφήθηκε. Η ανάφλεξη διαρροής υδρογόνου θεωρήθηκε ευρέως ως η αιτία του, αλλά πιο προσεκτικές έρευνες που έγιναν αργότερα έδειξαν πως η αιτία ήταν η ανάφλεξη του υφάσματος με επικάλυψη αλουμινίου, που χρησίμευε σαν περίβλημα, από στατικό ηλεκτρισμό. Όμως η δυσφήμιση του υδρογόνου ως ανυψωτικού αερίου από το συμβάν είχε γίνει και ήταν καταλυτική και προκάλεσε τη διακοπή της χρήσης αερόπλοιων εις όφελος των βαρύτερων του αέρα αεροπλάνων, που όμως, στην πραγματικότητα ποτέ δεν εγγυήθηκαν τη σχετικά ανώτερη ασφάλεια των αερόπλοιων (έστω και υδρογόνου), που είχαν μόλις ένα δυστύχημα σε 30 χρόνια πτήσεων. Βέβαια, στην επιλογή των αεροπλάνων στις εθνικές και διεθνείς αερογραμμές συνέβαλε και το γεγονός της αυξημένης ταχύτητας που τα τελευταία πέτυχαν καθώς εξελίσσονταν, που ήταν δύσκολο να την παρακολουθήσουν τα αναλογικά πιο ογκώδη αερόπλοια.

• Ωστόσο άλλες χρήσεις του υδρογόνου συνέχισαν να εφευρίσκονται και να χρησιμοποιούνται, όπως η πρώτη ψυχόμενη με υδρογόνο στροβιλογεννήτρια το 1937 στο Ντέυτον του Οχάιο, από την Dayton Power & Light Co, που λόγω της θερμικής αγωγιμότητας του αερίου υδρογόνου είναι η πιο συνηθισμένη μέθοδος στον τομέα ακόμη και στις μέρες μας (2009).

• Το 1977 εφευρέθηκε η πρώτη μπαταρία νικελίου - υδρογόνου και χρησιμοποιήθηκε από τον τεχνητό δορυφόρο NTS-2. Ακολούθησαν σε χρήση της μπαταρίας αυτής στους δορυφόρους ή διαστημόπλοια ISS, Mars Odyssey, Mars Global Surveyor και το διαστημικό τηλεσκόπιο Χαμπλ.

• Τέλος, μείγμα υγρού υδρογόνου και οξυγόνου χρησιμοποιείται ως το συνηθισμένο προωθητικό των τελευταίων ορόφων πυραύλων, των διαστημοπλοίων και των διαστημικών λεωφορείων.

Ο ρόλος του υδρογόνου στην ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας

Χαρακτηριστικές γραμμές φάσματος εκπομπής υδρογόνου ατο ορατό - κοντινό υπεριώδες φάσμα. Η προσπάθεια εξήγησής τους οδήγησε στην ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας

Το άτομο του υδρογόνου είναι το σχετικά απλούστερο δομικά άτομο στη φύση, αποτελούμενο μόνο από ένα πρωτόνιο στο κέντρο και ένα ηλεκτρόνιο που περιφέρεται γύρω απ' αυτό, στην 1s ηλεκτρονικές στοιβάδες, όπως αποδείχθηκε αργότερα. Η συμπεριφορά του στα μήκη κύματος του φάσματος του φωτός οδήγησε αρχικά στην ανάπτυξη της ατομική θεωρίας και σταδιακά και της κβαντικής θεωρίας. Επιπλέον, εκτός από το άτομο του υδρογόνου, που έχει το πιο απλό άτομο στη φύση, υπάρχει και το H₂⁺, που παρέχει το απλούστερο μόριο της φύσης, περιέχοντας δυο πρωτόνια και ένα ηλεκτρόνιο που επηρεάζεται και από τα δυο και καθιστά δυνατή τη ζεύξη τους (με μισό ομοιοπολικό δεσμό), παρά την αμοιβαία απώθηση τους. Αυτό βαήθησε με τη φορά τους την κατανόηση της φύσης του χημικού δεσμού που οδήγησε με τη σειρά της στην ανάπτυξη της κβαντικής μηχανικής και της έννοιας των μοριακών τροχιακών, στα μέσα της δεκαετίας του 1920.

Μια από τις πρώτες εφαρμογές της κβαντικής σημειώθηκε (αν και δεν έγινε αντιληπρό στην εποχή του) ήταν η παρατήρηση του Μάξγουελ για το υδρογόνο, μισό αιώνα πριν από την πλήρη ανάπτυξη της κβαντικής μηχανικής: Ο Μάξγουελ παρατήρησε ότι η ειδική θερμοχωρητικότητα του διυδρογόνου (H₂) αναμφίβολα διαφέρει από αυτή διατομικού αερίου, σε θερμοκρασίες μικρότερες από 20^o C, μοιάζει ολοένα περισσότερο με αυτή ενός μονοατομικό μόριο καθώς πλησιάζουμε στις πολύ χαμηλές θερμοκρασίες. Αυτό εξηγείται με την κβαντική θεωρία που πηγάζει από την κβαντισμένη μεταβολή της ενέργειας περιστροφής των μορίων. Αυτή η μεταβολή είναι λιγότερο φανερή στα βαρύτερα άτομα και μόρια.

Το άτομο του υδρογόνου

Το άτομο του υδρογόνου αποτελείται από ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο που περιφέρεται γύρω από αυτό. Είναι ένα απλό και κλασσικό σύστημα δύο σωματιδίων.

Θεωρητικά λοιπόν, η εξίσωση Schrödinger για το σύστημα γράφεται: $\mathrm{H \psi = E \psi }$, ή πιο αναλυτικά:
$\mathrm{ - \begin{Bmatrix} \begin{matrix} 2 \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2 m_i} {\nabla_i}^2 + V \begin{pmatrix} x_i,y_i,z_i \end{pmatrix} \end{bmatrix} \end{Bmatrix} \psi = E \psi \Leftrightarrow - \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2 m_p} {\nabla_p}^2 + V \begin{pmatrix} x_p,y_p,z_p \end{pmatrix} + \frac{h^2}{8 \pi^2 m_e} {\nabla_e}^2 + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi }$

Επεξήγηση συμβολισμών

όπου: $\mathrm{ {\nabla_i}^2 = \frac{\partial^2}{\partial {x_i}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {y_i}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {z_i}^2} }$ όπου xp, yp, zp: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του πρωτονίου στο χώρο. xe, ye, ze: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο. mp: η μάζα του πρωτονίου: $\mathrm{m_p = 1,67262158 \cdot 10^{-28} \; kg }$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg }$

Ισοτοπικές εξισώσεις

* Στην περίπτωση που έχουμε ένα ισότοπο του κοινού 1Η, δηλαδή το D (« δευτέριο »΄) ή το T (« τρίτιο »΄), έχουμε αντίστοιχα md ή mt αντί mp. Συγκεκριμένα, έχουμε τις περιπτώσεις:¨ 1. Για το άτομο του D: $\mathrm{ - \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2 m_d} {\nabla_d}^2 + V \begin{pmatrix} x_d,y_d,z_d \end{pmatrix} + \frac{h^2}{8 \pi^2 m_e} {\nabla_e}^2 + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi }$ όπου xd, yd, zd: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του δευτερονίου (δηλαδή του πυρήνα δευτερίου) στο χώρο. xe, ye, ze: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο. md: η μάζα του δευτερονίου: $\mathrm{m_d = m_p + m_n - \Delta m = 2 \; amu }$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg }$. Δm: Πυρηνικό έλλειμμα μάζας: Ποσότητα μάζας που λείπει σπό τους πυρήνες σε σχέση με το άθροισμα μαζών των σωματιδίων που τους αποτελούν. Αντιστοιχεί στην ενέργεια από τη δράση των πυρηνικών δυνάμεων που συγκρατούν τα πυρηνικά σωματίδια. Είναι: $\mathrm{ \Delta m = \frac{E}{c^2} }$. 2. Για το άτομο του T: $\mathrm{ - \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2 m_t} {\nabla_t}^2 + V \begin{pmatrix} x_t,y_t,z_t \end{pmatrix} + \frac{h^2}{8 \pi^2 m_e} {\nabla_e}^2 + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi }$ όπου xt, yt, zt: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του τριτονίου (δηλαδή του πυρήνα τρίτιου) στο χώρο. xe, ye, ze: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο. mt: η μάζα του τριτονίου: $\mathrm{m_t = m_p + 2m_n - \Delta m = 3 \; amu }$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg }$. Δm: Πυρηνικό έλλειμμα μάζας: Ποσότητa μάζας που λείπει σπό τους πυρήνες σε σχέση με το άθροισμα μαζών των σωματιδίων που τους αποτελούν. Αντιστοιχεί στην ενέργεια από τη δράση των πυρηνικών δυνάμεων που συγκρατούν τα πυρηνικά σωματίδια. Είναι: $\mathrm{ \Delta m = \frac{E}{c^2} }$.

Επειδή, όμως, το πρωτόνιο είναι 1.836 φορές μεγαλύτερο σε μάζα από το ηλεκτρόνιο, η κίνησή του που επιβάλλεται από την επίδραση του ηλεκτρονίου είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με την αντίστοιχη του ηλεκτρονίου, ώστε για ευκολία μας μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι κατά προσέγγιση ακίνητο στην αρχή του συστήματος των καρτεσιανών συντεταγμένων. Με αυτήν την προσέγγιση παίρνουμε ως ψ την κυματοσυνάρτηση μόνο του ηλεκτρονίου και τα τροχιακά που προκύπτουν ονομάζονται « ατομικά τροχιακά υδρογόνου ». Στην περίπτωση (παραλείποντας και τους περιττούς πια δείκτες e) αυτή δηλαδή έχουμε:

$\mathrm{ H \psi = E \psi }$
ή πιο αναλυτικά:
$\mathrm{ - \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2 m} \nabla^2 + \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \end{bmatrix} \psi = E \psi }$

Επεξήγηση συμβολισμών
όπου q: Το ηλεκτρικό φορτίου του ηλεκτρονίου: $\mathrm{q = 1,60210\cdot 10^{-19} \; Cb}$. ε0: « Διηλεκτρική σταθερά του κενού »: $\mathrm{\epsilon_0 \simeq 8,85418 \cdot 10^{-12} \; Cb^2/Ntm^2 }$.

Διαπιστώνεται στην παραπάνω σχέση ότι οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι εξαιρετικά άβολες στη διατύπωση ειδικά του όρου της δυναμικής ενέργειας του ηλεκτρονίου: $\mathrm{ V \begin{pmatrix} x,y,z \end{pmatrix} = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} }$. Είναι καλύτερα να τις μετατρέψουμε σε σφαιρικές συντεταγμένες, με τις ακόλουθες σχέσεις, που προκύπτουν από την τριγωνομετρία:

$\mathrm{ x = r \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$
$\mathrm{y = r \eta \mu \theta \eta \mu \phi}$
$\mathrm{z = r \sigma \upsilon \nu \theta}$

Τετραγωνίζοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη και στην συνέχεια προσθέτοντας τις σχέσεις που προκύπτουν όλες κατά μέλη, παίρνουμε:

$\mathrm{ r^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Leftrightarrow r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} }$

Με τις παραπάνω σχέσεις μετατροπής σε σφαιρικές συντεταγμένες ο όρος της δυναμικής ενέργειας του ηλεκτρονίου στην ατομική εξίσωση Schrödinger για το υδρογόνο απλοποιείται δραστικά και γίνεται:

$\mathrm{ V = - \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r} }$

Βέβαια, ο όρος της κινητικής ενέργειας πολυπλοκοποιείται και γίνεται:

$\mathrm{ \nabla^2 = \frac {1}{r^2} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial r} \begin{pmatrix} r^2 \frac{\partial}{\partial r} \end{pmatrix} + \frac{1}{\eta \mu^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + \frac{1}{\eta \mu \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \begin{pmatrix} \eta \mu \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \end{pmatrix} \end{bmatrix} }$

Με βάση τα παραπάνω, η ατομική εξίσωση Schrödinger για το υδρογόνο σε σφαιρικές συντεταγμένες γίνεται τελικά:

$\mathrm{ - \frac{h^2}{8 \pi^2 m r^2} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial r} \begin{pmatrix} r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r} \end{pmatrix} + \frac{1}{\eta \mu^2 \theta} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} + \frac{1}{\eta \mu \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \begin{pmatrix} \eta \mu \theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \end{pmatrix} \end{bmatrix} - \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \psi = E \psi \Leftrightarrow \frac{\partial}{\partial r} \begin{pmatrix} r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r} \end{pmatrix} + \frac{1}{\eta \mu^2 \theta} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} + \frac{1}{\eta \mu \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \begin{pmatrix} \eta \mu \theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \end{pmatrix} + \frac{2 \pi mq^2 r}{h^2 \epsilon_0} \psi = - \frac{8 \pi^2 m r^2}{h^2} E \psi }$

Παρά το γεγονός ότι φαινομενικά η εξίσωση έγινε περισσότερο πολύπλοκη, στην πραγματικότητα έτσι διευκολύνεται η λύση της. Αποδεικνύεται λοιπόν ότι για κάθε λύση της ψ(r,θ,φ} ισχύει:

$\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} r \end{pmatrix} Y \begin{pmatrix} \theta, \phi \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} r \end{pmatrix} \Theta \begin{pmatrix} \theta \end{pmatrix} \Phi \begin{pmatrix} \phi \end{pmatrix} }$

Οι κβαντικοί αριθμοί

Περιγραφή του ατόμου του υδρογόνου με βάση το διπλάσιο περίπου της ακτίνας Bohr

Οι κυματοσυναρτήσεις που αποτελούν τις λύσεις της εξίσωσης Schrõdinger για το υδρογόνο (ατομικά τροχιακά υδρογόνου) αξιοποιούν το γεγονός ότι ο πυρήνας (πρωτόνιο, δευτερόνιο ή τριτόνιο) παράγει ισοτροπικό ηλεκτροστατικό πεδίο, λόγω του θετικού ηλεκτροστατικού φορτίου του. Το δυναμικό ή η δυναμική ενέργεια που αντιστοιχεί στο πεδίο αυτό είναι επίσης ισοτροπική και εξαρτάται μόνο από την απόσταση από τον πυρήνα. Ωστόσο, πολλά από τα ατομικά τροχιακά υδρογόνου εξαρτώνται και από γωνιακές παραμέτρους κατεύθυνσης στον τρισδιάστατο χώρο, δηλαδή δεν είναι όλα ισοτροπικά. Τα τελευταία όμως αντιστοιχούν σε ενεργειακά εκφυλισμένες (ισότιμες) ιδιοκαταστάσεις (ίσα ενεργειακά επίπεδα), με αποτέλεσμα η κατανομή των ενεργειακών καταστάσεων να ακολουθεί ισοτροπικά την κατανομή του δυναμικού στο χώρο γύρω από τον πυρήνα. Τελικά αποδείχτηκε ότι τα ενεργειακά επίπεδα που αντιστοιχούν καθαρά στην ακτινική κυματοσυνάρτηση είναι κβαντισμένα (ακολουθούν την αύξηση ακέραιου ή ρητού αριθμού) και αντιστοιχούν στον κύριο κβαντικό αριθμό, n = 1,2,...7. Μια δεύτερη ενεργειακή κβάντωση παράγεται από τον αριθμό των κόμβων, δηλαδή των διελεύσεων του γραφήματος της κυματοσυνάρτησης (βεβαίως όχι του ηλεκτρονίου) από τον πυρήνα. Ο αποκαλούμενος κβαντικός αριθμός της γωνιακής ορμής, $\mathrm{\ell}$ = 0, 1, 2,..., n-1. Επίσης υπάρχει ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός, m = 0, ±1, ±2,..., ±$\mathrm{\ell}$. Αυτός υπό κανονικές συνθήκες αντιστοιχεί σε εκφυλισμένες ενεργειακές καταστάσεις, που όμως διακρίνονται κάτω από την επίδραση ισχυρού εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Τέλος, υπάρχει και ένας τέταρτος κβαντικός αριθμός που αντιστοιχεί στην περιστροφή (spin) του ηλεκτρονίου και ονομάζεται μαγνητικός αριθμός σπιν, m_s = ±½.

Ενεργειακές καταστάσεις του υδρογόνου

Τα ενεργειακά επίπεδα του υδρογόνου δίνονται από την ακόλουθη σχέση:

$\mathrm{ E_{n,j} = - \frac{m_e {q_e}^4}{8 h^2 {\epsilon_0}^2 n^2} \begin{bmatrix} 1 + \frac{\alpha}{n^2} \begin{pmatrix} \frac{n}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4} \end{pmatrix} \end{bmatrix} }$

Επεξήγηση συμβολισμών

όπου: En,j: το ενεργειακό επίπεδο που αντιστοιχεί στον κύριο κβαντικό αριθμό n και στη συνολική γωνιακή ορμή $\mathrm{j = \ell + m_s}$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg }$. qe: Το ηλεκτρικό φορτίου του ηλεκτρονίου: $\mathrm{q = 1,60210\cdot 10^{-19} \; Cb}$. h: H «Σταθερά του Planck»: $\mathrm{h = 6,6 \cdot 10^{-34} \; Js:}$ . ε0: « Διηλεκτρική σταθερά του κενού »: $\mathrm{\epsilon_0 \simeq 8,85418 \cdot 10^{-12} \; Cb^2/Ntm^2 }$. α: «Σταθερά τέλειας κατασκευής»: $\mathrm{\alpha = \frac{{q_e}^2}{2 h c \epsilon_0} = 7,297352570(5) \cdot 10^{-3} }$

• Για τη βασική κατάσταση E_1,½ = -13,6 eV. Η ενέργεια αυτή ισούται κατ' απόλυτη τιμή με την ενέργεια ιονισμού του ατόμου του υδρογόνου.

Οι εξισώσεις των συνηθισμένων ατομικών τροχιακών υδρογόνου

Για την ακτινική συνάρτηση R(r) έχουμε:

$\mathrm{ R(r) = \sqrt{\begin{pmatrix} \frac{2}{n \alpha_0} \end{pmatrix}^3 \frac{(n - \ell - 1)!}{2n{[(n + \ell)!]}^3}}e^{-\frac{\rho}{n}} \begin{pmatrix} \frac{2 \rho}{n} \end{pmatrix}^{\ell} L_{n - \ell -1}^{2 \ell + 1}\begin{pmatrix} \frac{2 \rho}{n} \end{pmatrix} }$

Βασική κατάσταση:

$\mathrm{ 1s: n=1, \ell=0, m = 0 : \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{e^{-\rho}}{\sqrt{{\alpha_0}^3 \pi}} }$

Διεγερμένες καταστάσεις

'$\mathrm{ 2s: n=2, \ell=0, m=0 : \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{8 \sqrt{2 {\alpha_0}^3 \pi}} \begin{pmatrix} 2 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{2}} }$. $\mathrm{ 2p_z: n=2, \ell=1, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{24 \sqrt{6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho e^{- \frac{\rho}{2}} \sigma \upsilon \nu \theta }$. $\mathrm{ 2p_x: n=2, \ell=1, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{48 \sqrt{{\alpha_0}^3 \pi}} \rho e^{- \frac{\rho}{2}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{ 2p_y: n=2, \ell=1, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{48 \sqrt{{\alpha_0}^3 \pi}} \rho e^{- \frac{\rho}{2}} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{ 3s: n=3, \ell=0, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{486 \sqrt{3 {\alpha_0}^3 \pi}} \begin{pmatrix} 27 - 18 \rho + 2 \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{3}} }$. $\mathrm{ 3p_z: n=3, \ell=1, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{972 \sqrt{6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 6 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{3}} \sigma \upsilon \nu \theta }$. $\mathrm{ 3p_x: n=3, \ell=1, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{1.944 \sqrt{ {\alpha_0}^3 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 6 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{3}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{ 3p_y: n=3, \ell=1, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{1.944 \sqrt{ {\alpha_0}^3 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 6 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{3}} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{ 3d_{z^2}: n=3, \ell=2, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{48,600 \sqrt{6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 e^{- \frac{\rho}{3}} \begin{pmatrix} 3 \sigma \upsilon \nu^2 \theta -1 \end{pmatrix} }$. $\mathrm{ 3d_{zx}: n=3, \ell=2, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{9.720 \sqrt{ {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 e^{- \frac{\rho}{3}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{ 3d_{yz}: n=3, \ell=2, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{9.720 \sqrt{ {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 e^{- \frac{\rho}{3}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{ 3d_{x^2 - y^2}: n=3, \ell=2, m=2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{19.440 \sqrt{ {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 e^{- \frac{\rho}{3}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \begin{pmatrix} 2 \phi \end{pmatrix} }$. $\mathrm{ 3d_{xy}: n=3, \ell=2, m=-2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{19.440 \sqrt{ {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 e^{- \frac{\rho}{3}}\eta \mu^2 \theta \eta \mu \begin{pmatrix} 2 \phi \end{pmatrix} }$. $\mathrm{ 4s: n=4, \ell=0, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{36.864 \sqrt{{\alpha_0}^3 \pi}} \begin{pmatrix} 192 - 144 \rho + 24 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} }$. $\mathrm{4p_z, n=4, \ell=1, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{20.480 \sqrt{15 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 80 - 20 \rho - \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} \sigma \upsilon \nu \theta }$. $\mathrm{4p_x, n=4, \ell=1, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{61.440 \sqrt{10 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 80 - 20 \rho - \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{4p_y, n=4, \ell=1, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{61.440 \sqrt{10 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 80 - 20 \rho - \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{4d_{z^2}: n=4, \ell=2, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{2.211.840 \sqrt{{\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 12 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} \begin{pmatrix} 3 \sigma \upsilon \nu^2 \theta -1 \end{pmatrix} }$. $\mathrm{4d_{zx}: n=4, \ell=2, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{92.160 \sqrt{ 6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 12 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{ 4d_{yz}: n=4, \ell=2, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{92.160 \sqrt{ 6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 12 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{ 4d_{x^2-y^2}: n=4, \ell=2, m=2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{184.320 \sqrt{ 6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 12 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \begin{pmatrix} 2 \phi \end{pmatrix} }$. $\mathrm{ 4d_{xy}: n=4, \ell=2, m=-2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{184.320 \sqrt{ 6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 12 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu^2 \theta \eta \mu \begin{pmatrix} 2 \phi \end{pmatrix} }$. $\mathrm{ 4f_{z^3}: n=4, \ell=3, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{15.482.880 \sqrt{ 5 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^3 e^{- \frac{\rho}{4}} \begin{pmatrix} 5 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 3\sigma \upsilon \nu \theta \end{pmatrix} }$. $\mathrm{ 4f_{y(z^2-x^2)}: n=4, \ell=3, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{10.321.920 \sqrt{ 15 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^3 e^{- \frac{\rho}{4}} \begin{pmatrix} 5 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 1 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{ 4f_{x(z^2-y^2)}: n=4, \ell=3, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{10.321.920 \sqrt{ 15 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^3 e^{- \frac{\rho}{4}} \begin{pmatrix} 5 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 1 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{ 4f_{z(x^2-y^2)}: n=4, \ell=3, m=2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{5.160.960 \sqrt{ 6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^3 e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu 2 \phi }$. $\mathrm{ 4f_{xyz}: n=4, \ell=3, m=-2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{5.160.960 \sqrt{ 6 {\alpha_0}^3 \pi}} \rho^3 e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu 2 \phi }$. $\mathrm{ 4f_{x^3}: n=4, \ell=3, m=3: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{30.965.760 \sqrt{{\alpha_0}^3 \pi}} \rho^3 e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu^3 \theta \sigma \upsilon \nu 3 \phi }$. $\mathrm{ 4f_{y^3}: n=4, \ell=3, m=-3: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{30.965.760 \sqrt{{\alpha_0}^3 \pi}} \rho^3 e^{- \frac{\rho}{4}} \eta \mu^3 \theta \eta \mu 3 \phi }$. $\mathrm{ 5s: n=5, \ell=0, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{5.625.000 \sqrt{5 {\alpha_0}^3 \pi}} \begin{pmatrix} 9.375 - 7.500 \rho + 3.000 \rho^2 - 100 \rho^3 + 2 \rho^4 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} }$. $\mathrm{ 5p_z: n=5, \ell=1, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{16.875.000 \sqrt{10 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 3.750 - 1.125 \rho + 90 \rho^2 - 2 \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \sigma \upsilon \nu \theta }$. $\mathrm{ 5p_x: n=5, \ell=1, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{33.750.000 \sqrt{5 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 3.750 - 1.125 \rho + 90 \rho^2 - 2 \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{ 5p_y: n=5, \ell=1, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{33.750.000 \sqrt{5 \pi}} \rho \begin{pmatrix} 3.750 - 1.125 \rho + 90 \rho^2 - 2 \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{ 5d_{z^2}: n=5, \ell=2, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{236.250.000 \sqrt{14 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 525 - 70 \rho + 2 \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 3 \sigma \upsilon \nu^2 \theta -1 \end{pmatrix} }$. $\mathrm{ 5d_{zx}: n=5, \ell=2, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{78.750.000 \sqrt{21 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 525 - 70 \rho + 2 \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{ 5d_{yz}: n=5, \ell=2, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{78.750.000 \sqrt{21 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 525 - 70 \rho + 2 \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{ 5d_{x^2-y^2}: n=5, \ell=2, m=2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{157.500.000 \sqrt{21 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 525 - 70 \rho + 2 \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu 2 \phi }$. $\mathrm{ 5d_{xy}: n=5, \ell=2, m=-2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{157.500.000 \sqrt{21 \pi}} \rho^2 \begin{pmatrix} 525 - 70 \rho + 2 \rho^2 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^2 \theta \eta \mu 2 \phi }$. $\mathrm{ 5f_{z^3}: n=5, \ell=3, m=0: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{1.890.000.000 \sqrt{10 \pi}} \rho^3 \begin{pmatrix} 20 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 5 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 3 \sigma \upsilon \nu \theta \end{pmatrix} }$. $\mathrm{ 5f_{y(z^2-x^2)}: n=5, \ell=3, m=1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{1.260.000.000 \sqrt{30 \pi}} \rho^3 \begin{pmatrix} 20 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 5 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 1 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. $\mathrm{ 5f_{x(z^2-y^2)}: n=5, \ell=3, m=-1: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{1.260.000.000 \sqrt{30 \pi}} \rho^3 \begin{pmatrix} 20 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 5 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 1 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. $\mathrm{ 5f_{z(x^2-y^2)}: n=5, \ell=3, m=2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{1.260.000.000 \sqrt{3 \pi}} \rho^3 \begin{pmatrix} 20 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu 2 \phi }$. $\mathrm{ 5f_{xyz}: n=5, \ell=3, m=-2: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{1.260.000.000 \sqrt{3 \pi}} \rho^3 \begin{pmatrix} 20 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu 2 \phi }$. $\mathrm{ 5f_{x^3}: n=5, \ell=3, m=3: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{3.780.000.000 \sqrt{2 \pi}} \rho^3 \begin{pmatrix} 20 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^3 \sigma \upsilon \nu 3 \phi }$. $\mathrm{ 5f_{y^3}: n=5, \ell=3, m=3: \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{3.780.000.000 \sqrt{2 \pi}} \rho^3 \begin{pmatrix} 20 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^3 \eta \mu 3 \phi }$. 5gz4: n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 35 \sigma \upsilon \nu^4 \theta - 30 \sigma \upsilon \nu^2 \theta + 3 \end{pmatrix} }$. 5gz2x: n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 4 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 3 \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - 3 \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi \sigma \upsilon \nu \theta }$. 5gz2y: n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 4 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 3 \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - 3 \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu \theta \eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \theta }$. 5gz2xy: n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 6 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu^2 \theta \eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \phi }$. 5gz2(x2-y2): n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \begin{pmatrix} 6 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - 2 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu^2 \theta }$. 5gzx3: n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^3 \theta \sigma \upsilon \nu \phi \sigma \upsilon \nu \theta \begin{pmatrix} 1 - 4 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} }$. 5gzy3: n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^3 \theta \eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \theta \begin{pmatrix} 3 - 4 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} }$. 5gxy(x2-y2): n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^3 \theta \sigma \upsilon \nu \phi \sigma \upsilon \nu \theta \begin{pmatrix} 1 - 2 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} }$. 5gx4+y4: n=5, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{28.800 \sqrt{70 \pi}} r^4 e^{- \frac{\rho}{5}} \eta \mu^4 \theta \begin{pmatrix} 1 - 4 \sigma \upsilon \nu^2 \phi \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} }$. 6s: n=6, $\mathrm{\ell}$=0: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{1.049.760 \sqrt{6 \pi}} \begin{pmatrix} 174.960 - 145.800 \rho + 32.400 \rho^2 - 2.700 \rho^3 + 90 \rho^4 - \rho^5 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} }$. 6px: n=6, $\mathrm{\ell}$=1: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{12.186 \sqrt{70 \pi}} r \begin{pmatrix} 5.506.240 - 1.870.830 \rho + 183.708 \rho^2 - 6.804 \rho^3 + 81 \rho^4 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 6py: n=6, $\mathrm{\ell}$=1: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{12.186 \sqrt{70 \pi}} r \begin{pmatrix} 5.506.240 - 1.870.830 \rho + 183.708 \rho^2 - 6.804 \rho^3 + 81 \rho^4 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. 6pz: n=6, $\mathrm{\ell}$=1: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{12.186 \sqrt{70 \pi}} r \begin{pmatrix} 5.506.240 - 1.870.830 \rho + 183.708 \rho^2 - 6.804 \rho^3 + 81 \rho^4 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \sigma \upsilon \nu \theta }$. 6dz2: n=6, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{839.808 \sqrt{21 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 9.072 - 1.512 \rho + 72 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 3 \sigma \upsilon \nu^2 \theta -1 \end{pmatrix} }$. 6dzx: n=6, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{419.904 \sqrt{35 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 9.072 - 1.512 \rho + 72 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 6dyz: n=6, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{419.904 \sqrt{35 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 9.072 - 1.512 \rho + 72 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu \phi }$. 6dx2-y2: n=6, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{839.808 \sqrt{35 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 9.072 - 1.512 \rho + 72 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \begin{pmatrix} 2 \phi \end{pmatrix} }$. 6dxy: n=6, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{419.904 \sqrt{35 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 9.072 - 1.512 \rho + 72 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 5 \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - 3 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 6fx3: n=6, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{97.200 \sqrt{10 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 5 \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - 3 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 6fy3: n=6, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{97.200 \sqrt{10 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}}\begin{pmatrix} 5 \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi - 3 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. 6fz3: n=6, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{97.200 \sqrt{10 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 5 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 3 \end{pmatrix} \sigma \upsilon \nu \theta }$. 6fx(z2-y2): n=6, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{97.200 \sqrt{2 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} \sigma \upsilon \nu ^2 \theta - \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 6fy(z2-x2): n=6, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{97.200 \sqrt{2 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} \sigma \upsilon \nu ^2 \theta - \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. 6fz(x2-y2): n=6, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{97.200 \sqrt{2 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 1 - 2 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu^2 \theta }$. 6fxyz: n=6, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{194.400 \sqrt{2 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \phi \eta \mu \phi }$. 6gz4: n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 35 \sigma \upsilon \nu^4 \theta - 30 \sigma \upsilon \nu^2 \theta + 3 \end{pmatrix} }$. 6gz2x: n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 4 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 3 \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - 3 \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi \sigma \upsilon \nu \theta }$. 6gz2y: n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 4 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 3 \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - 3 \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu \theta \eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \theta }$. 6gz2xy: n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 6 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu^2 \theta \eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \phi }$. 6gz2(x2-y2): n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \begin{pmatrix} 6 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - 2 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu^2 \theta }$. 6gzx3: n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \eta \mu^3 \theta \sigma \upsilon \nu \phi \sigma \upsilon \nu \theta \begin{pmatrix} 1 - 4 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} }$. 6gzy3: n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \eta \mu^3 \theta \eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \theta \begin{pmatrix} 3 - 4 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} }$. 6gxy(x2-y2): n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}} \eta \mu^3 \theta \sigma \upsilon \nu \phi \sigma \upsilon \nu \theta \begin{pmatrix} 1 - 2 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} }$. 6gx4+y4: n=6, $\mathrm{\ell}$=4: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{k}{457.400 \sqrt{70 \pi}} r^4 \begin{pmatrix} 24 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{6}}\eta \mu^4 \theta \begin{pmatrix} 1 - 4 \sigma \upsilon \nu^2 \phi \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} }$. 7s: n=7, $\mathrm{\ell}$=0: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{117.649 k \sqrt{\pi}} \begin{pmatrix} 296.475.480 - 254.121.408 \rho + 60.505.200 \rho^2 - 5.762.400 \rho^3 + 246.960 \rho^4 - 4.704 \rho^5 + 32 \rho^6 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} }$. 7px: n=7, $\mathrm{\ell}$=1: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{117.649 k \sqrt{\pi}} r \begin{pmatrix} 112.943.040 - 40.336.800 \rho + 4.609.920 \rho^2 - 164.640 \rho^3 + 4.480 \rho^4 - 32 \rho^5 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 7py: n=7, $\mathrm{\ell}$=1: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{117.649 k \sqrt{\pi}} r \begin{pmatrix} 112.943.040 - 40.336.800 \rho + 4.609.920 \rho^2 - 164.640 \rho^3 + 4.480 \rho^4 - 32 \rho^5 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. 7pz: n=7, $\mathrm{\ell}$=1: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{117.649 k \sqrt{\pi}} r \begin{pmatrix} 112.943.040 - 40.336.800 \rho + 4.609.920 \rho^2 - 164.640 \rho^3 + 4.480 \rho^4 - 32 \rho^5 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \sigma \upsilon \nu \theta }$. 7dz2: n=7, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{453.789 \sqrt{21 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 14.406 - 2.958 \rho + 84 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \begin{pmatrix} 3 \sigma \upsilon \nu^2 \theta -1 \end{pmatrix} }$. 7dzx: n=7, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{453.789 \sqrt{7 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 14.406 - 2.958 \rho + 84 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 7dyz: n=7, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{453.789 \sqrt{7 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 14.406 - 2.958 \rho + 84 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu \phi }$. 7dx2-y2: n=7, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{907.578 \sqrt{7 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 14.406 - 2.958 \rho + 84 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \begin{pmatrix} 2 \phi \end{pmatrix} }$. 7dxy: n=7, $\mathrm{\ell}$=2: $\mathrm{\psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{453.789 \sqrt{7 \pi}} r^2 \begin{pmatrix} 14.406 - 2.958 \rho + 84 \rho^2 - \rho^3 \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \begin{pmatrix} 5 \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - 3 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 7fx3: n=7, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{180.075 \sqrt{10 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 28 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \begin{pmatrix} 5 \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi - 3 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 7fy3: n=7, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{180.075 \sqrt{10 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 28 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \begin{pmatrix} 5 \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi - 3 \end{pmatrix} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. 7fz3: n=7, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{1}{180.075 \sqrt{10 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 28 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \begin{pmatrix} 5 \sigma \upsilon \nu^2 \theta - 3 \end{pmatrix} \sigma \upsilon \nu \theta }$. 7fx(z2-y2): n=7, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{180.075 \sqrt{2 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 28 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \begin{pmatrix} \sigma \upsilon \nu ^2 \theta - \eta \mu^2 \theta \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \phi }$. 7fy(z2-x2): n=7, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{180.075 \sqrt{2 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 28 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \begin{pmatrix} \sigma \upsilon \nu ^2 \theta - \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu^2 \phi \end{pmatrix} \eta \mu \theta \eta \mu \phi }$. 7fz(x2-y2): n=7, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{180.075 \sqrt{2 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 28 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \begin{pmatrix} 1 - 2 \eta \mu^2 \phi \end{pmatrix} \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu^2 \theta }$. 7fxyz: n=7, $\mathrm{\ell}$=3: $\mathrm{ \psi \begin{pmatrix} r, \theta, \phi \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{3}}{360.150 \sqrt{2 \pi}} r^3 \begin{pmatrix} 28 - \rho \end{pmatrix} e^{- \frac{\rho}{7}} \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu^2 \theta \sigma \upsilon \nu \phi \eta \mu \phi }$.

Επεξήγηση συμβολισμών
όπου $\mathrm{\rho = \frac{r}{\alpha_0}}$, με $\mathrm{\alpha_0 = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e {q_e}^2} }$ « ακτίνα Bohr ». k γινόμενο σταθερών. L: πολυώνυμο Laguerre.

Χημικά είδη υδρογόνου

Το κατιόν διυδρογόνου

Ηλεκτρονική δομή H₂⁺

Το κατιόν διυδρογόνου (Η₂⁺) είναι το απλούστερο διπυρηνικό σύστημα, αποτελούμενο από δυο πυρήνες με ένα πρωτόνιο ο καθένας. Χρησιμεύει σαν μοντέλο για τη διερεύνση των μοριακών τροχιακών. Πάντως, αν και γενικά είναι απλό σχετικά σύστημα, αποτελεί στην ουσία πρόβλημα τριών σωματιδίων, με αποτέλεσμα να μην έχει απόλυτα ακριβή λύση. Η εξίσωση Schrödinger για το σύστημα γράφεται:

$\mathrm{H \psi = E \psi}$
ή πιο αναλυτικά:
$\mathrm{- \begin{Bmatrix} \begin{matrix} 3 \\ \sum \\ i=1 \end{matrix} \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2 m_i} {\nabla_i}^2 + V \begin{pmatrix} x_i,y_i,z_i \end{pmatrix} \end{bmatrix} \end{Bmatrix} \psi = E \psi \Leftrightarrow - \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2} \begin{pmatrix} \frac{{\nabla_{p_1}}^2 + {\nabla_{p_2}}^2}{m_p} + \frac{{\nabla_e}^2}{m_e} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_{p_1},y_{p_1},z_{p_1} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_{p_2},y_{p_2},z_{p_2} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi}$

όπου

$\mathrm{{\nabla_i}^2 = \frac{\partial^2}{\partial {x_i}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {y_i}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {z_i}^2}}$

όπου

x_p1,2, y_p1,2, z_p1,2: οι καρτεσιανές συντεταγμένες των πρωτονίων στο χώρο.

x_e, y_e, z_e: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο.

m_p: η μάζα του πρωτονίου: $\mathrm{m_p = 1,67262158 \cdot 10^{-28} \; kg}$.

m_e: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg}$.

Ισοτοπικές περιπτώσεις:

* Στην περίπτωση που έχουμε ισότοπα του κοινού 1Η, δηλαδή D («δευτέριο») ή T («τρίτιο»), έχουμε αντίστοιχα md ή mt αντί mp. Συγκεκριμένα, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. DH+: $\mathrm{- \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2} \begin{pmatrix} \frac{{\nabla_p}^2}{m_p} + \frac{{\nabla_d}^2}{m_d} + \frac{{\nabla_e}^2}{m_e} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_p,y_p,z_p \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_d,y_d,z_d \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi}$ όπου xp, yp, zp: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του πρωτονίου στο χώρο. xd, yd, zd: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του δευτερονίου (δηλαδή του πυρήνα δευτερίου) στο χώρο. xe, ye, ze: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο. mp: η μάζα του πρωτονίου: $\mathrm{m_p = 1,67262158 \cdot 10^{-28} \; kg}$. md: η μάζα του δευτερονίου: $\mathrm{m_d = m_p + m_n - \Delta m = 2 \; amu}$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg}$. Δm: Πυρηνικό έλλειμμα μάζας: Ποσότητα μάζας που λείπει σπό τους πυρήνες σε σχέση με το άθροισμα μαζών των σωματιδίων που τους αποτελούν. Αντιστοιχεί στην ενέργεια από τη δράση των πυρηνικών δυνάμεων που συγκρατούν τα πυρηνικά σωματίδια. Είναι: $\mathrm{\Delta m = \frac{E}{c^2}}$. 2. TH+: $- \mathrm{\begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2} \begin{pmatrix} \frac{{\nabla_p}^2}{m_p} + \frac{{\nabla_t}^2}{m_t} + \frac{{\nabla_e}^2}{m_e} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_p,y_p,z_p \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_t,y_t,z_t \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi}$ όπου xp, yp, zp: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του πρωτονίου στο χώρο. xt, yt, zt: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του τριτονίου (δηλαδή του πυρήνα τρίτιου) στο χώρο. xe, ye, ze: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο. mp: η μάζα του πρωτονίου: $\mathrm{m_p = 1,67262158 \cdot 10^{-28} \; kg}$. mt: η μάζα του τριτονίου: $\mathrm{m_t = m_p + 2m_n - \Delta m = 3 \; amu}$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg}$. Δm: Πυρηνικό έλλειμμα μάζας: Ποσότητα μάζας που λείπει σπό τους πυρήνες σε σχέση με το άθροισμα μαζών των σωματιδίων που τους αποτελούν. Αντιστοιχεί στην ενέργεια από τη δράση των πυρηνικών δυνάμεων που συγκρατούν τα πυρηνικά σωματίδια. Είναι: $\mathrm{\Delta m = \frac{E}{c^2}}$. 3. D2+: $\mathrm{- \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2} \begin{pmatrix} \frac{{\nabla_{d_1}}^2 + {\nabla_{d_2}}^2}{m_d} + \frac{{\nabla_e}^2}{m_e} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_{d_1},y_{d_1},z_{d_1} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_{d_2},y_{d_2},z_{d_2} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi}$ όπου xd1,2, yd1,2, zd1,2: οι καρτεσιανές συντεταγμένες των δευτερονίων (δηλαδή των πυρήνων δευτερίου) στο χώρο. xe, ye, ze: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο. md: η μάζα του δευτερονίου: $\mathrm{m_d = m_p + m_n - \Delta m = 2 \; amu}$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg}$. Δm: Πυρηνικό έλλειμμα μάζας: Ποσότητα μάζας που λείπει σπό τους πυρήνες σε σχέση με το άθροισμα μαζών των σωματιδίων που τους αποτελούν. Αντιστοιχεί στην ενέργεια από τη δράση των πυρηνικών δυνάμεων που συγκρατούν τα πυρηνικά σωματίδια. Είναι: $\mathrm{\Delta m = \frac{E}{c^2}}$. 4. DT+: $\mathrm{- \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2} \begin{pmatrix} \frac{{\nabla_d}^2}{m_d} + \frac{{\nabla_t}^2}{m_t} + \frac{{\nabla_e}^2}{m_e} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_d,y_d,z_d \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_t,y_t,z_t \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi}$ όπου xd, yd, zd: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του δευτερονίου (δηλαδή του πυρήνα δευτερίου) στο χώρο. xt, yt, zt: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του τριτονίου (δηλαδή του πυρήνα τρίτιου) στο χώρο. xe, ye, ze: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο. md: η μάζα του δευτερονίου: $\mathrm{m_d = m_p + m_n - \Delta m = 2 \; amu}$. mt: η μάζα του τριτονίου: $\mathrm{m_t = m_p + 2m_n - \Delta m = 3 \; amu}$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg}$. Δm: Πυρηνικό έλλειμμα μάζας: Ποσότητα μάζας που λείπει σπό τους πυρήνες σε σχέση με το άθροισμα μαζών των σωματιδίων που τους αποτελούν. Αντιστοιχεί στην ενέργεια από τη δράση των πυρηνικών δυνάμεων που συγκρατούν τα πυρηνικά σωματίδια. Είναι: $\mathrm{\Delta m = \frac{E}{c^2}}$. 5. T2+: $\mathrm{- \begin{bmatrix} \frac{h^2}{8 \pi^2} \begin{pmatrix} \frac{{\nabla_{t_1}}^2 + {\nabla_{t_2}}^2}{m_t} + \frac{{\nabla_e}^2}{m_e} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_{t_1},y_{t_1},z_{t_1} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_{t_2},y_{t_2},z_{t_2} \end{pmatrix} + V \begin{pmatrix} x_e,y_e,z_e \end{pmatrix} \end{bmatrix} \psi = E \psi}$ όπου xt1,2, yt1,2, zt1,2: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του τριτονίου (δηλαδή των πυρήνων δευτερίων) στο χώρο. xe, ye, ze: οι καρτεσιανές συντεταγμένες του ηλεκτρονίου στο χώρο. mt: η μάζα του τριτονίου: $\mathrm{m_t = m_p + 2m_n - \Delta m = 3 \; amu}$. me: η μάζα του ηλεκτρονίου: $\mathrm{m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \; kg}$. Δm: Πυρηνικό έλλειμμα μάζας: Ποσότητα μάζας που λείπει σπό τους πυρήνες σε σχέση με το άθροισμα μαζών των σωματιδίων που τους αποτελούν. Αντιστοιχεί στην ενέργεια από τη δράση των πυρηνικών δυνάμεων που συγκρατούν τα πυρηνικά σωματίδια. Είναι: $\mathrm{\Delta m = \frac{E}{c^2}}$.

Και παλι η περίπτωση απλουστεύεται με την προσεγγιστική θεώρηση ότι οι δυο πυρήνες είναι ακίνητοι σε σχέση με το πολύ πιο μικρό, και άρα κινητικό, ηλεκτρόνιο. Σύμφωνα με τη «θεωρία των μοριακών τροχιακών», τα δυο 1s ατομικά τροχιακά των ατόμων υδρογόνου (έστω αν το ένα είναι κενό, για να έχουμε κατιόν) «επικαλύπτονται» και σχηματίζουν δυο μοριακά τροχιακά σ (1s-1s) και σ^* (1s-1s). Μαθηματικά, τα δυο αυτά τροχιακά αποδίδονται από τις ακόλουθες μοριακές κυματοσυναρτήσεις:

$\mathrm{\psi_{\sigma_{1s-1s}}^2 = \frac{{\begin{pmatrix} \psi_{1s_A} + \psi_{1s_B} \end{pmatrix}} ^2}{\sqrt{2} + 2 \int \psi_{1s_A} \psi_{1s_B}dV}}$

Στην περίπτωση αυτή παρατηρείται αυξημένη ηλεκτρονιακή πυκνότητα (ή αλλιώς πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου, ψ²) ανάμεσα στους πυρήνες, οπότε η έλξη του από αυτούς υπερκαλύπτει την άπωση μεταξύ τους και σταθεροποιεί το μοριακό σύστημα. Πρόκειται για «δεσμικό τροχιακό». Η κατάληψή του από το ηλεκτρόνιο του κατιόντος (βασική κατάσταση) δημιουργεί $\frac{1}{2}$ (δηλ. ένα ηλεκτρόνιο για δυο πυρήνες) ομοιοπολικό δεαμό.

$\mathrm{\psi_{\sigma_{1s-1s}^*}^2 = \frac{{\begin{pmatrix} \psi_{1s_A} - \psi_{1s_B} \end{pmatrix}}^2}{\sqrt{2} - 2 \int \psi_{1s_A} \psi_{1s_B}dV}}$

Στην περίπτωση αυτή παρατηρείται μειωμένη ηλεκτρονιακή πυκνότητα (ή αλλιώς πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου, ψ²) ανάμεσα στους πυρήνες, οπότε η έλξη του από αυτούς υπερκαλύπτεται από την άπωση μεταξύ τους και αποσταθεροποιείται το μοριακό σύστημα. Πρόκειται για «αντιδεσμικό τροχιακό». Η κατάληψή του από το ηλεκτρόνιο του κατιόντος (διεγερμένη κατάσταση) διασπά το δεσμό και το διατομικό ιόν.

Το διυδρογόνο

Τα πρώτα ίχνη παρατηρήθηκαν σε υγρό υδρογόνο (σε θάλαμο φυσαλίδων) στο Bevatron. Δύο έντονοι κύκλοι πάνω σε σκούρο υπόβαθρο, που περιέχουν πολλές λεπτές γραμμές στο εσωτερικό τους

.

Υπάρχουν δύο (2) διαφορετικά ισομερή περιστροφής διατομικών μορίων υδρογόνου (δηλαδή διυδρογόνου), που διαφέρουν ως προς τη σχετική περιστροφή των πυρήνων τους. Στο «ορθοϋδρογόνο» οι περιστροφές είναι παράλληλες και σχηματίζουν μια «τριπλή» κατάσταση με ένα μοριακό κβαντικό spin 1 (½+½). Στο «παραϋδρογόνο» οι περιστροφές είναι αντιπαράλληλες και σχηματίζουν μια «απλή» κατάσταση με ένα μοριακό κβαντικό spin 0 (½-½). Στην κανική θερμοκρασία και πίεση (0 °C, 1 atm), το αέριο υδρογόνο περιέχει περίπου 75% ορθοϋδρογόνο και 25% παραϋδρογόνο, ένα μείγμα που είναι γνωστό ως «κανονική μορφή» ("normal form"). Η αναλογία των δυο ισομερών εξαερτάται από τη θερμοκρασία, αλλά επειδή το ορθοϋδρογόνο είναι μια διεγρμένη κατάσταση και έχει υψηλότερο ενεργειακό επίπεδο σε σχέση με το παραϋδρογόνο, είναι ασταθές και δεν μπορεί να απομονωθεί (δηλαδή δεν μπορεί να βρεθεί 100% παραϋδρογόνο). Σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες κυριαρχεί σχεδόν αποκλειστικά το παραϋδρογόνο.Η υγρή και η στερεή φάση του καθαρού παραϋδρογόνου διαφέρουν σημαντικά από αυτές της κανονικής μορφής, γιατί υπάρχουν διαφορές στις θερμοχωρητικότητες περιστροφής.. Η ορθο-/παρα- διάκριση ισχύει επίσης και σε λειτουργικές ομάδες ή άλλα μόρια που περιέχουν υδρογόνο, όπως το νερό και το μεθυλένιο, αλλά έχουν μικρή επίπτωση στις θερμικές τους ιδιότητες.

Η μη καταλυτική αλληλομετατροπή μεταξύ παραϋδρογόνου και ορθοϋδρογόνου αυξάνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Έτσι γρήγορα το συμπιεσμένο υδρογόνο περιέχει μεγάλα ποσοστά υψηλής ενέργειας ορθοϋδρογόνου, το οποίο μετατρέπεται σε παραϋδρογόνο με πολύ αργό ρυθμό. Η αναλογία ορθοϋδρογόνου - παραϋδρογόνου σε συμπιεσμένο υδρογόνο είναι ένας σημαντικός παράγοντας που λαμβάνεται υπόψη κατά την παραγωγή και αποθήκευση υγρού υδρογόνου, γιατί η μετατροοή ορθοϋδρογόνου σε παραϋδρογόνο είναι διεργασία εξώθςεμη και παράγει αρκετή θερμότητα ώστε να εξαερώσει μια ποσότητα υγρού υδρογόνου, οδηγώντας σε απώλεια του υγροποιημένου υλικού. Ως καταλύτες για τη μετατροπή ορθοϋδρογόνου σε παραϋδρογόνο χρησιμοποιούνται κατά την ψύξη του υδρογόνου το τριοξείδιο του σιδήρου, ο ενεργός άνθρακας, λευκοχρυσιούχος αμίαντος, σπάνιες γαίες, ενώσεις του ουρανίου, οξείδιο του χρωμίου ή κάποιες ενώσεις του νικελίου.

Το τριυδρογονοκατιόν

Το τριυδρογονοκατιόν ή πρωτονιομένο μοριακό υδρογόνο (H₃⁺), έχει βρεθεί στο μεσοαστρικό ενδιάμεσο, όπου δημιουργείται με ιονισμό μοριακού υδρογόνου από την κοσμική ακτινοβολία. Επίσης παρατηρήθηκε η παρουσία του στην ανώτερη ατμόσφαιρα του πλανήτη Δία. Αυτό το χημικό είδος είναι σχετικά σταθερό στο διαστημικό περιβάλλον, εξαιτίας της χαμηλής θερμοκρασίας και της μικρής πυκνότητας που επικρατεί εκεί. Είναι ένα από τα πιο άφθονα ιόντα στο Σύμπαν, και παίζει αξιοσημείωτο ρόλο στη χημεία του μεσοαστρικού μέσου.

Το τριυδρογόνο

Το τριυδρογόνο ή τριατομικό υδρογόνο (H₃) έχει βρεθεί μόνο σε διεγερμένη μορφή και είναι ασταθές.

Παραγωγή

Η μη ύπαρξη καθαρού αερίου υδρογόνου θέτει το πρόβλημα της παρασκευής του. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την παρασκευή υδρογόνου είναι πολυάριθμες:

1. Από το φυσικό αέριο ή το φωταέριο, με κλασματική διαπίδυση.

2. Με την επίδραση νερού σε νάτριο (ή κάλιο) «εν ψυχρώ»:

$\mathrm{2H_2O + 2Na \xrightarrow{} 2NaOH + H_2 \uparrow}$

• Η αντίδραση είναι έντονα εξώθερμη. Αν γίνει χωρίς προσοχή καταλήγει σε έκρηξη του παραγόμενου υδρογόνου, λόγω ανάφλεξής του με το ατμοσφαιρικό οξυγόνο. Με χρήση καλίου, η έκρηξη είναι ακόμη πιο βίαιη.

3. Με την επίδραση αλκοόλης σε νάτριο «εν ψυχρώ»:

$\mathrm{2CH_3CH_2OH + 2Na \xrightarrow{} 2CH_3CH_2ONa + H_2 \uparrow}$

• Η αντίδραση είναι έντονα εξώθερμη. Αν γίνει χωρίς προσοχή καταλήγει σε έκρηξη του παραγώμενου υδρογόνου, λόγω ανάφλεξής του (πιθανόν και της αλκοόλης) με το ατμοσφαιρικό οξυγόνο.
• Η αντίδραση πραγματοποιείται και με άλλες αλκοόλες και με K, οι περισσότερες πιο αργά απ' ότι με το νερό, αλλά με αρωματικές όπως η φαινόλη, σε υγρή κατάσταση, ταχύτερα. Με χρήση καλίου η αντίδραση είναι ακόμη πιο βίαιη.

4. Με την επίδραση υπέρθερμων υδρατμών σε διάπυρο σίδηρο:

$\mathrm{4H_2O + 3Fe \xrightarrow{\triangle} Fe_3O_4 + 4H_2}$

5. Με την επίδραση υπέρθερμων υδρατμών σε διάπυρο άνθρακα:

$\mathrm{2H_2O + C \xrightarrow{\triangle} CO_2 + 2H_2}$

6. Με την επίδραση νερού σε υδρίδια, όπως το υδρίδιο του λιθίου:

$\mathrm{2H_2O + 2LiH \xrightarrow{} 2LiOH + H_2}$

7. Με ηλεκτρόλυση νερού: Στην πράξη πρόκειται για ηλεκτρόλυση διαλύματος NaOH που αντιστοιχεί έμμεσα σε ηλεκτρόλυση νερού. (Το αποσταγμένο νερό είναι κακός αγωγός του ηλεκτρισμού και δεν περιέχει ιόντα για να γίνει ηλεκτρόλυση):

• Η συνολική αντίδραση εκφράζεται από την ακόλουθη στοιχειομετρική εξίσωση:

$\mathrm{H_2O \xrightarrow[NaOH]{\eta \lambda \epsilon \kappa \tau \rho \acute{o} \lambda \upsilon \sigma \eta } H_2 + \frac{1}{2}O_2}$

8. Από τα οξέα, με αντικατάσταση του Η από ηλεκτροθετικότερο μέταλλο:

$\mathrm{Zn + H_2SO_4 \xrightarrow{} ZnSO_4 + H_2}$

• Δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν γι' αυτόν το σκοπό μέταλλα λιγότερο ηλεκτροθετικά από το υδρογόνο, όπως π.χ. Cu.

9. Από τις βάσεις με την επίδραση επαμφοτεριζόντων στοιχείων:

$\mathrm{6KOH + 2Al \xrightarrow{} 2K_2AlO_3 + 3H_2}$

10. Από την πυρόλυση του μεθανίου:

$\mathrm{CH_4 \xrightarrow{\triangle} C + 2H_2}$

11. Aπό το μεθάνιο με την επίδραση νερού και παρουσία νικελίου ως καταλύτη (παραγωγή υδραερίου):

$\mathrm{CH_4 + H_2O \xrightarrow[700-1100^oC]{Ni} CO + 3H_2}$

12. Με καταλυτική αφυδρογόνωση αιθανίου

$\mathrm{CH_3CH_3 \xrightarrow[Pd, Pt]{\triangle} CH_2=CH_2 + H_2}$

13. Mε υδροδιάσπαση στους 5000^oC:

$\mathrm{2H_2O \xrightarrow{5000^oC} 2H_2 + O_2}$

• Οι μέθοδοι παρασκευής, ενδεικτικά, χωρίζονται σε 4 κατηγορίες: τις αντιδράσεις απλής αντικατάστασης, τις θερμοχημικές, τις ηλεκτρολυτικές και τις φωτολυτικές. Όλες είναι άμεσα ή έμμεσα ενεργοβόρες αντιδράσεις.

Φυσικές ιδιότητες

Σε κανονικές συνθήκες το υδρογόνο έχει πυκνότητα 0,0899 kg/m³, περίπου δέκα φορές μικρότερη από αυτή του αέρα και, για αυτό το λόγο, δεν βρίσκεται σε μεγάλες ποσότητες στην ατμόσφαιρα, αφού, σε συνδυασμό με τη μικρή του μάζα, μπορεί να διαφύγει από τις βαρυτικές δυνάμεις της Γης. Με εξαίρεση το ήλιο, το υδρογόνο έχει το χαμηλότερο σημείο βρασμού (20,268 K) και πήξεως (14,025 K). Το υδρογόνο σε υγρή φάση είναι άχρωμο σε μικρές ποσότητες αλλά ανοιχτό μπλε σε δείγματα με σημαντικό βάθος. Το στερεό υδρογόνο είναι επίσης άχρωμο.

Στη φύση συναντώνται τρία διαφορετικά ισότοπα. Το ισότοπο που αποτελεί το 99,98% των ατόμων υδρογόνου ονομάζεται πρώτιο (¹H) και αποτελείται από ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο. Σε ποσοστό 0,02% συναντούμε ένα δεύτερο ισότοπο, το δευτέριο (ή ²D ) το οποίο αποτελείται από ένα πρωτόνιο, ένα νετρόνιο και ένα ηλεκτρόνιο. Το δευτέριο χρησιμοποιείται σε πλήθος επιστημονικών εφαρμογών. Τέλος, το τρίτο ισότοπο ονομάζεται τρίτιο (ή ³Τ) αποτελούμενο από ένα πρωτόνιο, δύο νετρόνια και ένα ηλεκτρόνιο και αντιστοιχεί ένα σε 10000 άτομα υδρογόνου. Το τρίτιο είναι ραδιενεργό με χρόνο ημίσειας ζωής τα 12,4 χρόνια. Ήταν τεχνητό νουκλόνιο στη Γη μέχρι την πρώτη δοκιμή υδρογονοβόμβας.

Κατά την κβαντομηχανική προσέγγιση, συνοπτικά, τα πρωτόνια των μορίων υδρογόνου περιβάλλονται από το ηλεκτρονικό νέφος δύο ηλεκτρονίων. Η πυκνότητα πιθανότητας αυτού του νέφους είναι αυξημένη στο χώρο μεταξύ των πρωτονίων έτσι, ώστε το καθένα να θωρακίζεται από το ομόσημο φορτίου του άλλου. Η κατάσταση αυτή προκύπτει από άρτια (συμμετρική) κυματοσυνάρτηση να περιγράφει την ηλεκτρονική κατανομή στο μόριο. Όμως η ολική κυματοσυνάρτηση του συστήματος του μορίου του υδρογόνου (ως γινόμενο της χωρικής και αυτής των σπινς) πρέπει να είναι αντισυμμετρική σαν συνέπεια της αρχής του Pauli. Η κυματοσυνάρτηση των σπινς, επομένως, πρέπει να είναι αντισυμμετρική, δηλαδή τα σπινς των ηλεκτρονίων του μορίου να είναι αντιπαράλληλα.

Χημικές ιδιότητες και παράγωγα

Οξείδωση

Ένας από τους κύριους κινητήρες διαστημικού λεωφορείου καίγοντας μείγμα υδρογόνου και οξυγόνου παράγει μια σχεδόν αόρατη γαλάζια φλόγα σε πλήρη ώθηαη

Το αέριο υδρογόνο (ή διυδρογόνο ή μοριακό υδρογόνο) είναι πολύ εύφλεκτο και καίγεται στον αέρα σε ένα πολύ μεγάλο εύρος συγκεντρώσεων, από 4% - 75% κατ' όγκο. Η ενθαλπία της καύσης του υδρογόνου είναι -286 kJ/mole:

$\mathrm{2H_2 + O_2 \xrightarrow{} 2H_2O + 572 \;kJ}$

Το αέριο υδρογόνο σχηματίζει εκρηκτικά μείγματα με τον αέρα σε συγκεντρώσεις του 4-74% και με το χλώριο σε συγκεντρώσεις 5-95%. Τα μείγματα αυτά μπορούν να αναφλεγούν με σπινθήρα, θέρμανση ή παρουσία ηλιακόύ φωτός. Η θερμοκρασία αυτοανάφλεξης του υδρογόνου στον αέρα είναι 500 °C. Η φλόγα που παράγεται από την καύση καθαρού υδρογόνου και καθαρού οξυγόνου εκπέμπει κυρίως υπεριώδες φως και γι' αυτό είναι σχεδόν αόρατη από το ανθρώπινο μάτι, όπως φαίνεται καθαρά στην παραπάνω εικόνα με τον κινητήρα διαστημικού λεωφορείου. Η ανακάλυψη μιας φλόγας υδρογόνου από διαρροή μπορεί να απαιτεί έναν ανιχνευτή φλόγας και γι' αυτό είναι εξαιρετικά επικίνδυνη. Ένα διάσημο παράδειγμα ήταν η καταστροφή του αεροπλοίου Χίντενμπουργκ, στο οποίο οι φλόγες έγινες ορατές μόνο αφού αναφλέψθηκαν και άλλα καύσιμα υλικά, από το κέλυφος του σκάφους, που έδιναν ορατή φλόγα. Επειδή το υδρογόνο είναι πολύ ελαφρύτερο από τον αέρα, οι φλόγες υδρογόνου τείνουν να ανυψωθούν τάχιστα και γι' αυτό κάνουν μικρότερη ζημιά από τις φλόγες υδρογονανθράκων. Στο δυστύχημα με το αερόπλοιο, τα 2/3 τβν επιβατών του επέζησαν από την ανάφλεξη του υδρογόνου, ενώ πολλοί έχασαν τη ζωή τους ως αποτέλεσμα της πτώσης των υπολειμάτων του σκάφους και της ανάφλεξης του πετρελαίου που κινούσε τους προωθητικούς κινητήρες του. Το υδρογόνο αντιδρά με κάθε οξειδωτικό στοιχείο: Αντιδρά βίαια με το φθόριο και έντονα με το ψλώριο στη θερμοκρασία δωματιου (20 °C), σχηματίζοντας υδροφθόριο και υδροχλώριο, αντίστοιχα, που είναι ισχυρά και επικίνδυνα οξέα.

Άλλες χημικές αντιδράσεις

Τα άτομα υδρογόνου σχηματίζουν ομοιοπολικούς δεσμούς εκτός μεταξύ τους και με τα άλλα στοιχεία, όπως στις ενώσεις του μεθανίου (CH₄) και του νερού. Οι δεσμοί αυτοί δεν είναι πάντα ισχυροί αλλά σπάνε εύκολα όπως στην περίπτωση των οξέων. Παράδειγμα είναι το αιθανικό οξύ (CH₃COOH), ένα ασθενές οξύ. Διαλυόμενα σε νερό, ο ασθενής δεσμός του υδρογόνου σπάζει, με το υδρογόνο να αφήνει πίσω το ηλεκτρόνιο του και να μετατρέπεται σε ιόν υδρογόνου (H⁺).

Το υδρογόνο επίσης σχηματίζει ιοντικούς δεσμούς όπως για παράδειγμα στο LiH και τα άλλα υδρίδια μετάλλων.

Τέλος, το υδρογόνο μπορεί να σχηματίσει το λεγόμενο δεσμό υδρογόνου (hydrogen bond). Ο δεσμός αυτός γίνεται μόνο μεταξύ υδρογόνου και ενός ηλεκτραρνητικού στοιχείου, όπως: O, S, N, F ή Cl. Η ενέργεια του δεσμού αυτού είναι μικρή. Χαρακτηριστικότερο παράδειγμα αυτού αποτελεί το νερό όπου κάθε μόριο του -σε μη υψηλές θερμοκρασίες- συνδέεται με γειτονικά δημιουργώντας συμπλέγματα πολλών μορίων νερού. Ο δεσμός υδρογόνου κατά ένα μέρος οφείλεται σε δυνάμεις Van Der Waals ενώ έχουμε επιπρόσθεση δυνάμεων καθαρά χημικού δεσμού.

Το υδρογόνο κάτω από πολύ μεγάλη πίεση (1,5 εκατομμύρια ατμόσφαιρες) και θερμοκρασία (3000 K με 5000 K) μπορεί να συμπεριφερθεί και ως μέταλλο, ανακλώντας το φως και άγοντας το ηλεκτρικό ρεύμα.

Βιολογία

Το υδρογόνο είναι ένα από τα 27 απαραίτητα χημικά στοιχεία για τη ζωή. Μαζί με τον άνθρακα, το οξυγόνο και το άζωτο αποτελούν, σε ποσοστό, το 96% (κατά βάρος) των ζωντανών οργανισμών.

Το υδρογόνο ως φορέας ενέργειας

Το υδρογόνο έχει επιπλέον μία χρήση: Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως φορέας ενέργειας, δηλαδή ως μια μορφή ενεργειακού νομίσματος. Μάλιστα αυτή τη στιγμή γίνονται σημαντικές προσπάθειες, κυρίως στα ιδιαίτερα ανεπτυγμένα κράτη, για τη μετατροπή της προσαρμοσμένης στα συμβατικά καύσιμα υποδομής σε υποδομή με βάση το υδρογόνο. Ενδεικτικά, η Ισλανδία, προβλέπει υποδομή πλήρως βασισμένη στο υδρογόνο μέχρι το 2030 - 2040, ενώ μέχρι το 2030 στόχος του Υπουργείου Οικονομίας των ΗΠΑ είναι η αντικατάσταση του 10% της ενεργειακής κατανάλωσης από ενέργεια προερχόμενη από υδρογόνο.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα για το πώς το υδρογόνο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παραχθεί ενέργεια είναι οι λεγόμενες κυψέλες καυσίμου (fuel cells), στοιχεία τα οποία χρησιμοποιούνται για την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας με βάση το υδρογόνο. Περισσότερα για τις κυψέλες καυσίμου αναφέρονται πιο κάτω.

Η τάση κατανάλωσης καυσίμων όλο και μικρότερης περιεκτικότητας σε άνθρακα είναι ιστορικά εμφανής. Το υδρογόνο, απαλλαγμένο από κάθε ποσοστό άνθρακα, μπορεί να προσφέρει αρκετή ενέργεια για καθημερινές χρήσεις, όπως η ηλεκτροδότηση κτιρίων ή η κίνηση μεταφορικών μέσων.

Το ότι υπάρχει ένας σαφής προσανατολισμός προς την κατεύθυνση του υδρογόνου δεν είναι τυχαίο:

• Το υδρογόνο έχει τo υψηλότερο ενεργειακό περιεχόμενο ανά μονάδα βάρους από οποιοδήποτε άλλο γνωστό καύσιμο, 120,7 kJ/gr και 3 φορές μεγαλύτερο από αυτό της συμβατικής βενζίνης.
• Κάνει "καθαρή" καύση. Όταν καίγεται με οξυγόνο παράγει μόνο νερό και θερμότητα. Όταν καίγεται με τον ατμοσφαιρικό αέρα, ο όγκος του οποίου αποτελείται κατά 78% από άζωτο, παράγονται επίσης μερικά οξείδια του αζώτου, σε αμελητέο ωστόσο βαθμό.
• Για το λόγο ότι κάνει καθαρή καύση, δεν συμβάλλει στη μόλυνση του περιβάλλοντος. Το ποσό του νερού που παράγεται κατά τη καύση είναι τέτοιο, ώστε να θεωρείται επίσης αμελητέο και επομένως μη ικανό να επιφέρει κάποια κλιματολογική αλλαγή δεδομένης ακόμα και μαζικής χρήσης.

Ωστόσο, υπάρχουν και μειονεκτήματα στη χρήση του υδρογόνου ως καυσίμου, τα περισσότερα από τα οποία σχετίζονται με την ελλειπή σημερινή υποδομή και αποτελούν κυρίως τεχνικά προβλήματα τα οποία αναζητούν λύση:

• Ένα πρόβλημα είναι αυτό της αποθήκευσής του. Δεδομένου του ότι το υδρογόνο είναι πολύ ελαφρύ, η συμπίεση μεγάλης ποσότητας σε μικρού μεγέθους δεξαμενή είναι δύσκολη λόγω των υψηλών πιέσεων που χρειάζονται για να επιτευχθεί η υγροποίηση. Ωστόσο στην έκθεση της Φρανκφούρτης του 2001 παρουσιάστηκε μία υδρογονοκίνητη έκδοση του Mini Cooper, στο οποίο για την αποθήκευση του υδρογόνου χρησιμοποιήθηκε ένα νέο ρεζερβουάρ, που καταλαμβάνει τον ίδιο χώρο με ένα αντίστοιχο συμβατικό βενζινοκίνητων οχημάτων.
• Πρόβλημα επίσης αποτελεί η έλλειψη οργανωμένου δικτύου διανομής του. Μία λύση είναι η κατασκευή υπερκαλωδίων. Τα υπερκαλώδια θα μετέφεραν εξαιρετικά υψηλής έντασης ηλεκτρικά ρεύματα με σχεδόν μηδενική ηλεκτρική αντίσταση διαμέσου υπεραγώγιμων συρμάτων. Παράλληλα, μέσω των σωληνώσεων τους θα μεταφερόταν, υπό υψηλή πίεση, και υπέρψυχρο υδρογόνο σε εργοστάσια, σταθμούς ανεφοδιασμού υδρογονοκίνητων οχημάτων και, ίσως κάποια μέρα, σε οικιακούς φούρνους και καλοριφέρ.
• Υπάρχει, επίσης, το ζήτημα της προέλευσης της ενέργειας που δαπανάται για την παραγωγή του. Αν, για παράδειγμα, χρησιμοποιηθεί ενέργεια προερχόμενη από ανθρακούχα ορυκτά, το συνολικό περιβαλλοντολογικό όφελος είναι πρακτικά αρνητικό (συνυπολογίζοντας και την ενέργεια συμπίεσης/διαχείρισης).

Χρήσεις

Εν συντομία, αναφέρονται μερικές από τις χρήσεις του

• Το υδρογόνο χρησιμοποιείται από τη βιομηχανία σε μεγάλο ποσοστό για την παρασκευή αμμωνίας, μεθανίου, μεθανόλης, βενζινών και μυρμηκικού οξέος (HCOOH). Αυτά χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την παρασκευή άλλων προϊόντων, όπως εκρηκτικά, λιπάσματα, αντιψυκτικά κτλ.
• Η τεχνολογία τροφίμων χρησιμοποιεί το υδρογόνο για την παρασκευή τεχνητών λιπών με υδρογόνωση ελαίων.
• Το υδρογόνο επίσης χρησιμοποιείται από την επιστήμη της φυσικής με εφαρμογή στη μελέτη των στοιχειωδών σωματιδίων.
• Με τη μορφή υγρού βρίσκει χρήση στη μελέτη της υπεραγωγιμότητας.

Δείτε επίσης

• Βαρύ υδρογόνο
• Βόμβα υδρογόνου

Πηγές

• J.N. Murell, S.F.A. Kettle, J.N. Tedder: Ο Χημικός δεσμός, μια εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία, Μtφ Στ. Φαράντος, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1992.
• The Orbitron.