Εξίσωση Ντιράκ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Κβαντική Μηχανική
\Delta x\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Πρότυπο: προβ.  συζ.  επεξ.

Η εξίσωση Ντιράκ, που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του θεωρητικού φυσικού Πολ Ντιράκ, είναι μία εξίσωση της σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής, η οποία περιγράφει σωματίδια με σπιν. Η πρώτη προσπάθεια για μία σχετικιστική εξίσωση στην κβαντική μηχανική κατέληξε στην εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον, μία γενίκευση της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Το κίνητρο για τη δημιουργία της εξίσωσης Ντιράκ, ήταν να μπορέσει να αποφευχθεί η εμφάνιση αρνητικών ενεργειών μέσω της γραμμικοποίησης της εξίσωσης ως προς την παράγωγο του χρόνου, δηλαδή την ενέργεια. Η γραμμικοποίηση ως προς τον χρόνο επιτεύχθηκε, αλλά η ανάγκη ικανοποίησης της σχετικιστικής σχέσης για την ενέργεια E2=p2+m2 (c=1), επανεμφάνισε τις αρνητικές ενέργειες. Το κέρδος τελικά είναι ότι η νέα εξίσωση έχει λύσεις σε μορφή πινάκων, δηλαδή σε «πλουσιότερη» δομή και το σπιν προκύπτει αυθόρμητα μέσα από τις λύσεις της.

Η εξίσωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η μορφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η γραμμικοποίηση της Κλάιν-Γκόρντον ως προς την χρονική παράγωγο, επιβάλει γραμμικοποίηση και στην κλίση (ανάδελτα), ώστε να είναι η εξίσωση σε συναλλοίωτη μορφή. Τελικά στην εξίσωση δόθηκε η γενική μορφή:

i\frac{\partial\psi}{\partial t}=\left(-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\nabla}+\beta m\right)\psi

ή διαφορετικά:

H\psi=(\boldsymbol{\alpha}\cdot\bold{P}+\beta m)\psi

η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί επί πλέον την σχετικιστική εξίσωση ενέργειας-ορμής (και εδώ είναι που εισέρχονται και πάλι οι αρνητικές ενέργειες):

H^2\psi=(\bold{P}^2+m^2)\psi

Οι σταθερές αi, i=1,2,3 και β, είναι αρχικά αυθαίρετες και καθορίζονται μετέπειτα από ιδιότητες που προκύπτουν από την εξίσωση για την ικανοποίηση της σχετικιστικής ενέργειας.

Οι σταθερές αi και β[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συγκεκριμένα ισχύει:

H^2\psi=(\boldsymbol{\alpha}\cdot\bold{P}+\beta m)^2\psi=(\alpha_iP_i+\beta m)(\alpha_jP_j+\beta m)\psi=
=(\alpha_i^2P_i^2+(\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i)P_iP_j+(\alpha_i\beta+\beta\alpha_i)P_im+\beta^2m^2)\psi=
=(\bold{P}^2+m^2)\psi

Η τελευταία ισότητα φυσικά αποτελεί απαίτηση ώστε να δίνει η εξίσωσή μας, την σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής.

Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν τα εξής:

\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=0 \Leftrightarrow \{\alpha_i,\alpha_j\}=0\,\,, i\neq j
\alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0 \Leftrightarrow \{\alpha_i,\beta\}=0\,\,,i=1,2,3
\alpha_i^2=1
\beta^2=1

Συνεπώς προκύπτει ως συμπέρασμα από τις δύο πρώτες σχέσεις, ότι τα αi και β αντιμετατίθενται όλα μεταξύ τους και επομένως δεν είναι απλοί αριθμοί. Ιδιότητα μη μετάθεσης εμφανίζουν οι πίνακες και επομένως τα αi και ο β είναι πίνακες με τις παραπάνω ιδιότητες.

Αποδεικνύεται ότι οι πίνακες αi και β, είναι ερμιτιανοί, άιχνοι (μηδενικό ίχνος πίνακα), έχουν άρτια διάσταση και ιδιοτιμές ±1 [1].

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Halzen, F., & Martin, A. D. (1984). Quarks and leptons: an introductory course in modern particle physics. New York: Wiley.
  • Aitchison, I. J., & Hey, A. J. (2003). Gauge theories in particle physics (3rd ed.). New York: Taylor & Francis Group.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Halzen, F.; Martin, A. D. (1984). Quarks and leptons: an introductory course in modern particle physics. Wiley. σελ. 101. ISBN 0-471-88741-2.