Τετράγωνο

Τετράγωνο
	Ένα τετράγωνο . Όλες του οι γωνίες είναι ορθές και οι πλευρές του ίσες.
Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	4, ισόπλευρο
Γωνίες	4, ισογώνιο
Διαγώνιοι
Σύμβολο Schläfli
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	4
Περιστροφική συμμετρία	τέταρτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	(ή ακτίνια)
Εμβαδόν
Περίμετρος
Ακτίνα; εγγεγρ. κύκλου
Ακτίνα; περιγ. κύκλου
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	κανονικό οκτάγωνο, κανονικό δεκαεξάγωνο
Στερεά σχήματα	κύβος

Στην γεωμετρία, το τετράγωνο είναι το τετράπλευρο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες και τις γωνίες του ορθές.^[1]^:103^[2]^:94^[3]^:125-126 Είναι ένα από τα κανονικά πολύγωνα. Ισοδύναμα είναι ένα παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος ταυτόχρονα.

Ιδιότητες

Σε κάθε τετράγωνο ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.

Απόδειξη

Έστω το τετράγωνο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ , το οποίο έχει ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{\circ }$ .

Είναι,

Οι πλευρές $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma }$ κάθετες στην $\mathrm {B\Gamma }$ άρα είναι μεταξύ τους παράλληλες.
Οι πλευρές $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma }$ κάθετες στην $\mathrm {AB}$ άρα είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Συνεπώς το τετράγωνο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. $\quad \square$

Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του.

Απόδειξη

Το τετράγωνο είναι ορθογώνιο άρα οι διαγώνιοί του είναι ίσες.
Το τετράγωνο είναι ρόμβος άρα οι διαγώνιοί του είναι κάθετες, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του. $\quad \square$

Είναι εγγράψιμο σε έναν κύκλο.

Απόδειξη

Από την προηγούμενη ιδιότητα, οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες και διχοτομούνται. Αν ονομάσουμε ${\rm {O}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε ${\rm {OA=OB=O\Gamma =O\Delta }}$ . Συνεπώς, ο κύκλος με κέντρο το ${\rm {O}}$ και διάμετρο μία διαγώνιο του τετραγώνου διέρχεται από τις τέσσερεις κορυφές του. $\quad \square$

Είναι περιγράψιμο σε έναν κύκλο.

Απόδειξη

Έστω ${\rm {O}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του τεραγώνου $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ . Οι αποστάσεις του ${\rm {O}}$ από τις πλευρές του τετραγώνου είναι ίσες διότι οι διαγώνιοι είναι και διχοτόμοι των γωνιών του. Άρα ο κύκλος με κέντρο το ${\rm {O}}$ εφάπτεται τις τέσσερεις πλευρές του τετραγώνου. $\quad \square$

Έχει τέσσερεις άξονες συμμετρίας: τις δύο διαγωνίους και τις δύο μεσοπαράλληλους των απέναντι πλευρών.

Απόδειξη

Οι διαγώνιοι του τετραγώνου διχοτομούν τις γωνίες του άρα είναι άξονες συμμετρίας.
Οι μεσοπαράλληλοι των δύο απέναντι πλευρών είναι και μεσοκάθετοι των άλλων δύο πλευρών άρα είναι άξονες συμμετρίας. $\quad \square$

Έχει κέντρο συμμετρίας, το σημείο τομής των διαγωνίων του (για τέσσερεις διαφορετικές γωνίες $90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ },360^{\circ }$ ).

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τετραγώνου και το κέντρο του

{\rm {O}}

, που είναι και το κέντρο συμμετρίας του.

Ο εγγεγραμένος κύκλος του τετραγώνου.

Οι τέσσερις άξονες συμμετρίας του τετραγώνου.

Κριτήρια τετραγώνου

Ένα ορθογώνιο είναι τετράγωνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

Δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

Απόδειξη

Το ορθογώνιο έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ορθές.
Αν επιπλέον έχει και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες τότε έχει όλες τις πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ορθές, άρα είναι τετράγωνο. $\quad \square$

Μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία.

Απόδειξη

Έστω το ορθογώνιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ . Υποθέτουμε ότι η διαγώνιός του $\mathrm {A\Gamma }$ διχοτομεί την γωνία ${\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{\circ }$ . Τότε το ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {A\Gamma \Delta }$ έχει την γωνία του ${\hat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}=45^{\circ }$ , άρα είναι ισοσκελές με $\mathrm {A\Delta =\Delta \Gamma }$ . Το ορθογώνιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες και σύμφωνα με το προηγούμενο κριτήριο είναι τετράγωνο. $\quad \square$

Οι διαγώνιοι είναι κάθετες.

Απόδειξη

Έστω το ορθογώνιο με κάθετες διαγωνίους, άρα είναι ρόμβος και έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Συνεπώς είναι τετράγωνο. $\quad \square$

Μετρικές σχέσεις

Σε ένα τετράγωνο με πλευρά $\alpha$ , ισχύουν τα εξής:

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, προκύπτει ότι η διαγώνιος έχει μήκος $d={\sqrt {2}}\cdot \alpha$ .

Απόδειξη

Έστω το τετράγωνο

\mathrm {AB\Gamma \Delta }

και

\mathrm {A\Gamma }

η διαγώνιος του. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο

\mathrm {AB\Gamma }

, έχουμε ότι

d^{2}=\alpha ^{2}+\alpha ^{2}

.

και βρίσκουμε ότι η διαγώνιος του τετραγώνου έχει μήκος ${\textstyle d={\sqrt {2}}\cdot \alpha }$ . $\quad \square$

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου έχει μήκος ${\textstyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot \alpha }$ .

Απόδειξη

Η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου είναι ίση με την διαγώνιό του $d$ . Άρα η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου έχει μήκος

$R={\frac {d}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot \alpha$ .

$\square$

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου έχει μήκος ${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cdot \alpha }$ .

Απόδειξη

Η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου είναι ίση με την πλευρά του. Άρα η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου έχει μήκος

{\textstyle r={\frac {1}{2}}\cdot \alpha }

.

\quad \square

Εμβαδόν

Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι ίσο με $\alpha ^{2}$ .
Από όλα τα κυρτά τετράπλευρα με σταθερή περίμετρο, το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

Απόδειξη

Θα ξεκινήσουμε με ένα τυχόν κυρτό τετράπλευρο $T={\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και θα δημιουργήσουμε τρία τετράπλευρα με ίση περίμετρο και διαδοχικά μεγαλύτερο ή ίσο εμβαδόν:

Ένα τετράπλευρο $T_{1}={\rm {AB'\Gamma \Delta '}}$ με ${\rm {AB'=B'\Gamma }}$ και ${\rm {\Gamma \Delta '=\Delta 'A}}$ (δηλαδή ένας χαρταετός).
Ένα τετράπλευρο $T_{2}={\rm {A'B'\Gamma '\Delta '}}$ με ${\rm {A'B'=B'\Gamma '=\Gamma '\Delta '=\Delta 'A'}}$ (δηλαδή ένας ρόμβος).
Ένα τετράπλευρο $T_{3}={\rm {A''B''\Gamma ''\Delta ''}}$ που είναι τετράγωνο.

Αποδεικνύοντας ότι ${\rm {E}}_{T}\leq {\rm {E}}_{T_{1}}\leq {\rm {E}}_{T_{2}}\leq {\rm {E}}_{T_{3}}$ έπεται το ζητούμενο.

Αρχικό τετράπλευρο

{\rm {AB\Gamma \Delta }}

.

(Βήμα 1ο) Χαρταετός

{\rm {AB'\Gamma \Delta '}}

με ίση περίμετρο και μεγαλύτερο εμβαδόν.

(Βήμα 3ο) Ρόμβος

{\rm {A'B'\Gamma '\Delta '}}

με ίση περίμετρο και μεγαλύτερο εμβαδόν.

(Βήμα 4ο)Τετράγωνο

{\rm {A''B''\Gamma ''\Delta ''}}

με ίση περίμετρο και μεγαλύτερο εμβαδόν.

(Βήμα 1ο) Για το πρώτο βήμα, θα χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω λήμμα.

Λήμμα — Από όλα τα τρίγωνα με σταθερή πλευρά $\alpha$ και σταθερή περίμετρο $\alpha +\beta +\gamma =2\tau$ , το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδόν είναι το ισοσκελές, δηλαδή αυτό με $\beta =\gamma$ .

Απόδειξη λήμματος

Για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Ήρωνα, που εκφράζει το εμβαδόν του τριγώνου ως

{\rm {E}}={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}

.

Καθώς το $\alpha$ και το $\tau$ είναι σταθερά, έχουμε ότι για να μεγιστοποιήσουμε το εμβαδόν ${\rm {E}}$ πρέπει να μεγιστοποιήσουμε το

{\sqrt {(\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}

που είναι ισοδύναμο με το να μεγιστοποιήσουμε το

(\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )=\tau ^{2}-\tau \cdot (\beta +\gamma )+\beta \gamma =\tau ^{2}-\tau \cdot (2\tau -\alpha )+\beta \gamma

,

που είναι ισοδύναμο με το να μεγιστοποιήσουμε το

\beta \gamma

, όταν

\beta +\gamma

είναι σταθερό.

Για το τελευταίο, θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα^{[Σημείωση 1]}

4xy\leq (x+y)^{2}

,

η οποία ισχύει ως ισότητα αν και μόνο αν $x=y$ . Επομένως,

\beta \gamma \leq {\tfrac {1}{4}}(\beta +\gamma )^{2}=(2\tau -\alpha )^{2}

που ισχύει ως ισότητα όταν $\beta =\gamma$ .

Φέρνουμε την διαγώνιο

{\rm {A\Gamma }}

του τετραπλεύρου και χωρίζουμε το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα

{\rm {AB\Gamma }}

και

{\rm {A\Delta \Gamma }}

. Έστω

{\rm {B'}}

το σημείο για το οποίο το

{\rm {AB'\Gamma }}

είναι ισοσκελές και έχει την ίδια περίμετρο με το

{\rm {AB\Gamma }}

(και το

{\rm {B'}}

βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία

{\rm {A\Gamma }}

με το

{\rm {B}}

). Αντίστοιχα, ορίζουμε το

{\rm {\Delta '}}

για το

{\rm {\Delta }}

.

Εφαρμόζοντας το παραπάνω λήμμα με σταθερή πλευρά την διαγώνιο, έχουμε ότι το τετράπλευρο

T_{1}={\rm {AB'\Gamma \Delta '}}

έχει ίση περίμετρο με το

T

(καθώς

{\rm {AB+B\Gamma =AB'+B'\Gamma }}

και

{\rm {\Gamma \Delta +\Delta A=\Gamma \Delta '+\Delta 'A}}

), και επίσης

{\rm {E}}_{T_{1}}=({\rm {AB'\Gamma }})+({\rm {A\Delta '\Gamma }})\geq ({\rm {AB\Gamma }})+({\rm {A\Delta \Gamma }})={\rm {E}}_{T}

.

(Βήμα 2ο) Εφαρμόζοντας το πρώτο βήμα στο τετράπλευρο $T_{1}$ για την διαγώνιο ${\rm {B'\Delta '}}$ λαμβάνουμε ένα τετράπλευρο $T_{2}$ με ίση περίμετρο και ${\rm {E}}_{T_{2}}\geq {\rm {E}}_{T_{1}}$ , και επιπλέον όλες τις πλευρές ίσες μεταξύ τους, καθώς ξεκινήσαμε με ${\rm {A'B'+\Gamma '\Delta '=B'\Gamma '+\Delta 'A'}}$ , επομένως οι πλευρές των ισοσκελών τριγώνων θα είναι ίσες με το μισό αυτού του αθροίσματος.

(Βήμα 3ο) Αρκεί να δείξουμε ότι ο ρόμβος σταθερής πλευράς $\alpha$ με το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται, επομένως από το Πυθαγόρειο θεώρημα

\alpha ^{2}=(\delta _{1}/2)^{2}+(\delta _{2}/2)^{2}

.

και το εμβαδόν του είναι ίσο με

{\rm {E}}={\frac {1}{2}}\delta _{1}\delta _{2}

.

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα $2xy\leq x^{2}+y^{2}$ ,^{[Σημείωση 2]} έχουμε ότι

{\rm {E}}_{T_{3}}\leq {\tfrac {1}{4}}(\delta _{1}^{2}+\delta _{2}^{2})=\alpha ^{2}

.

Το εμβαδόν είναι ίσο με του τετραγώνου πλευράς $\alpha$ , ολοκληρώνοντας την απόδειξη.

Περίμετρος

Η περίμετρος του τετραγώνου είναι ίση με $4\cdot \alpha$ .

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Ακολουθούν οι λεπτομέρειες για τρεις δυνατές κατασκευές τετραγώνων με κανόνα και διαβήτη.

Τετράγωνο με δοσμένη πλευρά.

Τετράγωνο με δοσμένη διαγώνιο.

Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε δοσμένο κύκλο.

Κατασκευή με δοσμένη πλευρά

Ένα τετράγωνο με δοσμένη πλευρά ${\rm {AB}}$ μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

Διαλέγουμε ένα σημείο ${\rm {M}}$ εξωτερικό του ${\rm {AB}}$ .

Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο ${\rm {M}}$ και ακτίνα ${\rm {AM}}$ . Εντοπίζουμε το σημείο τομής ${\rm {E}}$ του κύκλου με την ${\rm {AB}}$ .

Επεκτείνοντας την ${\rm {EM}}$ βρίσκουμε το αντιδιαμετρικό σημείο ${\rm {Z}}$ του ${\rm {E}}$ . Από το Θεώρημα του Θαλή, η ${\rm {AZ}}$ είναι κάθετη στην ${\rm {AB}}$ .

Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο ${\rm {A}}$ και ακτίνα ${\rm {AB}}$ και εντοπίζουμε το σημείο τομής της ${\rm {\Delta }}$ με την επέκταση της ${\rm {AZ}}$ .

Διαγράφουμε τους κύκλους με κέντρα $\Delta$ και ${\rm {B}}$ και ακτίνα ${\rm {AB}}$ . Το ένα σημείο τομής τους είναι το ${\rm {A}}$ και το άλλο είναι το ${\rm {\Gamma }}$ .

Το ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ένα τετράγωνο.

Κατασκευή με δοσμένη διαγώνιο

Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με δοσμένη διάμετρο ${\rm {A\Gamma }}$ , κάνοντας την βασική παρατήρηση ότι η άλλη διάμετρος είναι η μεσοκάθετος της ${\rm {A\Gamma }}$ , ως εξής:

Διαγράφουμε δύο κύκλους με κέντρα ${\rm {A}}$ και ${\rm {\Gamma }}$ και ακτίνα ${\rm {A\Gamma }}$ και σημειώνουμε τα σημεία τομής τους ${\rm {T_{1}}}$ και ${\rm {T_{2}}}$ .

Εντοπίζουμε την τομή ${\rm {O}}$ του ${\rm {T_{1}T_{2}}}$ με την ${\rm {A\Gamma }}$ .

Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα ${\rm {OA}}$ και βρίσκουμε τις τομές του ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Delta }}$ με την ευθεία ${\rm {T_{1}T_{2}}}$ .

Το ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ένα τετράγωνο.

Σχετικά προβλήματα

Τετραγωνισμός του κύκλου

Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Ζητάει την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Το 1882, ο μαθηματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν απέδειξε ότι ο $π$ είναι υπερβατικός και κατά συνέπεια ότι η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατη.

Δείτε επίσης

Σημειώσεις

↑ Η οποία ισχύει καθώς είναι ισοδύναμη με
$(x+y)^{2}-4xy\geq 0$

$x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\geq 0$

$x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0$

$(x-y)^{2}\geq 0$
η οποία ισχύει καθώς όλα τα τετράγωνα είναι μη-αρνητικά. Επίσης, λαμβάνουμε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $x=y$ .
↑ Η οποία ισχύει καθώς είναι ισοδύναμη με
$x^{2}+y^{2}-2xy\geq 0$

$(x-y)^{2}\geq 0$
η οποία ισχύει καθώς όλα τα τετράγωνα είναι μη-αρνητικά.

Παραπομπές

↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.