Δεκαεξάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκαεξάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δεκαέξι κορυφές και δεκαέξι πλευρές.

Ένα δεκαεξάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό δεκαεξάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $2520^{\circ }$ (ή $14\pi$ ακτίνια).
• Κάθε δεκαεξάγωνο έχει 104 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό δεκαεξάγωνο

Κυρτό κανονικό δεκαεξάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	16, ισόπλευρο
Γωνίες	16, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$104$
Σύμβολο Schläfli	$\{16\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	18
Περιστροφική συμμετρία	δεκάτης έκτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 157{\frac {1}{2}}^{\circ }}$ (ή $14/16\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}=4\cot {\frac {\pi }{16}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=16\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{16}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{16}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαεξάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό δεκαεξάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 157{\frac {1}{2}}^{\circ }}$ (ή $14\pi /16$ ακτίνια).
• Έχει δεκαέξι άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία δεκάτης έκτης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του δεκαεξαγώνου είναι $\{16\}$.

Οι δεκαέξι άξονες συμμετρίας ενός κανονικού δεκαεξαγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του δεκαεξαγώνου.

Κεντρική γωνία

Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με $\varphi =22{,}5^{\circ }$ (ή $\pi /8$ ακτίνια).

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της $\varphi /2$ είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους

$\sin {\frac {\pi }{16}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}},\qquad \csc {\frac {\pi }{16}}={\sqrt {8+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {20+14{\sqrt {2}}}}}}$,

$\cos {\frac {\pi }{16}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}},\qquad \sec {\frac {\pi }{16}}={\sqrt {8+4{\sqrt {2}}-2{\sqrt {20+14{\sqrt {2}}}}}}$,

$\tan {\frac {\pi }{16}}=-1-{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}},\qquad \cot {\frac {\pi }{16}}=1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$.

Απόδειξη  

Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για το ημίτονο και συνημίτονο των μισών γωνιών

$\sin {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\qquad$ και $\qquad \sin {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$,

καθώς και τους τριγωνομετρικούς τύπους των γωνιών $\theta =\pi /8$ (δείτε εδώ).

$\sin {\frac {\pi }{16}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}},$

$\cos {\frac {\pi }{16}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}.$

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθώς και ρητοποίηση ριζών, λαμβάνουμε τους υπόλοιπους τύπους.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαεξαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{16}}\cdot \lambda \\&={\sqrt {8+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {20+14{\sqrt {2}}}}}}\cdot \lambda \\&\approx 2{,}562915\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαεξαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{16}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)\cdot \lambda \\&\approx 2{,}513670\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα επτά είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκαεξάγωνο.

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαεξαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{k}&=2\sin {\frac {k\pi }{16}}\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=2\cdot R$.

• Το ύψος του είναι

$h=2\cdot r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαεξαγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}=8\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού δεκαεξαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=4\cot {\frac {\pi }{16}}\cdot \lambda ^{2}\\&=4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)\cdot \lambda ^{2}\\&\approx 20{,}109358\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαεξαγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=8\sin {\frac {\pi }{8}}\cdot R^{2}\\&=4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cdot R^{2}\\&\approx 3{,}061467\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=16\tan {\frac {\pi }{16}}\cdot r^{2}\\&=16\left({\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1\right)\cdot r^{2}\\&\approx 3{,}182598\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =16\cdot \lambda$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό δεκαεξάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη:

Κατασκευή ενός κανονικού δεκαεξαγώνου.

Αστεροειδές κανονικό δεκαεξάγωνο

Υπάρχουν τρία κανονικά αστεροειδή δεκαεξάγωνα, τα $\{16/3\}$, $\{16/5\}$ και $\{16/7\}$, που κατασκευάζονται από τις ίδιες 16 κορυφές ενός κανονικού δεκαεξαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε τρίτη ή ένατη κορυφή, αντιστοίχως.

Δεκαεξάγραμμα $\{16/3\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	16, ισόπλευρο
Γωνίες	16, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{16/3\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	16
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης έκτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 112{\frac {1}{2}}^{\circ }}$ (ή $5\pi /8$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαεξάγραμμα

Δεκαεξάγραμμα $\{16/5\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	16, ισόπλευρο
Γωνίες	16, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{16/5\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	16
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης έκτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 67{\frac {1}{2}}^{\circ }}$ (ή $3\pi /8$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαεξάγραμμα

Δεκαεξάγραμμα $\{16/7\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	16, ισόπλευρο
Γωνίες	16, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{16/7\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	16
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης έκτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 22{\frac {1}{2}}^{\circ }}$ (ή $\pi /8$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαεξάγραμμα

Σχετικά σχήματα

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό δεκαεξάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, μερικά από τα οποία παρατίθενται παρακάτω σε ορθογώνιες προβολές:

A15	15-simplex
B8	8-orthoplex	ανορθωμένο 8-orthoplex	διανορθωμένο 8-orthoplex	τριανορθωμένο 8-orthoplex	τριανορθωμένος 8-κύβος	διανορθωμένος 8-κύβος	ανορθωμένος 8-κύβος	8-κύβος
D9	t7(161)	t6(161)	t5(161)	t4(161)	t3(161)	t2(161)	t1(161)	9-ημικύβος (161)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π/16 στο MathWorld.
• Δεκαεξάγωνο, {16/3}, {16/5}, δεκαεξάγραμμα {16/7} στο PolytopeWiki.