Δεκαεννεάγωνο

Στη γεωμετρία το δεκαεννεάγωνο (ή δεκαεννιάγωνο) είναι ένα πολύγωνο με δεκαεννέα κορυφές και δεκαεννέα πλευρές.

Ένα δεκαεννεάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό δεκαεννεάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $3060^{\circ }$ (ή $17\pi$ ακτίνια).
• Κάθε δεκαεννεάγωνο έχει 119 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό δεκαεννεάγωνο

Κυρτό κανονικό δεκαεννεάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	19, ισόπλευρο
Γωνίες	19, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$119$
Σύμβολο Schläfli	$\{19\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	19
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης ένατης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 161{\frac {1}{19}}^{\circ }}$ (ή $17/19\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {19}{4}}\cot {\frac {\pi }{19}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=19\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{19}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{19}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαεννεάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό δεκαεννεάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 161{\frac {1}{19}}^{\circ }}$ (ή $17\pi /19$ ακτίνια).
• Έχει δεκαεννέα άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία δέκατης ένατης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του δεκαεννεαγώνου είναι $\{19\}$.

Οι δεκαεννέα άξονες συμμετρίας ενός κανονικού δεκαεννεαγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του δεκαεννεαγώνου.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαεννεαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{19}}\cdot \lambda \approx 3{,}037767\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαεννεαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{19}}\cdot \lambda \approx 2{,}996336\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα οκτώ είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκαεννεάγωνο.

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαεννεαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{k}&=2\sin {\frac {k\pi }{19}}\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=d_{8}$.

• Το ύψος του είναι

$h=R+r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαεννεαγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {19}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού δεκαεννεαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {19}{4}}\cot {\frac {\pi }{19}}\cdot \lambda ^{2}\approx 28{,}465189\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαεννεαγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {19}{2}}\sin {\frac {2\pi }{19}}\cdot R^{2}\approx 3{,}084645\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=19\tan {\frac {\pi }{19}}\cdot r^{2}\approx 3{,}170539\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =19\cdot \lambda$.

Κατασκευή

Το κανονικό δεκαεννεάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, καθώς το $19$ δεν είναι πρώτος αριθμός Φερμά.

Αστεροειδή κανονικά δεκαεννεάγωνα

Υπάρχουν οκτώ κανονικά αστεροειδή δεκαεννεάγωνα, τα $\{19/2\}$, $\{19/3\}$, $\{19/4\}$, $\{19/5\}$, $\{19/6\}$, $\{19/7\}$, και $\{19/8\}$ που κατασκευάζονται από τις 19 κορυφές ενός κανονικού δεκαπενταγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε δεύτερη, τρίτη, τέταρτη, πέμπτη, έκτη έβδομη, όγδοη ή ένατη κορυφή, αντιστοίχως.

• 
  Δεκαεννεάγραμμα $\{19/2\}$
• 
  Δεκαεννεάγραμμα $\{19/3\}$
• 
  Δεκαεννεάγραμμα $\{19/4\}$
• 
  Δεκαεννεάγραμμα $\{19/5\}$
• 
  Δεκαεννεάγραμμα $\{19/6\}$
• 
  Δεκαεννεάγραμμα $\{19/7\}$
• 
  Δεκαεννεάγραμμα $\{19/8\}$
• 
  Δεκαεννεάγραμμα $\{19/9\}$

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό δεκαεννεάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για ένα πολύτοπο περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθεται παρακάτω σε πλάγια ορθογώνια προβολή:

18-simplex (18D)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Enneadecagon" από το MathWorld.
• Δεκαεννεάγωνο στο PolytopeWiki