Θεώρημα Αν

Θεώρημα του Αν: Το άθροισμα των πράσινων και μπλε εμβαδών είναι ίσο ανν το σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Αν (αναφέρεται και ως θεώρημα Anne) δηλώνει ότι σε ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ (που δεν είναι παραλληλόγραμμο), ένα εσωτερικό του σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στην ευθεία που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων (ευθεία Νεύτωνα του τετραπλεύρου), αν και μόνο αν

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Πιερ-Λεόν Αν (1806–1850).

Απόδειξη

Για την απόδειξη, θα χρησιμοποιήσουμε την εξής βοηθητική πρόταση:

Βοηθητική πρόταση —  Έστω ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ένα κυρτό τετράπλευρο (που δεν είναι παραλληλόγραμμο) και ${\rm {M}}$, ${\rm {N}}$ τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma ,B\Delta }}$ αντίστοιχα. Τότε ισχύει ότι: ${\rm {E}}_{\rm {NAB}}+{\rm {E}}_{\rm {N\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {N\Delta A}}+{\rm {E}}_{\rm {NB\Gamma }}$ και ${\rm {E}}_{\rm {MAB}}+{\rm {E}}_{\rm {M\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {MB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {M\Delta A}}$.

Απόδειξη βοηθητικής πρότασης  

Σχήμα απόδειξης για την πρόταση για το θεώρημα Αν.

Η διαγώνιος ${\rm {B\Delta }}$ χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα, τα ${\rm {AB\Delta }}$ και ${\rm {B\Gamma \Delta }}$ στα οποία οι ${\rm {AN}}$ και ${\rm {\Gamma N}}$ είναι διάμεσοι άρα χωρίζουν το καθένα σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα.

Δηλαδή είναι ${\rm {E}}_{\rm {NAB}}={\rm {E}}_{\rm {N\Delta A}}$ και ${\rm {E}}_{\rm {N\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {NB\Gamma }}$, με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: ${\rm {E}}_{\rm {NAB}}+{\rm {E}}_{\rm {N\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {N\Delta A}}+{\rm {E}}_{\rm {NB\Gamma }}$.

Ομοίως και για το μέσον ${\rm {M}}$ της ${\rm {A\Gamma }}$ προκύπτει ότι

${\rm {E}}_{\rm {MAB}}+{\rm {E}}_{\rm {M\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {MB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {M\Delta A}}$.

$\square$

Απόδειξη θεωρήματος Anne  

Σχήμα απόδειξης για το ευθύ..

$(\Rightarrow )$ Έστω ${\rm {M,N}}$ τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma ,B\Delta }}$ αντίστοιχα και το σημείο ${\rm {P}}$ της ευθείας ${\rm {\epsilon }}$ του Νεύτωνα του τετραπλεύρου. Ονομάζουμε ${\rm {s=BB'=\Delta \Delta '}}$ τις αποστάσεις των κορυφών ${\rm {B}}$, ${\rm {\Delta }}$ και ${\rm {h=AA'=\Gamma \Gamma '}}$ τις αποστάσεις των κορυφών ${\rm {A}}$, ${\rm {\Gamma }}$, από την ευθεία ${\rm {\epsilon }}$.

Είναι

${\rm {E}}_{\rm {BNP}}={\rm {E}}_{\rm {\Delta NP}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {NP}}\cdot s$

(1)

και

${\rm {E}}_{\rm {ANP}}={\rm {E}}_{\rm {\Gamma NP}}={\frac {1}{2}}\cdot {\rm {NP}}\cdot h$.

(2)

Επίσης μπορούμε να αναλύσουμε τα παρακάτω εμβαδά ως εξής:

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}={\rm {E}}_{\rm {ANB}}+{\rm {E}}_{\rm {ANP}}+{\rm {E}}_{\rm {BNP}}$

και

${\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {\Delta N\Gamma }}-{\rm {E}}_{\rm {\Gamma NP}}-{\rm {E}}_{\rm {\Delta NP}}$

τις οποίες αν τις προσθέσουμε κατά μέλη και λόγω των (1) και (2) έχουμε

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {ANB}}+{\rm {E}}_{\rm {\Delta N\Gamma }}$.

(3)

Αντίστοιχα,

${\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}={\rm {E}}_{\rm {AN\Delta }}+{\rm {E}}_{\rm {\Delta PN}}-{\rm {E}}_{\rm {APN}}$,

${\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}={\rm {E}}_{\rm {BN\Gamma }}-{\rm {E}}_{\rm {BPN}}+{\rm {E}}_{\rm {\Gamma PN}}$,

τις οποίες αν επίσης τις προσθέσουμε κατά μέλη και λόγω των (1) και (2) έχουμε

${\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}={\rm {E}}_{\rm {AN\Delta }}+{\rm {E}}_{\rm {BN\Gamma }}$.

(4)

Αλλά είναι:

${\rm {E}}_{\rm {ANB}}={\rm {E}}_{\rm {AN\Delta }}$ (έχουν ίσες βάσεις ${\rm {BN=N\Delta }}$ και ύψος την απόσταση του ${\rm {A}}$ από την ${\rm {B\Delta }}$)

(5)

και

${\rm {E}}_{\rm {\Delta N\Gamma }}={\rm {E}}_{\rm {BN\Gamma }}$ (έχουν ίσες βάσεις ${\rm {BN=N\Delta }}$ και ύψος την απόσταση του ${\rm {\Gamma }}$ από την ${\rm {B\Delta }}$)

(6)

Από τις (3) και (4) λόγω των (5) και (6) έχουμε το ζητούμενο

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}$.

Σχήμα απόδειξης για το αντίστροφο.

$(\Leftarrow )$ Επειδή το τετράπλευρο δεν είναι παραλληλόγραμμο οι προεκτάσεις των απέναντι πλευρών, ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$ τέμνονται σε ένα σημείο έστω ${\rm {X}}$. Έστω ${\rm {P}}$ ένα σημείο εσωτερικό του τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ τέτοιο ώστε

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}={\frac {\rm {K}}{2}}$,

όπου ${\rm {K}}$ το εμβαδό του τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Θεωρούμε τα σημεία ${\rm {E}}$ και ${\rm {Z}}$ πάνω στις ${\rm {\Delta X}}$ και ${\rm {AX}}$ τέτοια ώστε ${\rm {XE=\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {P}}$. Τότε

${\begin{aligned}{\frac {\rm {K}}{2}}&={\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}\\&={\rm {E}}_{\rm {PXZ}}+{\rm {E}}_{\rm {PXE}}\\&={\rm {E}}_{\rm {PEXZ}}\\&={\rm {E}}_{\rm {PEZ}}+{\rm {E}}_{\rm {XEZ}}\end{aligned}}$.

Αλλά το ${\rm {E}}_{\rm {XEZ}}$ είναι σταθερό, και έτσι έχουμε ${\rm {E}}_{\rm {PEZ}}={\frac {\rm {K}}{2}}-{\rm {E}}_{\rm {XEZ}}$ σταθερό.Επομένως το ύψος του τριγώνου ${\rm {PEZ}}$ είναι σταθερό, άρα το σημείο ${\rm {P}}$ βρίσκεται σε ευθεία ${\rm {\epsilon }}$ παράλληλη προς το ${\rm {EZ}}$. Στην ευθεία ${\rm {\epsilon }}$ ανήκουν (σύμφωνα με την βοηθητική πρόταση) και τα σημεία ${\rm {M}}$, ${\rm {N}}$ τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma ,B\Delta }}$ αντίστοιχα, δηλαδή το σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στην ευθεία ${\rm {\epsilon }}$ του Νεύτωνα του τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.$\quad \square$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα Αν στο Cut The Knot.
• Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα Αν στο Desmos.

Δείτε επίσης

• Ευθεία Νεύτωνα
• Θεώρημα Νεύτωνα
• Θεώρημα Μπρούνε