Μετάβαση στο περιεχόμενο

Θεώρημα Anne

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Θεώρημα του Anne: Το άθροισμα των πράσινων και μπλε εμβαδών είναι ίσο ανν το σημείο ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα.

Στην γεωμετρία, το Θεώρημα Anne δηλώνει ότι η ευθεία Νεύτωνα ενός τετράπλευρου είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν

.

Συγκεκριμένα, έστω ένα κυρτό τετράπλευρο (που δεν είναι παραλληλόγραμμο), τότε ένα σημείο ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα του τετραπλεύρου (την ευθεία που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του), αν και μόνο αν

.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Πιερ-Λεόν Ανέ (1806–1850).[1][2][3]:767

Για την απόδειξη, θα χρησιμοποιήσουμε την εξής βοηθητική πρόταση:

Βοηθητική πρόταση —  Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο (που δεν είναι παραλληλόγραμμο) και , τα μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα. Τότε ισχύει ότι: και .

Απόδειξη βοηθητικής πρότασης  

Σχήμα απόδειξης για την πρόταση για το θεώρημα Anne.

Η διαγώνιος χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα τα και στα οποία οι και είναι διάμεσοι άρα χωρίζουν το καθένα σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα.

Δηλαδή είναι και , με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: .

Ομοίως και για το μέσον της προκύπτει ότι

.

 

 

 

 

Απόδειξη θεωρήματος Anne  

Σχήμα απόδειξης για το ευθύ..

Έστω τα μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα και το σημείο της ευθείας του Νεύτωνα του τετραπλεύρου. Ονομάζουμε τις αποστάσεις των κορυφών , και τις αποστάσεις των κορυφών , , από την ευθεία .

Είναι

 

 

 

 

(1)

και

.

 

 

 

 

(2)

Επίσης μπορούμε να αναλύσουμε τα παρακάτω εμβαδά ως εξής:

και

τις οποίες αν τις προσθέσουμε κατά μέλη και λόγω των (1) και (2) έχουμε

.

 

 

 

 

(3)

Αντίστοιχα,

,
,

τις οποίες αν επίσης τις προσθέσουμε κατά μέλη και λόγω των (1) και (2) έχουμε

.

 

 

 

 

(4)

Αλλά είναι:

(έχουν ίσες βάσεις και ύψος την απόσταση του από την )

 

 

 

 

(5)

και

(έχουν ίσες βάσεις και ύψος την απόσταση του από την )

 

 

 

 

(6)

Από τις (3) και (4) λόγω των (5) και (6) έχουμε το ζητούμενο

.
Σχήμα απόδειξης για το αντίστροφο.

Επειδή το τετράπλευρο δεν είναι παραλληλόγραμμο οι προεκτάσεις των απέναντι πλευρών, και τέμνονται σε ένα σημείο έστω . Έστω ένα σημείο εσωτερικό του τετραπλεύρου τέτοιο ώστε

,

όπου το εμβαδό του τετραπλεύρου .

Θεωρούμε τα σημεία και πάνω στις και τέτοια ώστε και . Τότε

.

Αλλά το είναι σταθερό, και έτσι έχουμε σταθερό.Επομένως το ύψος του τριγώνου είναι σταθερό, άρα το σημείο βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη προς το . Στην ευθεία ανήκουν (σύμφωνα με την βοηθητική πρόταση) και τα σημεία , τα μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα, δηλαδή το σημείο ανήκει στην ευθεία του Νεύτωνα του τετραπλεύρου .

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. Alsina, Claudi· Nelsen, Roger B. (2020). A Cornucopia of Quadrilaterals. American Mathematical Society. σελίδες 12–13. ISBN 9781470454654. 
  2. Honsberger, Ross (1991). More Mathematical Morsels. Cambridge University Press. σελίδες 174–175. ISBN 0883853140. 
  3. F. G.-M. (1920). Exercice de géométrie comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues. Paris: J. de Gigord.