Συγκεκριμένα, έστω ένα κυρτό τετράπλευρο (που δεν είναι παραλληλόγραμμο), τότε ένα σημείο ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα του τετραπλεύρου (την ευθεία που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του), αν και μόνο αν
.
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Πιερ-Λεόν Ανέ (1806–1850).[1][2][3]:767
Για την απόδειξη, θα χρησιμοποιήσουμε την εξής βοηθητική πρόταση:
Βοηθητική πρόταση —
Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο (που δεν είναι παραλληλόγραμμο) και , τα μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα. Τότε ισχύει ότι: και .
Απόδειξη βοηθητικής πρότασης
Σχήμα απόδειξης για την πρόταση για το θεώρημα Anne.
Η διαγώνιος χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα τα και στα οποία οι και είναι διάμεσοι άρα χωρίζουν το καθένα σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα.
Δηλαδή είναι και , με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: .
Ομοίως και για το μέσον της προκύπτει ότι
.
Απόδειξη θεωρήματος Anne
Σχήμα απόδειξης για το ευθύ..
Έστω τα μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα και το σημείο της ευθείας του Νεύτωνα του τετραπλεύρου. Ονομάζουμε τις αποστάσεις των κορυφών , και τις αποστάσεις των κορυφών , , από την ευθεία .
Από τις (3) και (4) λόγω των (5) και (6) έχουμε το ζητούμενο
.
Σχήμα απόδειξης για το αντίστροφο.
Επειδή το τετράπλευρο δεν είναι παραλληλόγραμμο οι προεκτάσεις των απέναντι πλευρών, και τέμνονται σε ένα σημείο έστω . Έστω ένα σημείο εσωτερικό του τετραπλεύρου τέτοιο ώστε
,
όπου το εμβαδό του τετραπλεύρου .
Θεωρούμε τα σημεία και πάνω στις και τέτοια ώστε και . Τότε
.
Αλλά το είναι σταθερό, και έτσι έχουμε σταθερό.Επομένως το ύψος του τριγώνου είναι σταθερό, άρα το σημείο βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη προς το . Στην ευθεία ανήκουν (σύμφωνα με την βοηθητική πρόταση) και τα σημεία , τα μέσα των διαγωνίων αντίστοιχα, δηλαδή το σημείο ανήκει στην ευθεία του Νεύτωνα του τετραπλεύρου .