Ισόπλευρο τρίγωνο

Ισόπλευρο τρίγωνο

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$. Όλες του οι γωνίες είναι $60^{\circ }$ και οι πλευρές του ίσες.
Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	3, ισόπλευρο
Γωνίες	3, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$0$
Σύμβολο Schläfli	$\{3\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	3
Περιστροφική συμμετρία	τρίτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$60^{\circ }$ (ή $\pi /3$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\textstyle {\rm {E}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot \alpha ^{2}}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=3\cdot \alpha$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}\cdot \alpha }$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot \alpha }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	κανονικό εξάγωνο
Στερεά σχήματα	κανονικό τετράεδρο, κανονικό οκτάεδρο

Στη γεωμετρία, ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ένα ισόπλευρο τρίγωνο εκτός από όλες τις πλευρές του, έχει και όλες τις γωνίες του ίσες, με μέτρο 60° η καθεμιά. Είναι ένα από τα κανονικά πολύγωνα και για αυτό αναφέρεται και ως κανονικό τρίγωνο.

Ιδιότητες

• Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους με μέτρο 60°.
• Κάθε διάμεσος είναι και ύψος και διχοτόμος και μεσοκάθετος.
• Το έγκεντρο, το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο ταυτίζονται.
• Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας.

Οι άξονες συμμετρίας σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός ισοπλεύρου τριγώνου.

Ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός ισοπλεύρου τριγώνου.

Μετρικές σχέσεις

Έστω $\alpha$ το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου:

• Το ύψος του έχει μήκος:

$\upsilon ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \alpha$.

Απόδειξη  

Ύψος ΑΔ ισοπλεύρου τριγώνου

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και έστω $\alpha$ το μήκος της πλευράς του. Χαράζουμε το ύψος $\mathrm {A\Delta }$ το οποίο είναι και διάμεσος και διχοτόμος. Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$ και έχουμε:

$\mathrm {A\Delta } ={\sqrt {{\rm {A\Gamma }}^{2}-{\rm {\Delta \Gamma ^{2}}}}}={\sqrt {\alpha ^{2}-({\frac {\alpha }{2}})^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \alpha$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι Το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου έχει μήκος: $\upsilon ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \alpha$.

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:

$R={\frac {2}{3}}\cdot \upsilon ={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot \alpha$.

Απόδειξη  

Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου ισοπλεύρου τριγώνου.

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και έστω $\alpha$ το μήκος της πλευράς του. Χαράζουμε την διάμεσο $\mathrm {A\Delta }$ η οποία είναι και ύψος και διχοτόμος. Το περίκεντρο $\mathrm {O}$ ταυτίζεται με το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ συνεπώς η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου ισούται με:

$R=\mathrm {OA} ={\frac {2}{3}}\cdot \mathrm {A\Delta } ={\frac {2}{3}}\cdot \upsilon ={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot \alpha$.

• Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:

$\rho ={\frac {1}{3}}\cdot \upsilon ={\frac {\sqrt {3}}{6}}\cdot \alpha$.

Απόδειξη  

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου ισοπλεύρου τριγώνου.

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και έστω $\alpha$ το μήκος της πλευράς του. Χαράζουμε την διχοτόμο $\mathrm {A\Delta }$ η οποία είναι και ύψος και διάμεσος. Το έγκεντρο ${\rm {I}}$ ταυτίζεται με το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$ συνεπώς η ακτίνα $\rho$ του περιγεγραμμένου κύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου ισούται με:

$\rho =\mathrm {I\Delta } ={\frac {1}{3}}\cdot \mathrm {A\Delta } ={\frac {1}{3}}\cdot \upsilon ={\frac {\sqrt {3}}{6}}\cdot \alpha$.

• Οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων είναι ίσες με:

$\rho _{\mathrm {\alpha } }=\rho _{\mathrm {\beta } }=\rho _{\mathrm {\gamma } }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \alpha$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και έστω $\alpha$ το μήκος της πλευράς του. Χαράζουμε την διχοτόμο της γωνίας ${\rm {\hat {A}}}$ και τις διχοτόμους των εξωτερικών γωνιών ${\rm {\hat {B}}}$ και ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ και έστω $\mathrm {J_{A}}$ το σημείο τομής τους το οποίο είναι το κέντρο ενός από τους τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους του τριγώνου.

Το τρίγωνο ${\rm {B\Gamma J_{A}}}$ είναι ισόπλευρο καθώς

${\widehat {\rm {J_{A}B\Gamma }}}={\frac {1}{2}}\cdot \left(180^{\circ }-{\widehat {\rm {AB\Gamma }}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)=60^{\circ }$,

και

${\widehat {\rm {J_{A}\Gamma B}}}={\frac {1}{2}}\cdot \left(180^{\circ }-{\widehat {\rm {A\Gamma B}}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)=60^{\circ }$.

Επομένως, το τετράπλευρο $\mathrm {ABJ_{A}\Gamma }$ είναι ρόμβος πλευράς $\alpha$ και συνεπώς οι διαγώνιοί του διχοτομούνται άρα $\mathrm {J_{A}\Delta =A\Delta }$ δηλαδή $\rho _{\mathrm {\alpha } }=\upsilon _{\alpha }$. Αλλά το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου έχει μήκος:

$\upsilon ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \alpha$ συνεπώς είναι και $\rho _{\mathrm {\alpha } }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \alpha$.

Αντίστοιχα, προκύπτει ότι και $\rho _{\mathrm {\beta } }=\rho _{\mathrm {\gamma } }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \alpha$.

$\square$

Εμβαδόν

Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου δίνεται από τον τύπο:

$\mathrm {E} ={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}$.

Απόδειξη  

Το εμβαδόν τριγώνου δίνεται από τον τύπο: ${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \upsilon _{\rm {A}}={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \alpha ={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}$.$\square$

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε δοσμένο κύκλο.

1. Χαράζουμε μία ευθεία $\varepsilon$ στο επίπεδο.
2. Χαράζουμε έναν κύκλο $C_{1}$ με κέντρο πάνω στην ευθεία $\varepsilon$.
3. Από ένα από τα δύο σημεία τομής του $C_{1}$ και της $\varepsilon$, χαράζουμε έναν δεύτερο κύκλο $C_{2}$ με την ίδια ακτίνα.
4. Έστω $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ τα σημεία τομής των κύκλων $C_{1}$ και $C_{2}$.
5. Έστω ${\rm {T_{3}}}$ το άλλο σημείο τομής του κύκλου $C_{1}$ και της ευθείας $\varepsilon$
6. Το τρίγωνο $\mathrm {T_{1}T_{2}T_{3}}$ είναι ισόπλευρο.

Σχετικά θεωρήματα

• (Θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ)
  Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ τα σημεία τομής των τριχοτόμων των γωνιών του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Το θεώρημα Μόρλεϊ λέει ότι το σκιασμένο τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

• (Θεώρημα φαν Σχόοτεν)
  Έστω $\mathrm {P}$ σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.Τότε ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο.

Το θεώρημα φαν Σχόοτεν, λέει ότι $\mathrm {PA} =\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma }$.

• (Θεώρημα Βιβιάνι)
  Έστω $\mathrm {P}$ ένα εσωτερικό σημείο ενός ισοπλεύρου τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ τότε

$d_{1}+d_{2}+d_{3}=\upsilon$,

όπου $d_{1},d_{2},d_{3}$ οι αποστάσεις του $\mathrm {P}$ από τις πλευρές του τριγώνου και $\upsilon$ το ύψος του τριγώνου.

Το θεώρημα Βιβιάνι λέει ότι $d_{1}+d_{2}+d_{3}=\upsilon$.

• (Θεώρημα Μέμπιους-Πομπέγιου) Για κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και σημείο ${\rm {P}}$ υπάρχει τρίγωνο (πιθανώς εκφυλισμένο) με μήκη πλευρών ίσα με ${\rm {PA,PB,P\Gamma }}$.

Παράδειγμα τριγώνου που δημιουργείται από τις αποστάσεις ${\rm {PA,PB,P\Gamma }}$ ως συνέπεια του θεωρήματος Μέμπιους-Πομπέγιου.

• (Σημείο Φερμά)
  Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ (όπου όλες οι γωνίες είναι μικρότερες από $120^{\circ }$) το σημείο ${\rm {F}}$ που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων του από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή το ${\rm {FA+FB+F\Gamma }}$ είναι το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τα ${\rm {A,B,\Gamma }}$ με τις αντίστοιχες κορυφές των εξωτερικών ισοπλεύρων τριγώνων του ${\rm {AB\Gamma }}$.

Το σημείο Φερμά ${\rm {F}}$ του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

• (Θεώρημα Ναπολέοντα)
  Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ τα κέντρα των (εξωτερικών ή εσωτερικών) ισοπλεύρων τριγώνων στις πλευρές του δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Το θεώρημα Ναπολέοντα λέει ότι το ${\rm {O_{A}O_{B}O_{\Gamma }}}$ είναι ισόπλευρο.

Σχετικά προβλήματα

Τρίγωνο με μέγιστο εμβαδό

Από όλα τα τρίγωνα με την ίδια περίμετρο, το ισόπλευρο τρίγωνο έχει το μέγιστο εμβαδό. Αυτό είναι μία μορφή της ισοπεριμετρικής ανισότητας.

Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο

Υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνα. Δύο αξιοσημείωτα δίνονται στο παρακάτω σχήμα. Το ισόπλευρο σε γωνία $15^{o}$ είναι αυτό που μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου για δοσμένο τετράγωνο.

Ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνο.

Πακετάρισμα κύκλων

Ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία είναι η εύρεση του μικρότερου ισόπλευρου τριγώνου που να χωράει έναν δοσμένο αριθμό από μοναδιαίους κύκλους.

Το μικρότερο ισόπλευρο τρίγωνο με τέσσερις κύκλους έχει πλευρά $4{\sqrt {3}}$.

Πλακόστρωση

Τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

Πλακόστρωση με ισόπλευρα τρίγωνα.

Σχετικά σχήματα

Τρίγωνο με γωνίες 90°-60°-30°

Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

• Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
• Το τρίγωνο $\mathrm {AM\Gamma }$ είναι ισόπλευρο.
• Τα μήκη των πλευρών έχουν αναλογία $1:{\sqrt {3}}:2$.

Τρίγωνο με γωνίες 90°,60°,30°. Το $\mathrm {M}$ είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Κανονικό εξάγωνο

Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Το εξάγωνο χωρισμένο σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Στερεομετρία

Κάθε έδρα σε ένα κανονικό τετράεδρο και σε ένα κανονικό οκτάεδρο είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείτε επίσης

• Ισοσκελές τρίγωνο
• Κανονικό πολύγωνο