Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος

Η μεσοκάθετος $\varepsilon$ του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος

Θεώρημα — Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

}

Απόδειξη  

Η μεσοκάθετη αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Έστω $\mathrm {AB}$ ένα ευθύγραμμο τμήμα. Θα δείξουμε πρώτα ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου του ισαπέχει από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$. Έπειτα θα δείξουμε ότι κάθε σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ ανήκει στην μεσοκάθετο.

($\Rightarrow$) Έστω $\Sigma$ ένα σημείο της μεσοκαθέτου του. Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AM\Sigma }$ και $\mathrm {BM\Sigma }$ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, καθώς η ${\rm {M\Sigma }}$ είναι κοινή, ${\rm {MA=MB}}$ (διότι ${\rm {M}}$ το μέσο του ${\rm {AB}}$) και ${\widehat {\rm {AM\Sigma }}}={\widehat {\rm {BM\Sigma }}}=90^{\circ }$. Συνεπώς θα είναι $\mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma }$.

($\Leftarrow$) Αντίστροφα, έστω $\mathrm {\Sigma }$ ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε $\mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma }$ και $\mathrm {M}$ η προβολή του $\mathrm {\Sigma }$ στο $\mathrm {AB}$.

Τότε, τα τρίγωνα $\mathrm {AM\Sigma }$ και $\mathrm {BM\Sigma }$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη πλευρά (την ${\rm {M\Sigma }}$) και ίση υποτείνουσα (${\rm {A\Sigma =B\Sigma }}$). Επομένως, έχουμε ότι $\mathrm {AM} =\mathrm {BM}$, δηλαδή το $\mathrm {M}$ είναι το μέσο του $\mathrm {AB}$ και το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {\Sigma M}$ ανήκει στην μεσοκάθετο. $\square$

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {M}}$ με ${\rm {MA}}<{\rm {MB}}$, είναι το ημιεπίπεδο $(\mu ,{\rm {A)}}$ όπου $\mu$ η μεσοκάθετος του ${\rm {AB}}$.

Σημείωση: Για δύο σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {M}}$ με ${\rm {MA<{\rm {MB}}}}$ είναι το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο του ${\rm {AB}}$ και περιέχει το ${\rm {A}}$.

Μεσοκάθετοι τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών διέρχονται από το ίδιο σημείο. Πιο γενικά, σε κάθε εγγεγραμμένο πολύγωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, που είναι και το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου συμβολίζονται με $\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3}$.

Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο.

Θεώρημα — Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.

Απόδειξη  

Έστω $\mathrm {O'}$ η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {B\Gamma }$. Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι

$\mathrm {AO'} =\mathrm {BO'}$ και $\mathrm {BO'} =\mathrm {\Gamma O'}$.

Άρα το $\mathrm {O'}$ ισαπέχει και από το σημείο $\mathrm {\Gamma }$. Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του $\mathrm {A\Gamma }$. Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των $\mathrm {AB}$, $\mathrm {B\Gamma }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ συντρέχουν στο $\mathrm {O'}$. $\square$

Ιδιότητες

• Το μέρος των μεσοκαθέτων $p_{\rm {A}}$, $p_{\rm {B}}$ και $p_{\rm {\Gamma }}$ που είναι εντός του τριγώνου δίνεται από τον τύπο

$p_{\rm {A}}={\frac {2\alpha \mathrm {E} }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},\quad$ $p_{\rm {B}}={\frac {2\beta \mathrm {E} }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\quad$ και $\quad p_{\rm {\Gamma }}={\frac {2\gamma \mathrm {E} }{\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}$,

όπου $\alpha \geq \beta \geq \gamma$ και το εμβαδό τρου τριγώνου είναι είναι $\mathrm {E}$.

Απόδειξη  

Έστω $\Delta$ το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του ${\rm {A}}$ με την πλευρά ${\rm {\beta }}$. Τότε, στο τρίγωνο ${\rm {\Gamma M_{A}\Delta }}$ ισχύει ότι

$\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}=\tan {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \cos {\hat {\rm {\Gamma }}}={\frac {p_{\rm {A}}}{\alpha /2}}\cdot \cos {\hat {\rm {\Gamma }}}$.

Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ ισχύει ότι

$\cos {\hat {\rm {\Gamma }}}={\frac {\gamma ^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{2\alpha \beta }}$.

Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις έχουμε ότι

$\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}={\frac {p_{\rm {A}}}{\alpha /2}}\cdot {\frac {\gamma ^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{2\alpha \beta }}.$

Τέλος από την σχέση ημιτόνου για το εμβαδόν,

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\alpha \gamma \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}$,

λαμβάνουμε ότι

$p_{\rm {A}}={\frac {2\alpha \mathrm {E} }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}$.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω $\mathrm {A}$ και $\mathrm {B}$ δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο

$y-{\tfrac {\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}}{2}}=-{\tfrac {\mathrm {B} _{x}-\mathrm {A} _{x}}{\mathrm {B} _{y}-\mathrm {A} _{y}}}\cdot \left(x-{\tfrac {\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}}{2}}\right)$,

καθώς η ευθεία διέρχεται από το το μέσο $\left({\tfrac {\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}}{2}},{\tfrac {\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}}{2}}\right)$ του $\mathrm {AB}$ και έχει κλίση

$m={\tfrac {\mathrm {B} _{x}-\mathrm {A} _{x}}{\mathrm {B} _{y}-\mathrm {A} _{y}}},$

ως κάθετη στο $\mathrm {AB}$.

Γεωμετρική κατασκευή

Κατασκευή μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$.

← Προηγούμενο βήμα ← Προηγούμενο βήμα Επόμενο βήμα → Επόμενο βήμα → 1

Μας δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$. Για να κατασκευάσουμε την μεσοκάθετο με κανόνα και διαβήτη, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {A}$ και $\mathrm {B}$ και ακτίνα $\mathrm {AB}$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ των δύο κύκλων.
3. Η ευθεία που ενώνει τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ είναι η μεσοκάθετος του $\mathrm {AB}$.

Δείτε ολόκληρη την κατασκευή

Δείτε επίσης

• Ισοσκελές τρίγωνο
• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Περιγεγραμμένος κύκλος