Κανονικό πολύγωνο

Στην γεωμετρία, το κανονικό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο το οποίο είναι ισογώνιο (όλες οι γωνίες του είναι ιδίων μοιρών) και ισόπλευρο (όλες οι πλευρές του είναι ιδίου μήκους).

Το κανονικό τρίγωνο είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Το κανονικό τετράπλευρο με τέσσερις πλευρές είναι το τετράγωνο.

Τα κανονικά πολύγωνα μπορούν να είναι κυρτά ή αστεροειδή.

Ισόπλευρο τρίγωνο.

Τετράγωνο.

Κανονικό πεντάγωνο.

Αστεροειδές κανονικό πεντάγωνο $\{5/2\}$.

Αστεροειδές κανονικό επτάγωνο $\{7/2\}$.

Αστεροειδές κανονικό επτάγωνο $\{7/3\}$.

Κανονικά κυρτά πολύγωνα

Κυρτό κανονικό πολύγωνο

Κυρτά κανονικά πολύγωνα για $n=3,4,5,\ldots ,18$.
Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	n, ισόπλευρο
Γωνίες	n, ισογώνιο
Διαγώνιοι	${\frac {1}{2}}n\cdot (n-3)$
Σύμβολο Schläfli	$\{n\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	n
Περιστροφική συμμετρία	$n$-οστής τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 180\cdot (1-{\frac {2}{n}})^{\circ }}$ (ή $\pi \cdot (1-{\frac {2}{n}})$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {n}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}\cdot \lambda _{n}^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=n\cdot \lambda _{n}$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	Κανονικό αστεροειδές πολύγωνο
Στερεά σχήματα	κανονικό πολύεδρο, Πλατωνικό στερεό

Ιδιότητες

• Η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\omega _{n}={\frac {360^{\circ }}{n}}$.

• Οι γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες με

$\varphi _{n}=180^{\circ }\cdot (n-2)/n$.

Απόδειξη  

Σε ένα απλό πολύγωνο με $n$ πλευρές το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με $180^{\circ }\cdot (n-2)$. Οι $n$ γωνίες του κανονικού πολυγώνου είναι ίσες με $\varphi _{n}$, δηλαδή

$\underbrace {\varphi _{n}+\ldots +\varphi _{n}} _{n{\text{ φορές}}}=180^{\circ }\cdot (n-2)$,

και επομένως

$\varphi _{n}=180^{\circ }\cdot (n-2)/n$.

• Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

Απόδειξη  

Από την προηγούμενη ιδιότητα δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό κορυφών έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες. Επίσης οι πλευρές του κάθε πολυγώνου είναι ίσες μεταξύ τους άρα θα έχουν και τον ίδιο λόγο ομοιότητας. Συνεπώς, τα δύο κανονικά πολύγωνα είναι όμοια.

• Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου και συμβολίζεται με $\alpha _{n}$.
• Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου.
• Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι, και το κέντρο τους λέγεται κέντρο του πολυγώνου.
• Το κέντρο του πολυγώνου είναι και κέντρο βάρους του, καθώς και κέντρο συμμετρίας του πολυγώνου όταν $n$ είναι ζυγός.

Ο περιγεγραμμένος και ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός κανονικού πενταγώνου, και το κοινό τους κέντρο ${\rm {O}}$.

• Έχει $n$ άξονες συμμετρίας.
  • Αν $n$, είναι ζυγός, τότε οι άξονες ενώνουν αντιδιαμετρικές κορυφές ή μέσα απέναντι πλευρών.
  • Αν $n$ είναι μονός, τότε οι άξονες ενώνουν κορυφές με τα μέσα απέναντι πλευρών.
• Έχει περιστροφική συμμετρία τάξης $n$.

Οι άξονες συμμετρίας στο ισόπλευρο τρίγωνο, στο τετράγωνο και στο κανονικό πεντάγωνο.

Μετρικές σχέσεις

Βασικό ορθογώνιο τρίγωνο για τις μετρικές σχέσεις σε ένα κανονικό πολύγωνο.

Οι παρακάτω σχέσεις μεταξύ της πλευράς ενός κανονικού πολυγώνου, της ακτίνας του περιγεγραμμένου του κύκλου και της ακτίνας του εγγεγραμμένου του κύκλου προκύπτουν αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από το απόστημα μίας πλευράς του κανονικού πολυγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει την εξής σχέση

$R^{2}=\alpha _{n}^{2}+{\frac {\lambda _{n}^{2}}{4}}$,

και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $\varphi /2$ δίνουν τις παρακάτω σχέσεις.

Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}\cdot \lambda _{n},\end{aligned}}$

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

• Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με το απόστημα του πολυγώνου

${\begin{aligned}\alpha _{n}&=\cos {\frac {\pi }{n}}\cdot R\\&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}\cdot \lambda _{n}.\end{aligned}}$

• Η πλευρά του πολυγώνου συναρτήσει της ακτίνας και της κεντρικής γωνίας δίνεται ως

${\begin{aligned}\lambda _{n}&=2\sin {\frac {\pi }{n}}\cdot R\\&=2\tan {\frac {\pi }{n}}\cdot \alpha _{n}.\end{aligned}}$

Διαγώνιοι

• Το κανονικό πολύγωνο έχει ${\textstyle {\frac {1}{2}}n\cdot (n-3)}$ διαγωνίους.
• Η διαγώνιος $d_{k}$ (για $k=2,\ldots n-2$) που συνδέει την κορυφή ${\rm {P_{1}}}$ με την ${\rm {P}}_{k+1}$ έχει μήκος

$d_{k}=2R\cdot \sin {\frac {\pi k}{n}}$.

Απόδειξη (με συντεταγμένες)  

Θεωρούμε το κανονικό πολύγωνο ${\rm {P}}_{1},\ldots ,{\rm {P}}_{n}$ όπου η κορυφή ${\rm {P}}_{k}$ έχει Καρτεσιανές συντεταγμένες

$\left(R\cdot \cos {\frac {2\pi (k-1)}{n}},R\cdot \sin {\frac {2\pi (k-1)}{n}}\right)$.

Τότε,

${\begin{aligned}d_{k}&={\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{k+1}\\&={\sqrt {\left(R-R\cdot \cos {\frac {2\pi k}{n}}\right)^{2}+\left(R\cdot \sin {\frac {2\pi k}{n}}\right)^{2}}}\\&=R{\sqrt {1-2\cos {\frac {2\pi k}{n}}+\cos ^{2}{\frac {2\pi k}{n}}+\sin ^{2}{\frac {2\pi k}{n}}}}\\&=R{\sqrt {2-2\cos {\frac {2\pi k}{n}}}}\\&=2R{\sqrt {\frac {1-\cos {\frac {2\pi k}{n}}}{2}}}\\&=2R\sin {\frac {\pi k}{n}},\end{aligned}}$

όπου στην τελευταία γραμμή χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για το ημίτονο της μισής γωνίας.

Απόδειξη με θεώρημα Πτολεμαίου  

Θα αποδείξουμε την σχέση με επαγωγή.

Βασική περίπτωση: Για $k=1$ η σχέση $\lambda =2R\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}$ ισχύει από τα παραπάνω.

Επαγωγή: Έστω ότι η σχέση ισχύει για $k$. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για $k+1$. Θεωρούμε το τετράπλευρο ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{k+1}{\rm {P}}_{k+1}$. Το τετράπλευρο αυτό είναι εγγράψιμο και εφαρμόζοντας το θεώρημα Πτολεμαίου, λαμβάνουμε ότι

$d_{k}^{2}=d_{k-1}\cdot d_{k+1}+\lambda ^{2}$.

Λύνοντας ως προς $d_{k+1}$ έχουμε ότι

$d_{k+1}={\frac {d_{k}^{2}-\lambda ^{2}}{d_{k-1}}}={\frac {(d_{k}-\lambda )\cdot (d_{k}+\lambda )}{d_{k-1}}}$.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα ημιτόνων

$\sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \cos {\frac {x-y}{2}}$,

καθώς και την επαγωγική σχέση, έχουμε ότι

${\begin{aligned}d_{k+1}&={\frac {16R^{2}\cdot \sin {\frac {\pi (k+1)}{2n}}\cos {\frac {\pi (k-1)}{2n}}\cdot \sin {\frac {\pi (k+1)}{2n}}\cos {\frac {\pi (k-1)}{2n}}}{2R\sin {\frac {\pi (k-1)}{n}}}}\\&={\frac {2R\cdot \sin {\frac {\pi (k+1)}{n}}\cdot \sin {\frac {\pi (k+1)}{n}}}{\sin {\frac {\pi (k-1)}{n}}}}\\&=2R\cdot \sin {\frac {\pi (k+1)}{n}}.\end{aligned}}$

• Ισχύει ότι

$d_{k}^{2}+d_{n-k}^{2}=4R^{2}$.

Απόδειξη  

$d_{k}^{2}+d_{n-k}^{2}=(2R)^{2}\cdot \sin ^{2}{\frac {\pi k}{n}}+(2R)^{2}\cdot \sin ^{2}{\frac {\pi (n-k)}{n}}=(2R)^{2}\cdot \left(\sin ^{2}{\frac {\pi k}{n}}+\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n}}\right)=4R^{2}$

Άλλοι τύποι

Ένα κανονικό οκτάγωνο και ένα τετράγωνο εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο.
$R$: ακτίνα κοινού περιγεγραμμένου κύκλου
$\lambda _{2n}$: πλευρά οκταγώνου
($\lambda _{n}$: πλευρά τετραπλεύρου)
$\alpha _{n}$: ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου τετραγώνου

• (Τύπος του Αρχιμήδη) Έστω ένας κύκλος ακτίνας $R$ στον οποίο είναι εγγεγραμμένα ένα κανονικό πολύγωνο με $2n$ πλευρές μήκους $\lambda _{2n}$ και ένα κανονικό πολύγωνο με $n$ πλευρές και ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου $\alpha _{n}$. Τότε,

$\lambda _{2n}^{2}=2R\cdot (R-\alpha _{n})$.

Σημείωση: Ο τύπος του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται στην απόδειξη του θεωρήματος του Ιπποκράτη.

• Σε δύο όμοια κανονικά πολύγωνα, ο λόγος των ακτίνων και των αποστημάτων τους είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.
• (Θεώρημα Βιβιάνι) Το αλγεβρικό άθροισμα των αποστάσεων ενός σημείο από τις πλευρές ενός κανονικού πολυγώνου με κορυφές είναι ίσο με $n\cdot \alpha _{n}$.

Η γενίκευση του θεωρήματος Βιβιάνι για το τετράγωνο και το κανονικό πεντάγωνο.

Απόδειξη  

Έστω ένα κανονικό πολύγωνο ${\rm {P}}_{1}\ldots {\rm {P}}_{n}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$, και ένα σημείο ${\rm {K}}$.

Το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου ισούται με το άθροισμα των προσημασμένων εμβαδών των τριγώνων που σχηματίζει το σημείο ${\rm {K}}$ με τις κορυφές του πολυγώνου, δηλαδή

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\rm {E}}_{{\rm {K}}{\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}}+\ldots +{\rm {E}}_{{\rm {K}}{\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n}}+{\rm {E}}_{{\rm {K}}{\rm {P}}_{n}{\rm {P}}_{1}}\\&={\frac {1}{2}}{\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\cdot d_{1,2}+\ldots +{\frac {1}{2}}{\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n}\cdot d_{n-1,n}+{\frac {1}{2}}{\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n}\cdot d_{n,1}\\&={\frac {1}{2}}\cdot \lambda \cdot \left(d_{1,2}+\ldots +d_{n-1,n}+d_{n,1}\right),\end{aligned}}$

όπου $d_{i,j}$ η απόσταση του ${\rm {K}}$ από το ${\rm {P}}_{i}{\rm {P}}_{j}$. Από τον παραπάνω τύπο για το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου έχουμε ότι

${\rm {E}}={\frac {n}{2}}\cdot \lambda \cdot \alpha _{n}$.

Συνδυάζοντας τους δύο τύπους για το εμβαδόν του πολυγώνου, καταλήγουμε ότι

$d_{1,2}+\ldots +d_{n-1,n}+d_{n,1}=n\cdot r$.

• Το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών ενός κανονικού πολυγώνου από μία ευθεία είναι $n$ φορές η απόσταση της από το κέντρο του πολυγώνου.
  • Ειδική περίπτωση: Το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών ενός κανονικού πολυγώνου από μία ευθεία εφαπτόμενη στον περιγεγραμμένο της κύκλο είναι $n\cdot R$.

Απόδειξη  

Το θεώρημα προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι το κέντρο του πολυγώνου είναι και κέντρο βάρους του πολυγώνου, επομένως,

${\frac {1}{n}}\cdot \left(d_{{\rm {P}}_{1}}+\ldots +d_{{\rm {P}}_{n}}\right)=d_{\rm {O}}$,

όπου $d_{\rm {X}}$ είναι η απόσταση του σημείου ${\rm {X}}$ από την ευθεία.

Η ειδική περίπτωση προκύπτει από το γεγονός ότι μία εφαπτομένη απέχει από το κέντρο του κύκλου απόσταση $R$ όσο και η ακτίνα του κύκλου.

• Το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των κορυφών ενός κανονικού πολυγώνου από ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι ίσο με $2n\cdot R^{2}$.

Απόδειξη  

Από την γενίκευση της σχέσης Λάιμπνιτς, έχουμε ότι για ένα πολύγωνο ${\rm {P}}_{1}\ldots {\rm {P}}_{n}$ με κέντρο βάρους ${\rm {G}}$ και ένα σημείο ${\rm {N}}$

$\mathrm {NP} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {NP} _{n}^{2}=n\cdot \mathrm {NG} ^{2}+\mathrm {GP} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {GP} _{n}^{2}$.

Σε ένα κανονικό πολύγωνο το κέντρο βάρους είναι και κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Επομένως, $\mathrm {GP} _{1}=\ldots =\mathrm {GP} _{n}=\mathrm {NG} =R$ που δίνει την σχέση

$\mathrm {NP} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {NP} _{n}^{2}=n\cdot R^{2}+n\cdot R^{2}=2n\cdot R^{2}$.

• Το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των μέσων των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου από ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι ίσο με

$2n\cdot R^{2}-{\frac {1}{4}}n\alpha _{n}^{2}$.

Απόδειξη  

Τα μέσα ${\rm {M}}_{1},\ldots ,{\rm {M}}_{n}$ των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου ${\rm {P}}_{1},\ldots ,{\rm {P}}_{n}$ ορίζουν επίσης ένα κανονικό πολύγωνο με το ίδιο κέντρο ${\rm {O}}$.

Από την γενίκευση της σχέσης Λάιμπνιτς, για ένα σημείο ${\rm {N}}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του αρχικού πολυγώνου, έχουμε

$\mathrm {M_{1}P} _{1}^{2}+\ldots +{\rm {M}}_{n}{\rm {P}}_{n}^{2}=n\cdot \mathrm {NO} ^{2}+\mathrm {OM} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {OM} _{n}^{2}=n\cdot R^{2}+n\cdot \alpha _{n}^{2}$,

καθώς ${\rm {OM}}_{i}$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου. Τέλος, από την σχέση ${\textstyle R^{2}=\alpha _{n}^{2}+{\frac {\lambda _{n}^{2}}{4}}}$, λαμβάνουμε την ζητούμενη.

Περίμετρος

• Η περίμετρος ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi _{n}=n\cdot \lambda _{n}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσο με

${\rm {E}}_{n}={\frac {n}{2}}\lambda _{n}\cdot \alpha _{n}={\frac {1}{2}}\Pi _{n}\cdot \alpha _{n}$.

Απόδειξη  

Έστω ένα κανονικό πολύγωνο ${\rm {P}}_{1}\ldots {\rm {P}}_{n}$ με κέντρο ${\rm {O}}$. Θεωρούμε τις ακτίνες ${\rm {OP}}_{1},\ldots ,{\rm {OP}}_{n}$ που χωρίζουν το πολύγωνο σε $n$ ίσα ισοσκελή τρίγωνα με ύψος $\alpha _{n}$ και βάση ίση με $\lambda _{n}$. Επομενως το εμβαδόν του κάθε τέτοιου τριγώνου είναι

${\frac {1}{2}}\lambda _{n}\cdot \alpha _{n}$,

και το εμβαδόν ολόκληρου του πολυγώνου είναι

${\frac {n}{2}}\lambda _{n}\cdot \alpha _{n}$.

Επίσης συναρτήσει της πλευράς δίνεται ως

${\rm {E}}_{n}={\frac {n}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}\cdot \lambda _{n}^{2}$,

συναρτήσει της ακτίνας $\alpha _{n}$ του εγγεγραμμένου κύκλου ως

${\rm {E}}_{n}=n\tan {\frac {\pi }{n}}\cdot \alpha _{n}^{2}$,

και συναρτήσει της ακτίνας $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου ως

${\rm {E}}_{n}={\frac {n}{2}}\sin {\frac {2\pi }{n}}\cdot R^{2}$.

Απόδειξη  

Οι δύο πρώτοι τύποι προκύπτουν από τις παραπάνω σχέσεις μεταξύ των ακτινών και των πλευρών του κανονικού πολυγώνου.

Ο τρίτος τύπος προκύπτει πάλι χωρίζοντας το κανονικό πολύγωνο σε $n$ ισοσκελή τρίγωνα κάθε ένα από το οποίο έχει εμβαδόν ίσο με

${\frac {1}{2}}R^{2}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}$.

Για δοσμένη περίμετρο ${\rm {\Pi }}$ και πλήθος πλευρών $n$, το κανονικό πολύγωνο είναι το πολύγωνο με το μεγαλύτερο εμβαδόν.

Προσέγγιση κύκλου

Θεωρώντας έναν κύκλο ακτίνας $R$ και εγγράφοντας σε αυτόν κανονικά πολύγωνα με $n=3,4,5,\ldots$ πλευρές, το εμβαδόν τους σιγά σιγά προσεγγίζει (από κάτω) το εμβαδόν του κύκλου. Αντίστοιχα περιγράφοντας σε αυτόν τα κανονικά πολύγωνα με $n=3,4,5,\ldots$ πλευρές, το εμβαδόν τους σιγά σιγά προσεγγίζει (από πάνω) το εμβαδόν του κύκλου.

Παρατηρήστε ότι στον παρακάτω πίνακα, το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου προσεγγίζει τον κύκλο, στην περίπτωση του περιγεγραμμένου κύκλου από κάτω (γι'αυτό η σχετική απόκλιση είναι $<1$) και στην περίπτωση του εγγεγραμμένου κύκλου από πάνω (γι'αυτό η σχετική απόκλιση είναι $>1$). Και στις δύο περιπτώσεις, η σχετική απόκλιση τίνει στο $1$.

Προσέγγιση εμβαδού κύκλου

#	Όνομα	Περιγεγραμμένος κύκλος $R=1$				Εγγεγραμμένος κύκλος $\alpha _{n}=1$
		Ακριβής τύπος	Προσέγγιση	Σχετικό σφάλμα		Ακριβής τύπος	Προσέγγιση	Σχετικό σφάλμα
$n$	$n$-γωνο	$\scriptstyle {\frac {n}{2}}\sin {\frac {2\pi }{n}}$				$\scriptstyle n\tan {\frac {\pi }{n}}$
3	Ισόπλευρο τρίγωνο	$\scriptstyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}$	1.299038	0.413497		$\scriptstyle 3{\sqrt {3}}$	5.196152	1.653987
4	Τετράγωνο	$\scriptstyle 2$	2.000000	0.636620		$\scriptstyle 4$	4.000000	1.273240
5	Κανονικό πεντάγωνο	$\scriptstyle {\frac {5}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	2.377641	0.756827		$\scriptstyle 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	3.632713	1.156328
6	Κανονικό εξάγωνο	$\scriptstyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	2.598076	0.826993		$\scriptstyle 2{\sqrt {3}}$	3.464102	1.102658
7	Κανονικό επτάγωνο	${\displaystyle }$	2.736410	0.871026		${\displaystyle }$	3.371022	1.073030
8	Κανονικό οκτάγωνο	$\scriptstyle 2{\sqrt {2}}$	2.828427	0.900316		$\scriptstyle 8({\sqrt {2}}-1)$	3.313708	1.054786
9	Κανονικό εννεάγωνο	${\displaystyle }$	2.892544	0.920725		${\displaystyle }$	3.275732	1.042698
10	Κανονικό δεκάγωνο	$\scriptstyle {\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$	2.938926	0.935489		$\scriptstyle 2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$	3.249197	1.034252
11	Κανονικό ενδεκάγωνο	${\displaystyle }$	2.973524	0.946502		${\displaystyle }$	3.229891	1.028106
12	Κανονικό δωδεκάγωνο	$\scriptstyle 3$	3.000000	0.954930		$\scriptstyle 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)$	3.215390	1.023491
13	Κανονικό δεκατριάγωνο	${\displaystyle }$	3.020701	0.961519		${\displaystyle }$	3.204212	1.019932
14	Κανονικό δεκατετράγωνο	${\displaystyle }$	3.037186	0.966766		${\displaystyle }$	3.195409	1.017130
15	Κανονικό δεκαπεντάγωνο	$\scriptstyle {\frac {15}{8}}{\sqrt {7+{\sqrt {5}}-{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}}}$	3.050525	0.971012		$\scriptstyle 15{\sqrt {23-10{\sqrt {5}}-2{\sqrt {255-114{\sqrt {5}}}}}}$	3.188348	1.014883
16	Κανονικό δεκαεξάγωνο	$\scriptstyle 4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	3.061467	0.974495		$\scriptstyle 16\left({\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1\right)$	3.182598	1.013052
17	Κανονικό δεκαεπτάγωνο	${\displaystyle }$	3.070554	0.977388		${\displaystyle }$	3.177851	1.011541
18	Κανονικό δεκαοκτάγωνο	${\displaystyle }$	3.078181	0.979816		${\displaystyle }$	3.173886	1.010279
19	Κανονικό δεκαεννεάγωνο	${\displaystyle }$	3.084645	0.981873		${\displaystyle }$	3.170539	1.009214
20	Κανονικό εικοσάγωνο	$\scriptstyle {\frac {5}{2}}({\sqrt {5}}-1)$	3.090170	0.983632		$\scriptstyle 20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$	3.167689	1.008307
$\vdots$
103	Κανονικό χιλιάγωνο	${\displaystyle }$	3.141572	0.999993		${\displaystyle }$	3.141603	1.000003
104	Κανονικό μυριάγωνο	${\displaystyle }$	3.141592	0.999999		${\displaystyle }$	3.141592	1.000000+

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

(Θεώρημα Γκάους-Βαντσέλ) Ένα κανονικό πολύγωνο με $n$ πλευρές είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{\ell }$, όπου $k$ ένας φυσικός αριθμός και $p_{1},\ldots ,p_{\ell }$ είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί Φερμά.

• Το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο, το κανονικό πεντάγωνον, το κανονικό εξάγωνο, το κανονικό οκτάγωνο, το κανονικό δεκάγωνο, το κανονικό δωδεκάγωνο, το κανονικό δεκαπεντάγωνο, το κανονικό δεκαεξάγωνο, το κανονικό δεκαεπτάγωνο, ... είναι κατασκευάσιμα.

Κατασκευή με οριγκάμι

Ένα κανονικό πολύγωνο με $n$ πλευρές μπορεί να κατασκευαστεί με οριγκάμι αν και μόνο αν $n=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{\ell }$ όπου $a,b$ φυσικοί αριθμοί και $p_{1},\ldots ,p_{\ell }$ είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί Pierpont.

Σχηματισμός κανονικών πολυγώνων

• Αν $n$ σημεία διαιρούν έναν κύκλο σε $n$ ίσα μέρη, τότε σχηματίζουν κανονικό πολύγωνο.
• Έστω ένα κανονικό πολύγωνο και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Τα σημεία τομής των εφαπτομένων στις κορυφές του πολυγώνου, ορίζουν ένα κανονικό πολύγωνο.
• Τα μέσα των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, ορίζουν ένα κανονικό πολύγωνο.

Κανονικά πολύγωνα ως έδρες πολυέδρων

• Ένα ομοιόμορφο πολύεδρο έχει ως έδρες κανονικά πολύγωνα, έτσι ώστε για κάθε δύο κορυφές να υπάρχει μια ισομετρία χαρτογραφώντας το ένα μέσα στο άλλο (ομοίως με τα κανονικά πολύγωνα).
• Ένα σχεδόν-κανονικό πολύεδρο είναι ένα ομοιόμορφο πολύεδρο που έχει μόνο δύο είδη εδρών που εναλλάσσονται γύρω από κάθε κορυφή του.
• Ένα κανονικό πολύεδρο είναι ένα ομοιόμορφο πολύεδρο που έχει μόνο ένα είδος έδρας.
• Τα υπόλοιπα (ανομοιόμορφα) κυρτά πολύεδρα με κανονικές έδρες είναι γνωστά ως στερεά του Τζόνσον.
• Ένα πολύεδρο που έχει κανονικά τρίγωνα ως έδρες ονομάζεται δελτάεδρο.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Regular polygon" από το MathWorld.
• Διαδραστικές εφαρμογές στο Φωτόδεντρο: στοιχεία κανονικού πολυγώνου
• Διαδραστικές εφαρμογές στο mathopenref: περιγραφή κανονικού πολυγώνου, Εγγεγραμμένος κύκλος κανονικού πολυγώνου, τρεις τύποι για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου
• Κατασκευές κανονικών πολυγώνων από αναγεννησιακούς καλλιτέχνες

Ελληνικά άρθρα

• Γιαννακόπουλος, Σπύρος (Ιανουαρίου 2022). «Κανονικά πολύγωνα - Κύκλος». Ευκλείδης Β΄ (123): 41-48. http://niobe.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t123_2022.pdf. 
• Κυριακόπουλος Αθανάσιος (1992). «Κανονικά Πολύγωνα». Ευκλείδης Β΄ (3): 30-34. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3504. 
• «Γεωμετρία Β'Λυκείου: Κανονικά πολύγωνα». Ευκλείδης Β΄ (5): 12-15. 1980. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4313. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Perkins, Martin (Ιουλίου 2005). «89.52 Approximate constructions for regular polygons». The Mathematical Gazette 89 (515): 290–292. doi:10.1017/S0025557200177873. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-07_89_515/page/290. 
• Vincent, S. P. (2007). «91.18 Archimedes Revisited: The Approximation of π by Regular Polygon Perimeters». The Mathematical Gazette 91 (520): 117-120. https://www.jstor.org/stable/40378303. 
• Hilton, Peter; Pedersen, Jean (Μαΐου 1983). «Approximating Any Regular Polygon by Folding Paper». Mathematics Magazine 56 (3): 141–155. doi:10.1080/0025570X.1983.11977033. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1983-05_56_3/page/141. 
• Srinivas, V. (Δεκεμβρίου 1977). «Notes: 61.21 Regular polygons on a square pinboard». The Mathematical Gazette 61 (418): 290–292. doi:10.2307/3617406. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1977-12_61_418/page/290. 
• King, Jeremy D. (2010). «94.34 Regular polygons with integer coordinates». The Mathematical Gazette 94 (531): 495-498. https://www.jstor.org/stable/25759738. 
• Pietsch, Manfred (2018). «Two hinged regular n-sided polygons». Forum Geometricorum (18): 39-42. 

Βιβλιογραφία

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1948). Regular Polytopes. Methuen and Co. 
• Grünbaum, Branko (2003). «Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra?». Discrete and Computational Geometry 25: 461–488. doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21. 
• Poinsot, Louis (1810). Memoire sur les polygones et polyèdres: J. de l'École Polytechnique. 9. σελίδες 16–48.