Δεκατριάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκατριάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δεκατρείς κορυφές και δεκατρείς πλευρές.

Ένα δεκατριάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό δεκατριάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $1980^{\circ }$ (ή $11\pi$ ακτίνια).
• Κάθε δεκατριάγωνο έχει 65 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό δεκατριάγωνο

Κυρτό κανονικό δεκατριάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	13, ισόπλευρο
Γωνίες	13, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$65$
Σύμβολο Schläfli	$\{13\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	13
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης τρίτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 152{\frac {4}{13}}^{\circ }}$ (ή $11/13\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {13}{4}}\cot {\frac {\pi }{13}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=13\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{13}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{13}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκατριάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό δεκατριάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 152{\frac {4}{13}}^{\circ }}$ (ή $11\pi /13$ ακτίνια).
• Έχει δεκατρεις άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία δεκατης τρίτης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του δεκατριάγωνο είναι $\{13\}$.

Οι δεκατρείς άξονες συμμετρίας ενός κανονικού δεκατριαγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του δεκατριαγώνου.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκατριαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{13}}\cdot \lambda \approx 2{,}089291\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκατριαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{13}}\cdot \lambda \approx 2{,}028580\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα πέντε είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκατριάγωνο.

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκατριαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{k}&=2\sin {\frac {k\pi }{13}}\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=d_{5}$.

• Το ύψος του είναι

$h=R+r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκατριαγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {13}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού δεκατριαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {13}{4}}\cot {\frac {\pi }{13}}\cdot \lambda ^{2}\approx 13{,}185768\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκατριαγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {13}{2}}\sin {\frac {2\pi }{13}}\cdot R^{2}\approx 3{,}020701\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=13\tan {\frac {\pi }{13}}\cdot r^{2}\approx 3{,}204212\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =13\cdot \lambda$.

Κατασκευή

Το κανονικό δεκατριάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί μόνο με κανόνα και διαβήτη, καθώς το 13 δεν είναι πρώτος αριθμός Φερμά. Μπορεί ωστόσο να κατασκευασθεί με νεύση ή με έναν τριχοτομητή γωνίας.

Το επόμενο σχήμα δείχνει τα στάδια κατασκευής με νεύση ενός κανονικού δεκατριαγώνου με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου ${\overline {OA}}=12,$ σύμφωνα με τον Άντριου Μ. Γκλήζον, με βάση την τριχοτόμηση γωνίας με μάχαιρα υποδηματοποιού (γαλάζιο).

Κανονικό δεκατριάγωνο με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου ${\overline {OA}}=12$, με τριχοτόμηση γωνίας με χρήση μάχαιρας υποδηματοποιού (γαλάζιο)

Το παρακάτω σχήμα δίνει μία προσεγγιστική κατασκευή με κανόνα και διαβήτη για το κανονικό δεκατριάγωνο.

Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού δεκατριαγώνου.

Μία πιο πολύπλοκη κατασκευή με κανόνα και διαβήτη δίνει ακόμα καλύτερη προσέγγιση:

Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού δεκατριαγώνου με καλύτερη προσέγγιση.

Σύμφωνα με το GeoGebra, $\scriptstyle \angle {}$BME₁ = 27,692307692307764° , ενώ 360° ÷ 13 = 27,69230769230769°, δηλαδή η διαφορά είναι λιγότερο από ένα μέρος στα 10 τρισεκατομμύρια.

Συμμετρία

Συμμετρίες ενός κανονικού δεκατριαγώνου. Οι κορυφές είναι χρωματισμένες ανάλογα με τις θέσεις συμμετρίας τους.

Το κανονικό δεκατριάγωνο έχει διεδρική συμμετρία Dih₁₃ , με τάξη 26. Επειδή ο 13 είναι πρώτος αριθμός, υπάρχουν επίσης μία υποομάδα με διεδρική συμμετρία, η Dih₁, και δύο συμμετρίες κυκλικής ομάδας,τις Z₁₃ και Z₁.

Αυτές οι 4 ομάδες συμμετρίας μπορούν να παρατηρηθούν σε 4 διαφορετικές συμμετρίες στο δεκατριάγωνο. Ο Τζων Κόνγουεϊ τις συμβολίζει με ένα γράμμα και την τάξη της ομάδας. Η πλήρης συμμετρία του κανονικού δεκατριαγώνου είναι η r26, ενώ καμιά συμμετρία δεν είναι a1. Οι διεδρικές συμμετρίες διακρίνονται σε αυτές που περνούν από κορυφές (συμβολίζονται με d από τη λέξη diagonal = διαγώνιος), σε αυτές που περνούν από πλευρές (p από τη λέξη perpendiculars = κάθετοι) και σε αυτές των οποίων οι γραμμές ανακλάσεως περνούν από αμφότερες (συμβολίζονται με i).

Η κάθε υποομάδα συμμετρίας επιτρέπει έναν ή περισσότερους βαθμούς ελευθερίας για μη κανονικές μορφές. Μόνο η κυκλική υποομάδα g13 δεν έχει βαθμούς ελευθερίας.

Αστεροειδές κανονικό δεκατριάγωνο

Το αστεροειδές πολύγωνο με δεκατρείς πλευρές ονομάζεται δεκατριάγραμμα. Υπάρχουν 5 κανονικές μορφές του, που συμβολίζονται με τα σύμβολο Schläfli $\{13/2\}$, $\{13/3\}$, $\{13/4\}$, $\{13/5\}$ και $\{13/6\}$.

Δεκατριάγραμμα $\{13/2\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	13, ισόπλευρο
Γωνίες	13, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{13/2\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	13
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης τρίτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$124{\frac {8}{13}}^{\circ }$ (ή $9\pi /13$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκατριάγραμμα

Δεκατριάγραμμα $\{13/3\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	13, ισόπλευρο
Γωνίες	13, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{13/3\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	13
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης τρίτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$96{\frac {12}{13}}^{\circ }$ (ή $7\pi /13$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκατριάγραμμα

Δεκατριάγραμμα $\{13/4\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	13, ισόπλευρο
Γωνίες	13, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{13/4\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	13
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης τρίτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$69{\frac {3}{13}}^{\circ }$ (ή $5\pi /13$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκατριάγραμμα

Δεκατριάγραμμα $\{13/5\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	13, ισόπλευρο
Γωνίες	13, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{13/5\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	13
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης τρίτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$41{\frac {7}{13}}^{\circ }$ (ή $3\pi /13$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκατριάγραμμα

Δεκατριάγραμμα $\{13/6\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	13, ισόπλευρο
Γωνίες	13, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{13/6\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	13
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης τρίτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$13{\frac {11}{13}}^{\circ }$ (ή $\pi /13$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκατριάγραμμα

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό δεκατριάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι 12-simplex:

A12
12-simplex

Εφαρμογές

Νομίσματα

Το κανονικό δεκατριάγωνο χρησιμοποιείται ως σχήμα για το κέρμα των 20 κορονών Τσεχίας.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική κατασκευή δεκατριαγώνου στο Geogebra.