Απλό πολύγωνο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Μερικά απλά πολύγωνα

Στη γεωμετρία ως απλό πολύγωνο ορίζεται ένα επίπεδο σχήμα που αποτελείται από μη τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα (πλευρές) που ενώνονται ανά ζεύγη για να σχηματίσουν μια κλειστή διαδρομή. Εάν οι πλευρές του τέμνονται τότε το πολύγωνο δεν είναι απλό. Το προσδιοριστικό «απλό» συχνά παραλείπεται και ο παραπάνω ορισμός γίνεται προϋπόθεση για να οριστεί ένα πολύγωνο γενικότερα.

Τα απλά πολύγωνα ονομάζονται επίσης πολύγωνα Τζόρνταν, διότι το θεώρημα καμπύλης του Τζόρνταν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι ένα τέτοιο πολύγωνο χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο περιοχές, την περιοχή στο εσωτερικό του και την περιοχή έξω από αυτό. Ένα απλό πολύγωνο στο επίπεδο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με έναν κύκλο και το εσωτερικό του είναι τοπολογικά ισοδύναμο με έναν δίσκο.

Χρήση του όρου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν συνήθως τον όρο «πολύγωνο» για να αναφερθούν μόνο στο σχήμα που αποτελείται από τα ευθύγραμμα τμήματα, και όχι στην κλειστή περιοχή που δημιουργούν, ωστόσο, ορισμένοι χρησιμοποιούν τον όρο «πολύγωνο» για να αναφερθούν σε ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από την κλειστή διαδρομή, που αποτελείται από μια πεπερασμένη ακολουθία απλών ευθύγραμμων τμημάτων (δηλαδή, από μια κλειστή τεθλασμένη). Σύμφωνα με τον ορισμό κατά τη χρήση, αυτη η οριογραμμή άλλοτε μπορεί, και άλλοτε όχι, να αποτελεί μέρος του ίδιου του πολυγώνου.[1]

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο ορισμός που δίνεται παραπάνω εξασφαλίζει τις ακόλουθες ιδιότητες:

  • Ένα πολύγωνο περικλείει μια περιοχή (που ονομάζεται το εσωτερικό του), η οποία είναι πάντα μετρήσιμη.
  • Τα ευθύγραμμα τμήματα (που ονομάζονται «πλευρές» ή «ακμές») τα οποία κατασκευάζουν ένα πολύγωνο, συναντώνται μόνο στα άκρα τους (που ονομάζονται «κορυφές», κάποιοες φορές και «γωνίες»).
  • Σε κάθε κορυφή συναντώνται ακριβώς δύο ακμές.
  • (Ο αριθμός των ακμών είναι πάντα ίσος με τον αριθμό των κορυφών).

Τα δύο άκρα που συναντώνται σε μια κορυφή, συνήθως απαιτούνται για να σχηματίσουν μια γωνία, η οποία δεν πρέπει να είναι παραπληρωματική (180°), διότι τότε, τα συνευθειακά ευθύγραμμα τμήματα θα σχηματίσουν μια πλευρά της οποίας και θα θεωρηθούν τμήματα.

Ασθενώς απλό πολύγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εάν μια κλειστή τεθλασμένη ενσωματωθεί σε ένα επίπεδο, το χωρίζει σε δύο περιοχές η μία εκ των οποίων είναι τοπολογικά ισοδύναμη με έναν δίσκο, μια τέτοια κλειστή τεθλασμένη ονομάζεται ασθενώς απλό πολύγωνο.[2] Ανεπίσημα, ασθενώς απλό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο στο οποίο ορισμένες πλευρές μπορούν να «αγγίζονται», αλλά δεν μπορούν να «διασταυρώνονται».

Weakly simple polygon.svg Στην εικόνα αυτή, το ABCDEFGHJKLM είναι ένα ασθενώς απλό πολύγωνο με το μπλε χρώμα να επισημαίνει το εσωτερικό του.

Ένας πιο γενικός ορισμός, ορίζει ως ασθενώς απλό πολύγωνο τα όρια των ακολουθιών απλών πολυγώνων ίδιου συνδυαστικού τύπου, με σύγκλιση στο πλαίσια της απόστασης Φρεσέ.[3] Το εσωτερικό του μπορεί να είναι κενό. Για παράδειγμα, η αναφερόμενη στην παραπάνω εικόνα, ABCBA τεθλασμένη είναι ένα ασθενώς απλό πολύγωνο, καθώς μπορεί να θεωρηθεί ως το όριο της «συμπίεσης» του ABCFGHA πολυγώνου.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Grünbaum, Branko (2003). Convex polytopes (2η έκδοση). Springer. 
  2. Thomas, Wolfgang· Weil, Pascal (2007). STACS 2007: 24th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, Aachen, Germany, February 22-24, 2007, Proceedings. Springer. σελ. 177. ISBN 3-5407-0917-7. 
  3. Chang, Hsien-Chih· Erickson, Jeff· Xu, Chao (2015). Proceedings of the Twenty-Sixth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA'15). σελίδες 1655–1670. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]