Θεώρημα Πιτό
Στην γεωμετρία, το θεώρημα Πιτό (αναφέρεται και ως θεώρημα Pitot) λέει ότι σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο το άθροισμα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσο, δηλαδή .
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ανρί Πιτό που το δημοσίευσε το 1725.[1][2] Το αντίστροφο του θεωρήματος αποδείχθηκε από τον J. B. Durrande το 1815[3][4][5] και από τον J. Steiner το 1846.
Απόδειξη
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Απόδειξη |
Η βασική ιδιότητα που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ότι για τις δύο εφαπτόμενες που άγονται από ένα σημείο προς έναν κύκλο, με σημεία επαφής και , ισχύει ότι . Έστω ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο , όπου ο εγγεγραμμένος του κύκλος έχει κέντρο και είναι τα σημεία επαφής του με τις πλευρές του τετραπλεύρου. Τότε από την παραπάνω ιδιότητα για τα σημεία έχουμε ότι
Επομένως,
και
Καταλήγουμε στο ζητούμενο ότι . |
Αντίστροφο
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Αν σε ένα τετράπλευρο ισχύει ότι , τότε το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο.
Γενικεύσεις
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Σε παρεγεγραμμένα τετράπλευρα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Σε ένα παρεγεγραμμένο τετράπλευρο όπως στο πλαϊνό σχήμα, ισχύει ότι
- .
Απόδειξη |
Παρόμοια με το περιγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε ότι
Επομένως,
και
Έτσι, καταλήγουμε στο ζητούμενο. |
Σε περιγεγραμμένα πολύγωνα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Σε ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο με πλευρές, ισχύει ότι το άθροισμα των περιττών πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των άρτιων πλευρών. Πιο συγκεκριμένα, στο πολύγωνο ισχύει ότι
- ,
όπου η ημιπερίμετρος του πολυγώνου.
Απόδειξη |
Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή για το τετράπλευρο. Θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του πολυγώνου με κέντρο και τα σημεία επαφής με τις πλευρές του. Τότε, έχουμε Επομένως, και Καταλήγουμε ότι τα δύο αθροίσματα είναι ίσα. |
Στερεομετρία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Το θεώρημα Πιτό γενικεύεται και για τετράεδρα.[3]
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Διαδραστική εφαρμογή για περιγεγραμμένα και παρεγεγραμμένα τετράπλευρα στο Geogebra
- Διαδραστική εφαρμογή στο Geogebra
- Το θεώρημα Πιτό στο cut-the-knot.
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Humbert, P. (1953). «L'œuvre mathématique d'Henri Pitot.». Revue d'histoire des sciences (6-4): 322-328.
- ↑ Pitot, Henri (1725). «Propriétés élémentaires des polygones circonscrits autour du cercle». Histoire de l'Académie royale des sciences avec les mémoires de mathématique et de physique tirés des registres de cette Académie: 45-47. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35266.image.f211.pagination.langFR.
- ↑ 3,0 3,1 Durrande, J. B. (1815). «Questions résolues. Démonstration du théorème de géométrie énoncé à la page 384 du V.e volume de ce recueil». Annales de Mathématiques pures et appliquées 6: 49-54. http://www.numdam.org/item/AMPA_1815-1816__6__49_0.pdf.
- ↑ Sauvé, Léo (1976). «On circumscribable quadrilaterals». Crux 2 (4): 63-67. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/Crux_v2n04_Apr.pdf.
- ↑ Josefsson, Martin (Ιουλίου 2019). «103.23 On Pitot’s theorem». The Mathematical Gazette 103 (557): 333–337. doi: .