Μετάβαση στο περιεχόμενο

Θεώρημα Πιτό

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στο περιγεγραμμένο τετράπλευρο , ισχύει ότι .

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Πιτό (αναφέρεται και ως θεώρημα Pitot) λέει ότι σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο το άθροισμα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσο, δηλαδή .

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ανρί Πιτό που το δημοσίευσε το 1725.[1][2] Το αντίστροφο του θεωρήματος αποδείχθηκε από τον J. B. Durrande το 1815[3][4][5] και από τον J. Steiner το 1846.

Αν σε ένα τετράπλευρο ισχύει ότι , τότε το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο.

Σε παρεγεγραμμένα τετράπλευρα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ισχύει ότι .

Σε ένα παρεγεγραμμένο τετράπλευρο όπως στο πλαϊνό σχήμα, ισχύει ότι

.

Σε περιγεγραμμένα πολύγωνα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Το θεώρημα Πιτό για πολύγωνα λέει ότι το άθροισμα των μηκών των πράσινων πλευρών είναι ίσο με αυτό των μπλε.

Σε ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο με πλευρές, ισχύει ότι το άθροισμα των περιττών πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των άρτιων πλευρών. Πιο συγκεκριμένα, στο πολύγωνο ισχύει ότι

,

όπου η ημιπερίμετρος του πολυγώνου.

Το θεώρημα Πιτό γενικεύεται και για τετράεδρα.[3]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. Humbert, P. (1953). «L'œuvre mathématique d'Henri Pitot.». Revue d'histoire des sciences (6-4): 322-328. 
  2. Pitot, Henri (1725). «Propriétés élémentaires des polygones circonscrits autour du cercle». Histoire de l'Académie royale des sciences avec les mémoires de mathématique et de physique tirés des registres de cette Académie: 45-47. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35266.image.f211.pagination.langFR. 
  3. 3,0 3,1 Durrande, J. B. (1815). «Questions résolues. Démonstration du théorème de géométrie énoncé à la page 384 du V.e volume de ce recueil». Annales de Mathématiques pures et appliquées 6: 49-54. http://www.numdam.org/item/AMPA_1815-1816__6__49_0.pdf. 
  4. Sauvé, Léo (1976). «On circumscribable quadrilaterals». Crux 2 (4): 63-67. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/Crux_v2n04_Apr.pdf. 
  5. Josefsson, Martin (Ιουλίου 2019). «103.23 On Pitot’s theorem». The Mathematical Gazette 103 (557): 333–337. doi:10.1017/mag.2019.70.