257-γωνο

Στη γεωμετρία το 257-γωνο είναι ένα πολύγωνο με 257 κορυφές και 257 πλευρές.

Ένα 257-γωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους. Ένα κανονικό 257-γωνο δεν ξεχωρίζει οπτικά από έναν κύκλο και η περίμετρός του διαφέρει από εκείνη του εγγεγραμμένου κύκλου του κατά περίπου 24 μέρη ανά εκατομμύριο.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό 257-γωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $45900^{\circ }$ (ή $255\pi$ ακτίνια).
• Κάθε 257-γωνο έχει 32639 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό 257-γωνο

Κυρτό κανονικό 257-γωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	257, ισόπλευρο
Γωνίες	257, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$32639$
Σύμβολο Schläfli	$\{257\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	257
Περιστροφική συμμετρία	257ης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 178.599^{\circ }}$ (ή $255/257\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {257}{4}}\cot {\frac {\pi }{257}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=257\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{257}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{257}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα

Ιδιότητες

Για το κανονικό 257-γωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 178.599^{\circ }}$ (ή $255\pi /257$ ακτίνια).
• Έχει 257 άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία 257ης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του 257-γώνου είναι $\{257\}$.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού 257-γώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{257}}\cdot \lambda \approx 40{,}903839\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού 257-γώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{257}}\cdot \lambda \approx 40{,}900783\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού 257-γώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{k}&=2\sin {\frac {k\pi }{257}}\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=d_{130}$.

• Το ύψος του είναι

$h=R+r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού 257-γώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {257}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού 257-γώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {257}{4}}\cot {\frac {\pi }{257}}\cdot \lambda ^{2}\approx 5255{,}750616\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του 257-γώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {257}{2}}\sin {\frac {2\pi }{257}}\cdot R^{2}\approx 3{,}141279\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=257\tan {\frac {\pi }{257}}\cdot r^{2}\approx 3{,}141749\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =257\cdot \lambda$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό 257-γωνο (που όλες οι πλευρές του είναι ιδίου μήκους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες) έχει αρκετό ενδιαφέρον ως κατασκευάσιμο πολύγωνο, καθώς μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το 257 είναι πρώτος αριθμός Φερμά, ο οποίος είναι της μορφής 2⁽²ⁿ⁾ + 1 (στην περίπτωση αυτή n = 3). Έτσι, οι τιμές $\cos {\frac {\pi }{257}}$ και $\cos {\frac {2\pi }{257}}$ είναι 128 μοιρών αλγεβρικοί αριθμοί και όπως όλοι οι κατασκευάσιμοι αριθμοί μπορεί να γραφτούν χρησιμοποιώντας τετραγωνικές ρίζες και όχι ρίζες υψηλότερης τάξης.

Αν και από το 1801 ήταν γνωστό στον Καρλ Φρίντριχ Γκάους ότι ήταν κατασκευάσιμο το κανονικό 257-γωνο, οι πρώτες σαφείς κατασκευές του δόθηκαν από τον Μάγκνους Γκεόργκ Πάουκερ το 1822, ενώ τις επόμενες μεθόδους τις έδωσε το 1832 ο Φρίντριχ Ιούλιος Ρισελότ (1808–1875), καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Königsberg. Η κατασκευή του κανονικού 257-γωνου που πραγματοποίησε ο Ρισελότ ήταν μια εκτεταμένη εργασία 81 σελίδων που δημοσιεύτηκε το 1832 (Crelle’s Journal, IX, 1832). Εκεί ο Ρισελότ εξήγαγε και κατασκεύασε τις ρίζες της εξίσωσης z²⁵⁷ = 1. Η διδακτορική του διατριβή που υποβλήθηκε το 1831 στο πανεπιστήμιο του Königsberg είχε για θέμα τη διαίρεση του κύκλου σε 257 ίσα μέρη.

Μια άλλη μέθοδος περιλαμβάνει τη χρήση 150 κύκλων, εκ των οποίων οι 24 είναι κύκλοι Carlyle (η μέθοδος αυτή απεικονίζεται κατωτέρω). Ένας από αυτούς τους κύκλους Carlyle επιλύει την τετραγωνική εξίσωση x² + x − 64 = 0.

Μια άλλη μέθοδος κατασκευής με κανόνα και διαβήτη είναι η εξής:

257-γραμμα

Το 257-γραμμα είναι ένα αστεροειδές πολύγωνο με 257 πλευρές. Καθώς το 257 είναι πρώτος αριθμός, υπάρχουν 127 κανονικές μορφές που παράγονται από τα σύμβολα Schläfli {257/n} για όλους του φυσικούς αριθμούς 2 ≤ n ≤ 128, δεδομένου ότι:

$\left\lfloor {\frac {257}{2}}\right\rfloor =128$.

Παρακάτω είναι μια άποψη του {257/128}, με 257 σχεδόν ακτινικές πλευρές και με εσωτερική γωνία της κάθε αστεροειδούς κορυφής του 180/257° (~0,7°).

180 (1-2 / (257/128)) = 180 (1 - 256/257) = 180/257 = 0,700389

Προσεγγιστική κατασκευή

Η ακριβής κατασκευή του 257-γώνου χρειάζεται πολλά βήματα. Παρακάτω δίνεται μία προσεγγιστική κατασκευή που πετυχαίνει γωνία

${\widehat {\rm {AME}}}_{1}=1{,}40077828746899^{\circ }$,

το οποίο έχει απόκλιση

${\widehat {\rm {AME}}}_{1}-{\frac {360^{\circ }}{257}}=7{,}73\cdot 10^{-8}$

Για να κατανοήσουμε πόσο μικρό είναι αυτό το σφάλμα σε έναν περιγεγραμμένο κύκλο με ακτίνα r = 1000 χιλιόμετρα (η απόσταση της αερογραμμής Λονδίνο - Μόναχο είναι περίπου 918 χιλιόμετρα), βλέπούμε ότι το απόλυτο σφάλμα στην πρώτη πλευρά θα ήταν περίπου 1,35 mm.

Τα βήματα της προσεγγιστικής κατασκευής δίνοναι παρακάτω.

Το 257-γωνο, με προσέγγιση κατασκευής της πρώτης πλευράς καρέ-καρέ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "257-gon" από το MathWorld.