Δωδεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το δωδεκάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δώδεκα κορυφές και δώδεκα πλευρές.

Ένα δωδεκάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό δωδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $1800^{\circ }$ (ή $10\pi$ ακτίνια).
• Κάθε δωδεκάγωνο έχει 54 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό δωδεκάγωνο

Κυρτό κανονικό δωδεκάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	12, ισόπλευρο
Γωνίες	12, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$54$
Σύμβολο Schläfli	$\{12\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	12
Περιστροφική συμμετρία	δωδέκατης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 150^{\circ }}$ (ή $10/12\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}=3\cot {\frac {\pi }{12}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=12\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{12}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{12}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δωδεκάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό δωδεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 150^{\circ }}$ (ή $10\pi /12$ ακτίνια).
• Έχει δώδεκα άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία δωδέκατης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του δωδεκαγώνου είναι $\{12\}$.

Οι δώδεκα άξονες συμμετρίας ενός κανονικού δωδεκαγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του δωδεκαγώνου.

Κεντρική γωνία

Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με $\varphi =30^{\circ }$ (ή $\pi /6$ ακτίνια).

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της $\varphi /2$ είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους

$\sin {\frac {\pi }{12}}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right),\qquad \csc {\frac {\pi }{12}}={\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$,

$\cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right),\qquad \sec {\frac {\pi }{12}}={\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$,

$\tan {\frac {\pi }{12}}=2-{\sqrt {3}},\qquad \cot {\frac {\pi }{12}}=2+{\sqrt {3}}$.

Απόδειξη (Με τριγωνομετρία)  

Θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς για την γωνία π/3 και αυτούς για την γωνία π/4, καθώς και ότι

${\frac {\pi }{12}}={\frac {\pi }{3}}-{\frac {\pi }{4}}$.

Από τους τύπους για το ημίτονο και συνημίτονο διαφοράς γωνιών, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{12}}&=\sin \left({\frac {\pi }{3}}-{\frac {\pi }{4}}\right)=\sin {\frac {\pi }{3}}\cos {\frac {\pi }{4}}-\cos {\frac {\pi }{3}}\sin {\frac {\pi }{4}}\\&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right),\end{aligned}}$

και

${\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{12}}&=\cos \left({\frac {\pi }{3}}-{\frac {\pi }{4}}\right)=\cos {\frac {\pi }{3}}\cos {\frac {\pi }{4}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\sin {\frac {\pi }{4}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθώς και ρητοποίηση ριζών, λαμβάνουμε τους υπόλοιπους τύπους.

$\csc {\frac {\pi }{12}}={\frac {4}{{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}}={\frac {4({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}{({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}={\frac {4({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}{{\sqrt {6}}^{2}-{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$,

$\sec {\frac {\pi }{12}}={\frac {4}{{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}}={\frac {4({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}{({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}={\frac {4({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}{{\sqrt {6}}^{2}-{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$,

$\tan {\frac {\pi }{12}}={\frac {\sin {\frac {\pi }{12}}}{\cos {\frac {\pi }{12}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}}={\frac {({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})^{2}}{{\sqrt {6}}^{2}-{\sqrt {2}}^{2}}}={\frac {1}{4}}\left(8-2{\sqrt {12}}\right)=2-{\sqrt {3}}$,

$\cot {\frac {\pi }{12}}={\frac {1}{\tan {\frac {\pi }{12}}}}={\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{2^{2}-{\sqrt {3}}^{2}}}=2+{\sqrt {3}}$.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δωδεκαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{12}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\cdot \lambda \\&\approx 1{,}931852\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δωδεκαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{12}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)\cdot \lambda \\&\approx 1{,}866025\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα πέντε είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δωδεκάγωνο.

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δωδεκαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{1}&=2\sin {\frac {\pi }{12}}\cdot R={\frac {1}{2}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\cdot R,\\d_{2}&=2\sin {\frac {2\pi }{12}}\cdot R=R,\\d_{3}&=2\sin {\frac {3\pi }{12}}\cdot R={\sqrt {2}}\cdot R,\\d_{4}&=2\sin {\frac {4\pi }{12}}\cdot R={\sqrt {3}}\cdot R,\\d_{5}&=2\sin {\frac {5\pi }{12}}\cdot R={\frac {1}{2}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=2\cdot R$.

• Το ύψος του είναι

$h=2\cdot r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}=6\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=3\cot {\frac {\pi }{12}}\cdot \lambda ^{2}\\&=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)\cdot \lambda ^{2}\\&\approx 11{,}196152\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Τρία τετράγωνα πλευράς $R$ μπορούν να χωριστούν σε μέρη που αν τα αναδιατάξουμε φτιάχνουν ένα κανονικό δωδεκάγωνο. Αυτό δίνει μία απόδειξη χωρίς λόγια ότι το εμβαδόν του κανονικού δωδεκαγώνου είναι $3R^{2}$.

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δωδεκαγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=6\sin {\frac {\pi }{6}}\cdot R^{2}\\&=3\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=12\tan {\frac {\pi }{12}}\cdot r^{2}\\&=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)\cdot r^{2}\\&\approx 3{,}215390\cdot r^{2}.\end{aligned}}$

Αν $h$ το ύψος του κανονικού δωδεκαγώνου, τότε

${\rm {E}}=3\cdot \lambda \cdot h$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =12\cdot \lambda$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη:

Η κατασκευή ενός κανονικού δωδεκαγώνου.

Ιδιότητες

• Οι διαγώνιοι ${\rm {P_{3}P_{7}}}$, ${\rm {P_{5}P_{8}}}$, ${\rm {P_{3}P_{7}}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• Οι διαγώνιοι ${\rm {P_{4}P_{8}}}$, ${\rm {P_{5}P_{9}}}$, ${\rm {P_{6}P_{11}}}$, ${\rm {P_{7}P_{2}}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• Έστω ${\rm {X}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων ${\rm {P_{3}P_{6}}}$, ${\rm {P_{7}P_{10}}}$. Το τρίγωνο ${\rm {P_{3}P_{10}X}}$ είναι ισόπλευρο.

Αστεροειδές κανονικό δωδεκάγωνο

Υπάρχει ένα κανονικό αστεροειδές δωδεκάγωνο, το $\{12/5\}$, που κατασκευάζεται από τις ίδιες 12 κορυφές ενός κανονικού δωδεκαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε πέμπτη κορυφή, αντιστοίχως.

Δωδεκάγραμμα $\{12/5\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	12, ισόπλευρο
Γωνίες	12, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{12/5\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	12
Περιστροφική συμμετρία	δωδέκατης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 30^{\circ }}$ (ή $\pi /6$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δωδεκάγραμμα

Σχετικά σχήματα

Πλακόστρωση

Παρακάτω δίνονται τρία παραδείγματα περιοδικής πλακόστρωσης του επιπέδου που χρησιμοποιεί κανονικά δωδεκάγωνα:

>Ημικανονική πλακόστρωση 3.12.12

Ημικανονική πλακόστρωση 4.6.12

Ημικανονική πλακόστρωση:
3.3.4.12 & 3.3.3.3.3.3

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter, όπως τα:

A11	11-simplex	ανορθωμένο 11-simplex	διανορθωμένο 11-simplex	τριανορθωμένο 11-simplex	τετρανορθωμένο 11-simplex	πεντανορθωμένο 11-simplex
BC6	6-orthoplex	ανορθωμένο 6-orthoplex	διανορθωμένο 6-orthoplex	διανορθωμένος 6-κύβος	ανορθωμένος 6-κύβος	6-κύβος
D7	t5(141)	t4(141)	t3(141)	t2(141)	t1(141)	t0(141)
E6	t0(221)	t1(221)	t1(122)	t0(122)
F4	24-cell	Ανορθωμένο 24-cell	Snub 24-cell

Γράμματα και κέρματα

Η οπίσθια όψη ενός βρετανικού κέρματος των τριών πεννών του 1942

Τα «παχιά» κεφαλαία γράμματα E, Η και X (και το I σε γραμματοσειρά slab serif) έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους.

Αλλά και αρκετά κέρματα έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους, όπως:

• Το βρετανικό κέρμα των τριών πεννών από το 1937 ως το 1971
• Το αυστραλιανό κέρμα του μισού δολαρίου
• Τα κέρματα των 50 σεντς των Νησιών Φίτζι
• Το κέρμα των 50 σενίτι της Τόγκα (Tongan paʻanga), από το 1974
• Το κέρμα των 50 σεντς των Νησιών Σολομώντα
• Το κροατικό κέρμα των 25 κούνα
• Το Ρουμανικό κέρμα των 5000 λέι από το 2001 ως το 2005
• Το κέρμα της μιας καναδικής πέννας από το 1982 ως το 1996
• Το κέρμα των 25 đồng του Νότιου Βιετνάμ από το 1968 ως το 1975
• Το κέρμα των 50 ngwee της Ζάμπια από το 1969 ως το 1992
• Το κέρμα των 50 τάμπαλα του Μαλάουι από το 1986 ως το 1995
• Το κέρμα των 20 σεντάβος του Μεξικού από το 1992

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Το θεώρημα Kürschak
• Ορισμός και ιδιότητες του δωδεκαγώνου (με διαδραστική animation)
• Διαδραστικές εφαρμογές για τον διαμερισμό κανονικού δωδεκαγώνου στο Geogebra: πλακόστρωση Kürschák, απόδειξη για εμβαδόν, σε ρόμβους και ισόπλευρα τρίγωνα, απόδειξη για ισοδύναμα σχήματα

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Brunton, James (1974). «Mathematical Exercises in Paper Folding: Part VII». Mathematics in School 3 (5): 28-29. https://www.jstor.org/stable/30211351. 
• Langford, C. Dudley (1967). «149. On Dissecting the Dodecagon». The Mathematical Gazette 51 (376): 141-142. doi:10.2307/3614393c. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1967-05_51_376/page/140. 
• Pritchard, Chris (2011). «Leave the Arrangements to Kürschák!». Mathematics in School 40 (4): 9-11. 
• Jobbings, Andrew K. (2011). «95.15 Proofs by dissection of a dodecagon». The Mathematical Gazette 95 (532): 107-110. https://www.jstor.org/stable/23248633. 
• Alexanderson, G. L.; Seydel, Kenneth (1978). «Kürschak's Tile». The Mathematical Gazette 62 (421): 192-196. doi:10.2307/3616688. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1978-10_62_421/page/192. 

Δείτε επίσης

• Δωδεκαγωνικός αριθμός
• Δωδεκάεδρο – ένα κανονικό πολύεδρο με 12 πενταγωνικές έδρες.
• Δωδεκάγραμμα