Τραπέζιο

Τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$. Οι $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ είναι διαγώνιοι του.

Το ύψος $\upsilon$ του τραπεζίου και η διάμεσος $\mathrm {M_{1}M_{2}}$.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, τραπέζιο είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο μόνο πλευρές παράλληλες.
Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται βάσεις και η απόστασή τους ύψος του τραπεζίου.
Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου.

Ειδικές περιπτώσεις τραπεζίου είναι το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.

Ιδιότητες

• Η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Απόδειξη 1  

Απόδειξη για το μήκος της μεσοπαραλλήλου ενός τραπεζίου

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και τα μέσα ${\rm {M_{1},M_{2}}}$ των μή παραλλήλων πλευρών του $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma }$ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {M_{1}M_{2}||{AB}||{\Gamma \Delta }}}$ και $\mathrm {M_{1}M_{2}} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

Θα δημιουργήσουμε τρίγωνο στο οποίο η ${\rm {M_{1}M_{2}}}$ να συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του. Γνωρίζουμε ότι το ${\rm {M_{1}}}$ είναι μέσο της πλευράς $\mathrm {A\Delta }$, αρκεί λοιπόν το ${\rm {M_{2}}}$ να είναι το μέσο μιάς άλλης πλευράς. Πράγματι, ενώνουμε τα σημεία $\mathrm {\Delta }$, ${\rm {M_{2}}}$ και προεκτείνουμε την ${\rm {\Delta M_{2}}}$, η οποία τέμνει την προέκταση της πλευράς $\mathrm {AB}$ έστω στο σημείο ${\rm {K}}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {\Delta \Gamma M_{2}}$ και $\mathrm {KBM_{2}}$ έχουν

• $\mathrm {\Gamma M_{2}=BM_{2}}$,
• ${\widehat {\mathrm {\Delta \Gamma M_{2}} }}={\widehat {\mathrm {KBM_{2}} }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {\Delta K}$,
• ${\widehat {\mathrm {\Delta M_{2}\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {BM_{2}K} }}$ ως κατακορυφήν.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, $\mathrm {\Delta M_{2}=M_{2}K}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma =BK}$.

Επομένως στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta K}$ το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {M_{1}M_{2}}}$ συνδέει τα μέσα των πλευρών $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {\Delta K}$ άρα είναι ${\rm {M_{1}M_{2}||={\frac {\mathrm {AK} }{2}}}}$. Άρα ${\rm {M_{1}M_{2}||{AB}||{\Gamma \Delta }}}$.

Είναι επίσης

$\mathrm {AK=AB+BK=AB+\Gamma \Delta }$,

Συνεπώς

$\mathrm {M_{1}M_{2}} ={\frac {\mathrm {AK} }{2}}={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι

$\mathrm {M_{1}M_{2}} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

$\square$

Απόδειξη 2  

Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ η διαγώνιος. Από το μέσο $\mathrm {M} _{1}$ της $\mathrm {A\Delta }$ φέρνουμε ευθεία $\varepsilon$ παράλληλη προς την $\mathrm {\Gamma \Delta }$, η οποία τέμνει την ${\rm {B\Gamma }}$ στο ${\rm {M_{2}}}$.

• Στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$, η $\varepsilon$ διέρχεται από το μέσο της πλευράς $\mathrm {A\Delta }$ και είναι παράλληλη στην πλευρά $\mathrm {\Gamma \Delta }$, άρα διέρχεται από το μέσο $\mathrm {E}$ της τρίτης πλευράς $\mathrm {A\Gamma }$. Τότε είναι $\mathrm {M_{1}E} ||=\mathrm {\Gamma \Delta } /2$.
• Στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ το $\mathrm {E}$ είναι μέσο της $\mathrm {A\Gamma }$ και η $\mathrm {EM_{2}}$ είναι παράλληλη στην $\mathrm {AB}$, άρα το $\mathrm {M} _{2}$ είναι το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$. Τότε είναι $\mathrm {M_{2}E} ||=\mathrm {AB} /2$.

Συνεπώς η $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ είναι η διάμεσος του τραπεζίου και ισχύει

$\mathrm {M_{1}M_{2}} =\mathrm {M_{1}E} +\mathrm {EM_{2}} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

$\square$

Απόδειξη με διανύσματα  

Θεωρώντας το κλειστό μονοπάτι ${\rm {ABM_{2}M_{1}\Delta \Gamma M_{2}M_{1}A}}$, έχουμε ότι

${\rm {{\vec {AB}}+{\vec {BM_{2}}}+{\vec {M_{2}M_{1}}}+{\vec {M_{1}\Delta }}+{\vec {\Delta \Gamma }}+{\vec {\Gamma M_{2}}}+{\vec {M_{2}M_{1}}}+{\vec {M_{1}A}}=0}}$

Αφού ${\rm {M_{1}}}$ είναι το μέσο της ${\rm {A\Delta }}$ έχουμε ότι ${\rm {{\vec {M_{1}A}}=-{\vec {M_{1}\Delta }}}}$ και αντίστοιχα ${\rm {{\vec {BM_{2}}}=-{\vec {\Gamma M_{2}}}}}$.

Επομένως, ${\rm {{\vec {M_{1}M_{2}}}={\rm {{\frac {1}{2}}\left({\vec {AB}}+{\vec {\Gamma \Delta }}\right)}}}}$.

$\square$

• Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου είναι παράλληλο προς τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Απόδειξη 1  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ ($\mathrm {AB} >\mathrm {\Gamma \Delta }$) και τα μέσα ${\rm {N_{1},N_{2}}}$ των διαγωνίων του $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {N_{1}N_{2}||{AB}||{\Gamma \Delta }}}$ και $\mathrm {N_{1}N_{2}} ={\frac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}$.

Θα δημιουργήσουμε τρίγωνο στο οποίο η ${\rm {N_{1}N_{2}}}$ να συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του. Γνωρίζουμε ότι το ${\rm {N_{1}}}$ είναι μέσο της διαγωνίου $\mathrm {A\Gamma }$, αρκεί λοιπόν το ${\rm {N_{2}}}$ να είναι το μέσο μιάς άλλης πλευράς. Πράγματι, ενώνουμε τα σημεία $\mathrm {\Gamma }$, ${\rm {N_{2}}}$ και προεκτείνουμε την ${\rm {\Gamma N_{2}}}$, η οποία τέμνει την πλευρά $\mathrm {AB}$ έστω στο σημείο ${\rm {E}}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {\Delta \Gamma N_{2}}$ και $\mathrm {EBN_{2}}$ έχουν

• την $\mathrm {\Delta N_{2}=BN_{2}}$,
• ${\widehat {\mathrm {\Gamma \Delta N_{2}} }}={\widehat {\mathrm {EBN_{2}} }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {B\Delta }$,
• ${\widehat {\mathrm {\Delta N_{2}\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {BN_{2}E} }}$ ως κατακορυφήν.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, $\mathrm {\Gamma N_{2}=N_{2}E}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma =BE}$.

Επομένως στο τρίγωνο $\mathrm {A\Gamma E}$ το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {N_{1}N_{2}}}$ συνδέει τα μέσα των πλευρών $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {\Gamma E}$ άρα είναι ${\rm {N_{1}N_{2}||={\frac {\mathrm {AE} }{2}}}}$. Άρα ${\rm {N_{1}N_{2}||{AB}||{\Gamma \Delta }}}$.

Είναι επίσης

$\mathrm {AE=AB-BE=AB-\Gamma \Delta }$,

συνεπώς

$\mathrm {N_{1}N_{2}} ={\frac {\mathrm {AE} }{2}}={\frac {\mathrm {\mathrm {AB} -\Gamma \Delta } }{2}}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι

$\mathrm {N_{1}N_{2}} ={\frac {\mathrm {\mathrm {AB} -\Gamma \Delta } }{2}}$.

$\square$

Απόδειξη 2  

Το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {EZ}$ που ορίζουν τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και τα μέσα ${\rm {M_{1},M_{2}}}$ των μή παραλλήλων πλευρών του $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma }$. Η διάμεσος ${\rm {M_{1}M_{2}}}$ του τραπεζίου τέμνει τις διαγωνίους $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ στα σημεία $\mathrm {E,Z}$ αντίστοιχα.

Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία $\mathrm {E,Z}$ είναι μέσα των διαγωνίων $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ και ότι $\mathrm {EZ} ||={\frac {\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } -\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}$.

Η $\mathrm {EZ}$ είναι παράλληλη προς τις δύο βάσεις του τραπεζίου διότι αποτελεί τμήμα της διαμέσου ${\rm {M_{1}M_{2}}}$.

Στο τρίγωνο $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ το σημείο ${\rm {M_{2}}}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm {B\Gamma }}$ και η ${\rm {M_{2}Z}}$ είναι παράλληλη προς την πλευρά ${\rm {\Gamma \Delta }}$ άρα το σημείο $\mathrm {Z}$ είναι το μέσον της $\mathrm {B\Delta }$ και είναι ${\rm {M_{2}Z={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}}}$.

Ομοίως στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$ το σημείο ${\rm {M_{1}}}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm {A\Delta }}$ και η ${\rm {M_{1}E}}$ είναι παράλληλη προς την πλευρά ${\rm {\Gamma \Delta }}$ άρα το σημείο $\mathrm {E}$ είναι το μέσον της $\mathrm {A\Gamma }$ και είναι ${\rm {M_{1}E={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}}}$.

Επομένως

$\mathrm {EZ} =\mathrm {M_{1}M_{2}} -\mathrm {M_{1}E} -\mathrm {M_{2}Z} ={\frac {\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } +\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}-{\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}-{\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}={\frac {\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } -\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι

$\mathrm {EZ} ||={\frac {\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } -\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}$

$\square$

Απόδειξη με διανύσματα  

Θεωρώντας το κλειστό μονοπάτι ${\rm {ABN_{2}N_{1}\Gamma \Delta N_{2}N_{1}A}}$, έχουμε ότι

${\rm {{\vec {AB}}+{\vec {BN_{2}}}+{\vec {N_{2}N_{1}}}+{\vec {N_{1}\Gamma }}+{\vec {\Gamma \Delta }}+{\vec {\Delta N_{2}}}+{\vec {N_{2}N_{1}}}+{\vec {N_{1}A}}=0}}$

Αφού ${\rm {N_{1}}}$ είναι το μέσο της ${\rm {A\Gamma }}$ έχουμε ότι ${\rm {{\vec {N_{1}A}}=-{\vec {N_{1}\Gamma }}}}$ και αντίστοιχα ${\rm {{\vec {BN_{2}}}=-{\vec {\Delta N_{2}}}}}$.

Επομένως, ${\rm {{\vec {N_{1}N_{2}}}={\rm {{\frac {1}{2}}\left({\vec {AB}}-{\vec {\Gamma \Delta }}\right)}}}}$.

$\square$

Εμβαδόν

• Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του.

Απόδειξη  

Η διαγώνιος $\mathrm {A\Gamma }$ χωρίζει το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ σε δύο τρίγωνα με ίσα ύψη.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ η διαγώνιός του.

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων $\mathrm {AB\Gamma }$ και $\mathrm {\Gamma \Delta A}$.

Φέρνουμε τα ύψη $\mathrm {AA'=\Gamma \Gamma '=\upsilon }$ του τραπεζίου τα ποία είναι και ύψη των των δύο τριγώνων $\mathrm {AB\Gamma }$ και $\mathrm {\Gamma \Delta A}$.

Τότε έχουμε:

${\begin{aligned}\mathrm {E} &=(\mathrm {AB\Gamma } )+(\mathrm {\Gamma \Delta A} )\\&={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma \Gamma '} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AA'} \\&={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {AA'} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AA'} \\&={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AA'} .\end{aligned}}$

Αποδείξαμε λοιπόν ότι το εμβαδόν τραπεζίου είναι $\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AA'}$.

Αν ονομάσουμε με το κεφαλαίο $B$ την μεγάλη βάση και το μικρό $\beta$ την μικρή βάση και $\mathrm {AA'} =\upsilon$ τότε,

$\mathrm {E} ={\frac {(B+\beta )\cdot \upsilon }{2}}$.

$\square$

• Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μίας μη-παράλληλης πλευράς του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτήν.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και το μέσο ${\rm {M_{1}}}$ της μή παράλληλης πλευράς του $\mathrm {A\Delta }$. Φέρνουμε την ${\rm {M_{1}E}}$ κάθετη προς την $\mathrm {B\Gamma }$ και στη συνέχεια φέρνουμε την παράλληλη από το ${\rm {M_{1}}}$ προς την $\mathrm {B\Gamma }$ η οποία τέμνει την $\mathrm {AB}$ στο σημείο $\mathrm {K}$ και την προέκταση της $\mathrm {\Delta \Gamma }$ στο σημείο $\mathrm {Z}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {M_{1}\Delta Z}$ και $\mathrm {M_{1}AK}$ έχουν

• την $\mathrm {\Delta M_{1}=M_{1}A}$,
• ${\widehat {\mathrm {M_{1}\Delta Z} }}={\widehat {\mathrm {M_{1}AK} }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {A\Delta }$,
• ${\widehat {\mathrm {\Delta M_{1}Z} }}={\widehat {\mathrm {AM_{1}K} }}$ ως κατακορυφήν.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και ισεμβαδικά.

Επομένως, ${\rm {E_{AB\Gamma \Delta }=E_{KB\Gamma Z}=B\Gamma \cdot M_{1}E}}$

$\square$

Τύποι για το εμβαδόν

Βάσεις και ύψος τραπεζίου.

Σε κάθε τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και ύψος το $\mathrm {AA'}$ το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο:

$\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AA'} .$

Επίσης γράφεται ως

$\mathrm {E} ={\frac {(B+\beta )\cdot \upsilon }{2}}$,

όπου το κεφαλαίο $B$ σηματοδοτεί την μεγάλη βάση, το μικρό $\beta$ την μικρή βάση και το $\upsilon$ το ύψος του τραπεζίου.

Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:

${\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot (\alpha +\gamma )\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.$

Μετρικές σχέσεις

• Το ύψος ενός τραπεζίου με $\alpha <\gamma$ δίνεται από τους τύπους

${\begin{aligned}\upsilon &={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {(-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (-\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma -\delta )}}\\&={\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ ($\mathrm {AB} >\mathrm {\Gamma \Delta }$) και την παράλληλη από το $\mathrm {\Gamma }$ προς την $\mathrm {A\Delta }$ η οποία τέμνει την $\mathrm {AB}$ στο σημείο $\mathrm {E}$. Για την απλούστευση της απόδειξης ονομάζουμε τις πλευρές με μικρά γράμματα ως εξής: $\mathrm {AB=\gamma }$, $\mathrm {B\Gamma =\beta }$, $\mathrm {\Gamma \Delta =\alpha }$ και $\mathrm {\Delta A=\delta }$.

Το τετράπλευρο $\mathrm {AE\Gamma \Delta }$ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς είναι $\mathrm {\Gamma E} =\delta$ και $\mathrm {AE} =\alpha$ άρα $\mathrm {EB} =\gamma -\alpha$. Στο τρίγωνο $\mathrm {EB\Gamma }$ εκφράζουμε το εμβαδόν του με τους εξής δύο τύπους:

$\mathrm {E={\tfrac {1}{2}}\cdot (\gamma -\alpha )\cdot \upsilon }$ και

από τον τύπο του Ήρωνα

$\mathrm {E={\sqrt {\tau \cdot (\tau -(\gamma -\alpha ))\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}}}$, όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\beta +\delta +(\gamma -\alpha ))$, η ημιπερίμετρος του τριγώνου $\mathrm {EB\Gamma } .$

Επιλύουμε το σύστημα ως προς $\upsilon$ και έχουμε,

$\upsilon ={\frac {2}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -(\gamma -\alpha ))\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}}.$

Αναδιατάσσοντας την παραπάνω παράσταση λαμβάνουμε τους ζητούμενους τύπους.

$\square$

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός τραπεζίου δίνονται από τους τύπους

$\mathrm {B\Delta } ={\sqrt {\tfrac {\gamma \cdot \alpha ^{2}-\gamma \cdot \delta ^{2}-\alpha \cdot \gamma ^{2}+\alpha \cdot \beta ^{2}}{\alpha -\gamma }}}$ και $\quad \mathrm {A\Gamma } ={\sqrt {\tfrac {\gamma \cdot \beta ^{2}-\gamma \cdot \alpha ^{2}-\alpha \cdot \delta ^{2}+\alpha \cdot \gamma ^{2}}{\alpha -\gamma }}}.$

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ ($\mathrm {AB} >\mathrm {\Gamma \Delta }$) και την διαγώνιό του $\mathrm {B\Delta }$. Ονομάζουμε $\varphi$ τις ίσες ως εντός και εναλλάξ γωνίες ${\widehat {\mathrm {AB\Delta } }}={\widehat {\mathrm {B\Delta \Gamma } }}$. Από τον νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ έχουμε

$\left.{\begin{aligned}\delta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-2\alpha \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \varphi \\\beta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma ^{2}-2\gamma \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow \left.{\begin{aligned}2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \varphi &={\tfrac {1}{\alpha }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\delta ^{2})\\2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \varphi &={\tfrac {1}{\gamma }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})\end{aligned}}\right\}.$

Τα πρώτα μέλη των δύο ισοτήτων είναι ίσα άρα και τα δεύτερα είναι ίσα. Έτσι έχουμε την ισότητα,

${\tfrac {1}{\gamma }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})={\tfrac {1}{\alpha }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\delta ^{2})$

$\alpha \cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2})=\gamma \cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\delta ^{2})$

$\alpha \cdot \mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha \cdot \gamma ^{2}-\alpha \cdot \beta ^{2}=\gamma \cdot \mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma \cdot \alpha ^{2}-\gamma \cdot \delta ^{2}$

$(\alpha -\gamma \cdot )\mathrm {B\Delta } ^{2}=\gamma \cdot \alpha ^{2}-\gamma \cdot \delta ^{2}-\alpha \cdot \gamma ^{2}+\alpha \cdot \beta ^{2}$

$\mathrm {B\Delta } ^{2}={\tfrac {\gamma \cdot \alpha ^{2}-\gamma \cdot \delta ^{2}-\alpha \cdot \gamma ^{2}+\alpha \cdot \beta ^{2}}{\alpha -\gamma }}$

$\mathrm {B\Delta } ={\sqrt {\tfrac {\gamma \cdot \alpha ^{2}-\gamma \cdot \delta ^{2}-\alpha \cdot \gamma ^{2}+\alpha \cdot \beta ^{2}}{\alpha -\gamma }}}$.

Ομοίως, εργαζόμαστε και για την ${\rm {A\Gamma }}$.

Ανισοτικές σχέσεις

Σε κάθε τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ ($\mathrm {AB} >\mathrm {\Gamma \Delta }$), ισχύουν τα εξής:

• $|\mathrm {B\Delta } -\mathrm {A\Gamma } |<\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } <\mathrm {B\Delta } +\mathrm {A\Gamma } .$

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ ($\mathrm {AB} >\mathrm {\Gamma \Delta }$) και την παράλληλη από το $\mathrm {\Gamma }$ προς την $\mathrm {B\Delta }$ η οποία τέμνει την προέκταση της $\mathrm {AB}$ στο σημείο $\mathrm {E}$. Το τετράπλευρο $\mathrm {BE\Gamma \Delta }$ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο, συνεπώς είναι $\mathrm {E\Gamma =B\Delta }$ και $\mathrm {BE=\Gamma \Delta }$ δηλαδή είναι $\mathrm {AE=AB+\Gamma \Delta }$.

Στο τρίγωνο $\mathrm {A\Gamma E}$ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε,

$|\mathrm {E\Gamma } -\mathrm {A\Gamma } |<\mathrm {AE} <\mathrm {E\Gamma } +\mathrm {A\Gamma }$

οπότε προκύπτει

$|\mathrm {B\Delta } -\mathrm {A\Gamma } |<\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } <\mathrm {B\Delta } +\mathrm {A\Gamma }$.

$\square$

• $|\mathrm {A\Delta } -\mathrm {B\Gamma } |<\mathrm {AB-\Gamma \Delta } <\mathrm {A\Delta } +\mathrm {B\Gamma } .$

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ ($\mathrm {AB} >\mathrm {\Gamma \Delta }$) και την παράλληλη από το $\mathrm {\Gamma }$ προς την $\mathrm {A\Delta }$ η οποία τέμνει την $\mathrm {AB}$ στο σημείο $\mathrm {Z}$. Το τετράπλευρο $\mathrm {AZ\Gamma \Delta }$ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο, συνεπώς είναι $\mathrm {Z\Gamma =A\Delta }$ και $\mathrm {AZ=\Delta \Gamma }$ δηλαδή είναι $\mathrm {BZ=AB-\Gamma \Delta }$.

Στο τρίγωνο $\mathrm {B\Gamma Z}$ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε,

$|\mathrm {Z\Gamma } -\mathrm {B\Gamma } |<\mathrm {ZB} <\mathrm {Z\Gamma } +\mathrm {B\Gamma }$

οπότε προκύπτει

$|\mathrm {A\Delta } -\mathrm {B\Gamma } |<\mathrm {AB-\Gamma \Delta } <\mathrm {A\Delta } +\mathrm {B\Gamma }$.

$\square$

Ειδικές περιπτώσεις

Ισοσκελές τραπέζιο με ${\rm {A\Delta =B\Gamma }}$.

Ισοσκελές τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες ${\rm {A\Delta =\Delta \Gamma =B\Gamma }}$.

Ισοσκελές τραπέζιο

Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. Το ισοσκελές τραπέζιο είναι το μόνο τραπέζιο εγγράψιμο σε κύκλο.

Ειδική περίπτωσή του είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

Ορθογώνιο τραπέζιο

Ορθογώνιο τραπέζιο με ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {B} }}=90^{\circ }$.

Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο τραπέζιο.

Περιγράψιμο τραπέζιο

Ένα τραπέζιο λέγεται περιγράψιμο σε κύκλο, αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται σε αυτόν. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγράψιμα.

Εφαρμογές

Τραπεζοειδής αποσύνθεση

Στην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση χωρίζει έναν χώρο με $n$ αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα $xx'$. Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

Τραπεζοειδής αποσύνθεση για δύο αντικείμενα $\mathrm {A} _{1}$ και $\mathrm {A} _{2}$ μέσα σε ένα πολύγωνο.

Ο γράφος που προκύπτει από την τραπεζοειδή αποσύνθεση.

Δείτε ακόμη

• Ισοσκελές τραπέζιο
• Ορθογώνιο τραπέζιο
• Περιγράψιμο τραπέζιο
• Τετράπλευρο
• Παραλληλόγραμμο

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Josefsson, Martin (2013). «Characterizations of trapezoids». Forum Geometricorum (13): 23-35. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-01-27. https://web.archive.org/web/20230127132934/https://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201305.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-03-02. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Τραπέζιο στο Wikimedia Commons
• Λεξιλογικός ορισμός του τραπέζιο στο Βικιλεξικό