Μετάβαση στο περιεχόμενο

Τραπέζιο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Τραπέζιο με βάσεις τις και . Οι και είναι διαγώνιοι του.
Το ύψος του τραπεζίου και η διάμεσος .

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, τραπέζιο είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο μόνο πλευρές παράλληλες.
Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται βάσεις και η απόστασή τους ύψος του τραπεζίου.
Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου.[1]:119-123

Σημείωση: Η διάμεσος τραπεζίου ταυτίζεται με την ευθεία Νεύτωνα-Γκάους του τραπεζίου.

Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.

  • Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.[2][3]:103-107[4]:122
  • Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου είναι παράλληλο προς τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.
  • Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του.[2]:164-169[3]:240-241
  • Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μίας μη-παράλληλης πλευράς του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτήν.

Τύποι για το εμβαδόν

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο τραπέζιο με βάσεις και ύψος το το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο:

Επίσης γράφεται ως

,

όπου το κεφαλαίο σηματοδοτεί την μεγάλη βάση, το μικρό την μικρή βάση και το το ύψος του τραπεζίου.

Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:

  • Το ύψος ενός τραπεζίου με δίνεται από τους τύπους
  • Οι διαγώνιες δίνονται από τους τύπους
και

Ανισοτικές σχέσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε ένα τραπέζιο με παράλληλες τις και , ισχύει ότι:[5]:78[2]:89-90[3]:103-107

και

Ειδικές περιπτώσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ=ΒΓ.

Ισοσκελές τραπέζιο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Ειδική περίπτωση περίπτωση είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

Ορθογώνιο τραπέζιο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ορθογώνιο τραπέζιο με .

Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο.

Ένα παραλληλόγραμμο .
Κύριο λήμμα: Παραλληλόγραμμο

Ένα τραπέζιο που έχει όλες τις πλευρές του ανά δύο παράλληλες είναι ένα παραλληλόγραμμο. Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι είναι και ίσες.

Περιγεγραμμένο τραπέζιο

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγεγραμμένα.

Τραπεζοειδής αποσύνθεση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση[6][7] χωρίζει έναν χώρο με αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα . Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

Τραπεζοειδής αποσύνθεση για δύο αντικείμενα και μέσα σε ένα πολύγωνο.
Ο γράφος που προκύπτει από την τραπεζοειδή αποσύνθεση.
  1. Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1976). Γεωμετρία Πολύγωνα Περιφέρειαι. Θεσσαλονίκη.
  2. 1 2 3 Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
  3. 1 2 3 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
  4. Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1976). Γεωμετρία Πολύγωνα Περιφέρειαι. Θεσσαλονίκη.
  5. Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'. Αθήνα.
  6. Seidel, Raimund (1 Ιουλίου 1991). «A simple and fast incremental randomized algorithm for computing trapezoidal decompositions and for triangulating polygons». Computational Geometry 1 (1): 51–64. doi:https://doi.org/10.1016/0925-7721(91)90012-4.
  7. Choset, Howie. «Robotic motion planning: Cell decompositions» (PDF). CMU. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2023.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Trapezoids στο Wikimedia Commons
  • Λεξιλογικός ορισμός του τραπέζιο στο Βικιλεξικό