Τραπέζιο

Τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$. Οι $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ είναι διαγώνιοι του.

Το ύψος $\upsilon$ του τραπεζίου και η διάμεσος $\mathrm {M_{1}M_{2}}$.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, τραπέζιο είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο μόνο πλευρές παράλληλες.
Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται βάσεις και η απόστασή τους ύψος του τραπεζίου.
Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου.

Σημείωση: Η διάμεσος τραπεζίου ταυτίζεται με την ευθεία Νεύτωνα-Γκάους του τραπεζίου.

Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.

Ιδιότητες

• Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Απόδειξη 1  

Απόδειξη για το μήκος της μεσοπαραλλήλου ενός τραπεζίου

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και τα μέσα ${\rm {M_{1},M_{2}}}$ των μή παραλλήλων πλευρών του $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma }$ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {M_{1}M_{2}||{AB}||{\Gamma \Delta }}}$ και $\mathrm {M_{1}M_{2}} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

Θα δημιουργήσουμε τρίγωνο στο οποίο η ${\rm {M_{1}M_{2}}}$ να συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του. Γνωρίζουμε ότι το ${\rm {M_{1}}}$ είναι μέσο της πλευράς $\mathrm {A\Delta }$, αρκεί λοιπόν το ${\rm {M_{2}}}$ να είναι το μέσο μιάς άλλης πλευράς. Πράγματι, ενώνουμε τα σημεία $\mathrm {\Delta }$, ${\rm {M_{2}}}$ και προεκτείνουμε την ${\rm {\Delta M_{2}}}$, η οποία τέμνει την προέκταση της πλευράς $\mathrm {AB}$ έστω στο σημείο ${\rm {K}}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {\Delta \Gamma M_{2}}$ και $\mathrm {KBM_{2}}$ έχουν

• την $\mathrm {\Gamma M_{2}=BM_{2}}$,
• ${\widehat {\mathrm {\Delta \Gamma M_{2}} }}={\widehat {\mathrm {KBM_{2}} }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {\Delta K}$,
• ${\widehat {\mathrm {\Delta M_{2}\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {BM_{2}K} }}$ ως κατακορυφήν.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, $\mathrm {\Delta M_{2}=M_{2}K}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma =BK}$.

Επομένως στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta K}$ το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {M_{1}M_{2}}}$ συνδέει τα μέσα των πλευρών $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {\Delta K}$ άρα είναι ${\rm {M_{1}M_{2}||={\frac {\mathrm {AK} }{2}}}}$. Άρα ${\rm {M_{1}M_{2}||{AB}||{\Gamma \Delta }}}$.

Είναι επίσης

$\mathrm {AK=AB+BK=AB+\Gamma \Delta }$,

Συνεπώς

$\mathrm {M_{1}M_{2}} ={\frac {\mathrm {AK} }{2}}={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι

$\mathrm {M_{1}M_{2}} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

$\square$

Απόδειξη 2  

Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ η διαγώνιος. Από το μέσο $\mathrm {M} _{1}$ της $\mathrm {A\Delta }$ φέρνουμε ευθεία $\varepsilon$ παράλληλη προς την $\mathrm {\Gamma \Delta }$, η οποία τέμνει την ${\rm {B\Gamma }}$ στο ${\rm {M_{2}}}$.

• Στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$, η $\varepsilon$ διέρχεται από το μέσο της πλευράς $\mathrm {A\Delta }$ και είναι παράλληλη στην πλευρά $\mathrm {\Gamma \Delta }$, άρα διέρχεται από το μέσο $\mathrm {E}$ της τρίτης πλευράς $\mathrm {A\Gamma }$. Τότε είναι $\mathrm {M_{1}E} ||=\mathrm {\Gamma \Delta } /2$.
• Στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ το $\mathrm {E}$ είναι μέσο της $\mathrm {A\Gamma }$ και η $\mathrm {EM_{2}}$ είναι παράλληλη στην $\mathrm {AB}$, άρα το $\mathrm {M} _{2}$ είναι το μέσο της $\mathrm {B\Gamma }$. Τότε είναι $\mathrm {M_{2}E} ||=\mathrm {AB} /2$.

Συνεπώς η $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ είναι η διάμεσος του τραπεζίου και ισχύει

$\mathrm {M_{1}M_{2}} =\mathrm {M_{1}E} +\mathrm {EM_{2}} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

$\square$

Απόδειξη με διανύσματα  

Θεωρώντας το κλειστό μονοπάτι ${\rm {ABM_{2}M_{1}\Delta \Gamma M_{2}M_{1}A}}$, έχουμε ότι

${\rm {{\vec {AB}}+{\vec {BM_{2}}}+{\vec {M_{2}M_{1}}}+{\vec {M_{1}\Delta }}+{\vec {\Delta \Gamma }}+{\vec {\Gamma M_{2}}}+{\vec {M_{2}M_{1}}}+{\vec {M_{1}A}}=0}}$

Αφού ${\rm {M_{1}}}$ είναι το μέσο της ${\rm {A\Delta }}$ έχουμε ότι ${\rm {{\vec {M_{1}A}}=-{\vec {M_{1}\Delta }}}}$ και αντίστοιχα ${\rm {{\vec {BM_{2}}}=-{\vec {\Gamma M_{2}}}}}$. Επομένως,

${\rm {{\vec {M_{1}M_{2}}}={\rm {{\frac {1}{2}}\left({\vec {AB}}+{\vec {\Gamma \Delta }}\right)}}}}$.

• Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου είναι παράλληλο προς τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Απόδειξη 1  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ ($\mathrm {AB} >\mathrm {\Gamma \Delta }$) και τα μέσα ${\rm {N_{1},N_{2}}}$ των διαγωνίων του $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {N_{1}N_{2}||{AB}||{\Gamma \Delta }}}$ και $\mathrm {N_{1}N_{2}} ={\frac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}$.

Θα δημιουργήσουμε τρίγωνο στο οποίο η ${\rm {N_{1}N_{2}}}$ να συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του. Γνωρίζουμε ότι το ${\rm {N_{1}}}$ είναι μέσο της διαγωνίου $\mathrm {A\Gamma }$, αρκεί λοιπόν το ${\rm {N_{2}}}$ να είναι το μέσο μιάς άλλης πλευράς. Πράγματι, ενώνουμε τα σημεία $\mathrm {\Gamma }$, ${\rm {N_{2}}}$ και προεκτείνουμε την ${\rm {\Gamma N_{2}}}$, η οποία τέμνει την πλευρά $\mathrm {AB}$ έστω στο σημείο ${\rm {E}}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {\Delta \Gamma N_{2}}$ και $\mathrm {EBN_{2}}$ έχουν

• την $\mathrm {\Delta N_{2}=BN_{2}}$,
• ${\widehat {\mathrm {\Gamma \Delta N_{2}} }}={\widehat {\mathrm {EBN_{2}} }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {B\Delta }$,
• ${\widehat {\mathrm {\Delta N_{2}\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {BN_{2}E} }}$ ως κατακορυφήν.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, $\mathrm {\Gamma N_{2}=N_{2}E}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma =BE}$.

Επομένως στο τρίγωνο $\mathrm {A\Gamma E}$ το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {N_{1}N_{2}}}$ συνδέει τα μέσα των πλευρών $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {\Gamma E}$ άρα είναι ${\rm {N_{1}N_{2}||={\frac {\mathrm {AE} }{2}}}}$. Άρα ${\rm {N_{1}N_{2}||{AB}||{\Gamma \Delta }}}$.

Είναι επίσης

$\mathrm {AE=AB-BE=AB-\Gamma \Delta }$,

συνεπώς

$\mathrm {N_{1}N_{2}} ={\frac {\mathrm {AE} }{2}}={\frac {\mathrm {\mathrm {AB} -\Gamma \Delta } }{2}}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι

$\mathrm {N_{1}N_{2}} ={\frac {\mathrm {\mathrm {AB} -\Gamma \Delta } }{2}}$.

$\square$

Απόδειξη 2  

Το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm {EZ}$ που ορίζουν τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και τα μέσα ${\rm {M_{1},M_{2}}}$ των μή παραλλήλων πλευρών του $\mathrm {A\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma }$. Η διάμεσος ${\rm {M_{1}M_{2}}}$ του τραπεζίου τέμνει τις διαγωνίους $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ στα σημεία $\mathrm {E,Z}$ αντίστοιχα.

Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία $\mathrm {E,Z}$ είναι μέσα των διαγωνίων $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ και ότι $\mathrm {EZ} ||={\frac {\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } -\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}$.

Η $\mathrm {EZ}$ είναι παράλληλη προς τις δύο βάσεις του τραπεζίου διότι αποτελεί τμήμα της διαμέσου ${\rm {M_{1}M_{2}}}$.

Στο τρίγωνο $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ το σημείο ${\rm {M_{2}}}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm {B\Gamma }}$ και η ${\rm {M_{2}Z}}$ είναι παράλληλη προς την πλευρά ${\rm {\Gamma \Delta }}$ άρα το σημείο $\mathrm {Z}$ είναι το μέσον της $\mathrm {B\Delta }$ και είναι ${\rm {M_{2}Z={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}}}$.

Ομοίως στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$ το σημείο ${\rm {M_{1}}}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm {A\Delta }}$ και η ${\rm {M_{1}E}}$ είναι παράλληλη προς την πλευρά ${\rm {\Gamma \Delta }}$ άρα το σημείο $\mathrm {E}$ είναι το μέσον της $\mathrm {A\Gamma }$ και είναι ${\rm {M_{1}E={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}}}$.

Επομένως

$\mathrm {EZ} =\mathrm {M_{1}M_{2}} -\mathrm {M_{1}E} -\mathrm {M_{2}Z} ={\frac {\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } +\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}-{\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}-{\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}={\frac {\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } -\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι

$\mathrm {EZ} ||={\frac {\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } -\mathrm {\Gamma \Delta } }{2}}$

$\square$

Εμβαδόν

• Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του.

Απόδειξη  

Η διαγώνιος $\mathrm {A\Gamma }$ χωρίζει το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ σε δύο τρίγωνα με ίσα ύψη.

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ η διαγώνιός του.

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων $\mathrm {AB\Gamma }$ και $\mathrm {\Gamma \Delta A}$.

Φέρνουμε τα ύψη $\mathrm {AA'=\Gamma \Gamma '=\upsilon }$ του τραπεζίου τα ποία είναι και ύψη των των δύο τριγώνων $\mathrm {AB\Gamma }$ και $\mathrm {\Gamma \Delta A}$.

Τότε έχουμε:

${\begin{aligned}\mathrm {E} &=(\mathrm {AB\Gamma } )+(\mathrm {\Gamma \Delta A} )\\&={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma \Gamma '} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AA'} \\&={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {AA'} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AA'} \\&={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AA'} .\end{aligned}}$

Αποδείξαμε λοιπόν ότι το εμβαδόν τραπεζίου είναι $\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AA'}$.

Αν ονομάσουμε με το κεφαλαίο $B$ την μεγάλη βάση και το μικρό $\beta$ την μικρή βάση και $\mathrm {AA'} =\upsilon$ τότε,

$\mathrm {E} ={\frac {(B+\beta )\cdot \upsilon }{2}}$.

$\square$

• Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μίας μη-παράλληλης πλευράς του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτήν.

Απόδειξη  

Θεωρούμε το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και το μέσο ${\rm {M_{1}}}$ της μή παράλληλης πλευράς του $\mathrm {A\Delta }$. Φέρνουμε την ${\rm {M_{1}E}}$ κάθετη προς την $\mathrm {B\Gamma }$ και στη συνέχεια φέρνουμε την παράλληλη από το ${\rm {M_{1}}}$ προς την $\mathrm {B\Gamma }$ η οποία τέμνει την $\mathrm {AB}$ στο σημείο $\mathrm {K}$ και την προέκταση της $\mathrm {\Delta \Gamma }$ στο σημείο $\mathrm {Z}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {M_{1}\Delta Z}$ και $\mathrm {M_{1}AK}$ έχουν

• την $\mathrm {\Delta M_{1}=M_{1}A}$,
• ${\widehat {\mathrm {M_{1}\Delta Z} }}={\widehat {\mathrm {M_{1}AK} }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {A\Delta }$,
• ${\widehat {\mathrm {\Delta M_{1}Z} }}={\widehat {\mathrm {AM_{1}K} }}$ ως κατακορυφήν.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και ισεμβαδικά.

Επομένως ${\rm {E_{AB\Gamma \Delta }=E_{KB\Gamma Z}=B\Gamma \cdot M_{1}E}}$

Τύποι για το εμβαδόν

Στο τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και ύψος το $\mathrm {AA'}$ το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο:

$\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AA'} .$

Επίσης γράφεται ως

$\mathrm {E} ={\frac {(B+\beta )\cdot \upsilon }{2}}$,

όπου το κεφαλαίο $B$ σηματοδοτεί την μεγάλη βάση, το μικρό $\beta$ την μικρή βάση και το $\upsilon$ το ύψος του τραπεζίου.

Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:

$E={\frac {1}{2}}\cdot (\alpha +\gamma )\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.$

Μετρικές σχέσεις

• Το ύψος ενός τραπεζίου με $\alpha <\gamma$ δίνεται από τους τύπους

${\begin{aligned}\upsilon &={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {(-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (-\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma -\delta )}}\\&={\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Θεωρούμε την παράλληλη $\mathrm {BE}$ από το $\mathrm {B}$ στο $\mathrm {AB}$. Επομένως, $\mathrm {BE} =\delta$. Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο $\mathrm {EB\Gamma }$ έχουμε ότι

$u={\frac {2}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -(\gamma -\alpha ))\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}},$

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\beta +\delta +(\gamma -\alpha ))$, η ημιπερίμετρος του τριγώνου $\mathrm {EB\Gamma }$. Αναδιατάσσοντας την παραπάνω παράσταση λαμβάνουμε τους ζητούμενους τύπους.

• Οι διαγώνιες δίνονται από τους τύπους

$\mathrm {B\Delta } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \beta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \delta ^{2}}}\quad$ και $\quad \mathrm {A\Gamma } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \delta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \beta ^{2}}}.$

Απόδειξη  

Από τον νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$:

$\left.{\begin{aligned}\delta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-2\alpha \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \varphi \\\beta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma ^{2}-2\gamma \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow \left.{\begin{aligned}2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \varphi &={\tfrac {1}{\alpha }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\delta ^{2})\\2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \varphi &={\tfrac {1}{\gamma }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2})\end{aligned}}\right\}.$

Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις και αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση.

Ανισοτικές σχέσεις

Σε ένα τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με παράλληλες τις $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$, ισχύει ότι:

$|\mathrm {B\Delta } -\mathrm {A\Gamma } |<\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } <\mathrm {B\Delta } +\mathrm {A\Gamma } .$

και

$|\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } |<\mathrm {B\Gamma } +\mathrm {A\Delta } .$

Ειδικές περιπτώσεις

Ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ=ΒΓ.

Ισοσκελές τραπέζιο

Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Ειδική περίπτωση περίπτωση είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

Ορθογώνιο τραπέζιο

Ορθογώνιο τραπέζιο με ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{\circ }$.

Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο.

Παραλληλόγραμμο

Ένα παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$.

Ένα τραπέζιο που έχει όλες τις πλευρές του ανά δύο παράλληλες είναι ένα παραλληλόγραμμο. Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι είναι και ίσες.

Περιγεγραμμένο τραπέζιο

Ένα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγεγραμμένα.

Εφαρμογές

Τραπεζοειδής αποσύνθεση

Στην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση χωρίζει έναν χώρο με $n$ αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα $xx'$. Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

Τραπεζοειδής αποσύνθεση για δύο αντικείμενα $\mathrm {A} _{1}$ και $\mathrm {A} _{2}$ μέσα σε ένα πολύγωνο.

Ο γράφος που προκύπτει από την τραπεζοειδή αποσύνθεση.

Δείτε ακόμη

• Ισοσκελές τραπέζιο
• Ορθογώνιο τραπέζιο
• Περιγεγραμμένο τραπέζιο
• Τετράπλευρο
• Παραλληλόγραμμο

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Trapezoids στο Wikimedia Commons
• Λεξιλογικός ορισμός του τραπέζιο στο Βικιλεξικό