Δεκαεπτάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκαεπτάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δεκαεπτά κορυφές και δεκαεπτά πλευρές.

Ένα δεκαεπτάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό δεκαεπτάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $2700^{\circ }$ (ή $15\pi$ ακτίνια).
• Κάθε δεκαεπτάγωνο έχει 119 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό δεκαεπτάγωνο

Κυρτό κανονικό δεκαεπτάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	17, ισόπλευρο
Γωνίες	17, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$119$
Σύμβολο Schläfli	$\{17\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	17
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης εβδόμης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 158{\frac {14}{17}}^{\circ }}$ (ή $15/17\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {17}{4}}\cot {\frac {\pi }{17}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=17\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{17}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{17}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαεπτάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό δεκαεπτάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 158{\frac {14}{17}}^{\circ }}$ (ή $15\pi /17$ ακτίνια).
• Έχει δεκαεπτά άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία δέκατης έβδομης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του δεκαεπτάγωνο είναι $\{17\}$.

Οι άξονες συμμετρίας ενός κανονικού δεκαεπταγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του δεκαεπταγώνου.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαεπταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{17}}\cdot \lambda \approx 2{,}721096\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκατριαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{17}}\cdot \lambda \approx 2{,}674764\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα επτά είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκαεπτάγωνο.

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαεπταγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{k}&=2\sin {\frac {k\pi }{17}}\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=d_{7}$.

• Το ύψος του είναι

$h=R+r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαεπταγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {17}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού δεκαεπταγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {17}{4}}\cot {\frac {\pi }{17}}\cdot \lambda ^{2}\approx 22{,}735492\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόn του δεκαεπταγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {17}{2}}\sin {\frac {2\pi }{17}}\cdot R^{2}\approx 3{,}070554\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=17\tan {\frac {\pi }{17}}\cdot r^{2}\approx 3.177851\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =17\cdot \lambda$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό δεκαεπτάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά η κατασκευή αυτή είναι πολύπλοκη και αποδείχθηκε ότι είναι δυνατή από τον Γερμανό μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1796 (όταν ο Γκάους ήταν 19 ετών). Αυτή η απόδειξη αντιπροσώπευε την πρώτη πρόοδο στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων μετά από 2000 και πλέον χρόνια.

Η απόδειξη του Γκάους βασίζεται πρώτα στο ότι η κατασκευασιμότητα με κανόνα και διαβήτη είναι ισοδύναμη με το αν οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις της κοινής γωνίας είναι δυνατό να εκφρασθούν με τις 4 πράξεις της αριθμητικής και εξαγωγές τετραγωνικών ριζών, και δεύτερον στην απόδειξη του ίδιου ότι αυτό μπορεί να γίνει αν οι πρώτοι (πλην του 2) παράγοντες του αριθμού των γωνιών (εδώ του 17) είναι, εκτός από πρώτοι, και αριθμοί Φερμά, δηλαδή της μορφής $\scriptstyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$. Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαεπταγώνου επομένως περιλαμβάνει την έκφραση του συνημιτόνου του $2\pi /17$ με συνδυασμό τετραγωνικών ριζών, η οποία αντιστοιχεί σε μία εξίσωση 17ου βαθμού. Αλλά το 17 είναι ταυτοχρόνως πρώτος αριθμός και αριθμός Φερμά (16+1). Το βιβλίο του Γκάους Disquisitiones Arithmeticae δίνει τον εξής τύπο για το συνημίτονο (με τον σύγχρονο συμβολισμό):

${\begin{aligned}16\,\operatorname {cos} {2\pi \over 17}=&-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+\\&2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}.\end{aligned}}$

Οι κατασκευές του κανονικού (= ισόπλευρου) τριγώνου, του τετραγώνου, του κανονικού πενταγώνου και των κανονικών πολυγώνων με $2^{h}$ φορές τον αριθμό των πλευρών των παραπάνω είχαν δοθεί από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία, αλλά κατασκευές βασισμένες στους πρώτους αριθμούς Φερμά εκτός των 3 και 5 ήταν άγνωστες στους αρχαίους (έτσι κι αλλιώς, οι μοναδικοί γνωστοί πρώτοι αριθμοί Φερμά είναι οι 3, 5, 17, 257 και 65537).

Ο Γκάους απέδειξε ότι είναι δυνατόν να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά δεν έδωσε κάποια συγκεκριμένα βήματα κατασκευής. Η πρώτη συγκεκριμένη περιγραφή της κατασκευής κανονικού δεκαεπταγώνου δόθηκε από τον Γιοχάνες Έρχινγκερ (Johannes Erchinger) το 1825 και χρειάζεται 64 βήματα.

Επίσης το 1893 o H.W. Richmond έδωσε μια κατασκευή η οποία είναι βελτιωμένη σε σχέση με αυτή του Erchinger, καθώς χρησιμοποιεί λιγότερα βήματα.

Μία άλλη μέθοδος κατασκευής, που δείχνεται παρακάτω, χρησιμοποιεί κύκλους του Καρλάυλ. Με βάση την κατασκευή του κανονικού δεκαεπταγώνου, μπορούν να κατασκευασθούν εύκολα ν-γωνα με το ν να είναι το γινόμενο του 17 με το 3, το 5, το 15 ή οποιαδήποτε δύναμη του 2: π.χ. ένα κανονικό 51-γωνο, 85-γωνο ή 255-γωνο.

Κατασκευή κανονικού δεκαεπταγώνου με κύκλους Καρλαυλ.

Αστεροειδή κανονικά δεκαεπτάγωνα

Υπάρχουν επτά κανονικά αστεροειδή δεκαεπτάγωνα, τα $\{17/2\}$, $\{17/3\}$, $\{17/4\}$, $\{17/5\}$, $\{17/6\}$ και $\{17/7\}$ που κατασκευάζονται από τις 17 κορυφές ενός κανονικού δεκαπενταγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε δεύτερη, τρίτη, τέταρτη, πέμπτη, έκτη έβδομη ή όγδοη κορυφή, αντιστοίχως.

• 
  Δεκαεπτάγραμμα $\{17/2\}$
• 
  Δεκαεπτάγραμμα $\{17/3\}$
• 
  Δεκαεπτάγραμμα $\{17/4\}$
• 
  Δεκαεπτάγραμμα $\{17/5\}$
• 
  Δεκαεπτάγραμμα $\{17/6\}$
• 
  Δεκαεπτάγραμμα $\{17/7\}$
• 
  Δεκαεπτάγραμμα $\{17/8\}$

Σχέση με άλλα σχήματα

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό δεκαεπτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για ένα πολύτοπο περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθεται παρακάτω σε skew ορθογώνια προβολή:

16-simplex (16D)

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Heptadecagon" από το MathWorld. Περιέχει περιγραφή της κατασκευής του κανονικού δεκαεπταγώνου.
• Βίντεο για το δεκαεπτάγωνο και την κατασκευή του από το Numberphile.
• Τριγωνομετρικές συναρτήσεις για το 17γωνο
• Διαδραστικές κατασκευές 1 2 3 4 5 στο Geogebra

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Dunham, William (1996). «1996—A Triple Anniversary». Math Horizons 4 (1): 8-13. https://www.jstor.org/stable/25678076. 
• DeTemple, Duane W. (1989). «Simple Constructions for the Regular Pentagon and Heptadecagon». The Mathematics Teacher 82 (5): 361-365. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1989-05_82_5/page/n59. 
• DeTemple, Duane W. (1991). «Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions». The American Mathematical Monthly 98 (2): 97-108. doi:10.2307/2323939. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1991-02_98_2/page/96. 
• Behrooz, Pirzadeh (1983). «Gauss' constructible roots of unity». Journal of undergraduate mathematics 15 (1): 3. https://www.jstor.org/stable/community.30005260.