Δεκαπεντάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκαπεντάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δεκαπέντε κορυφές και δεκαπέντε πλευρές.

Ένα δεκαπεντάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό δεκαπεντάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $2340^{\circ }$ (ή $11\pi$ ακτίνια).
• Κάθε δεκαπεντάγωνο έχει 90 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό δεκαπεντάγωνο

Κυρτό κανονικό δεκαπεντάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	15, ισόπλευρο
Γωνίες	15, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$90$
Σύμβολο Schläfli	$\{15\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	15
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης πέμπτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 156^{\circ }}$ (ή $13/15\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {15}{4}}\cot {\frac {\pi }{15}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=15\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{15}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{15}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαπεντάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό δεκαπεντάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 156^{\circ }}$ (ή $13\pi /15$ ακτίνια).
• Έχει δεκαπέντε άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία δέκατης πέμπτης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του δεκαπενταγώνου είναι $\{15\}$.

Οι εννιά άξονες συμμετρίας ενός κανονικού δεκαπενταγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του δεκαπενταγώνου.

Κεντρική γωνία

Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με $\varphi =24^{\circ }$ (ή $2\pi /15$ ακτίνια).

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της $\varphi /2$ είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους

$\sin {\frac {\pi }{15}}={\frac {1}{16}}\left(2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {40+8{\sqrt {5}}}}\right),\qquad \csc {\frac {\pi }{15}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {8+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}$,

$\cos {\frac {\pi }{15}}={\frac {1}{8}}\left(-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}\right),\qquad \sec {\frac {\pi }{15}}=2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}$,

$\tan {\frac {\pi }{15}}=15{\sqrt {23-10{\sqrt {5}}-2{\sqrt {255-114{\sqrt {5}}}}}},\qquad \cot {\frac {\pi }{15}}={\frac {1}{16}}\left(2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {40+8{\sqrt {5}}}}\right)$.

Απόδειξη (Με τριγωνομετρία)  

Θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς για την γωνία π/6 και αυτούς για την γωνία π/10, καθώς και ότι

${\frac {\pi }{15}}={\frac {\pi }{6}}-{\frac {\pi }{10}}$.

Από τους τύπους για το ημίτονο και συνημίτονο διαφοράς γωνιών, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{15}}&=\sin \left({\frac {\pi }{6}}-{\frac {\pi }{10}}\right)=\sin {\frac {\pi }{6}}\cos {\frac {\pi }{10}}-\cos {\frac {\pi }{6}}\sin {\frac {\pi }{10}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{16}}\left(2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {40+8{\sqrt {5}}}}\right),\end{aligned}}$

και

${\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{15}}&=\cos \left({\frac {\pi }{6}}-{\frac {\pi }{10}}\right)=\cos {\frac {\pi }{6}}\cos {\frac {\pi }{10}}+\sin {\frac {\pi }{6}}\sin {\frac {\pi }{10}}\\&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\left(-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}\right).\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθώς και ρητοποίηση ριζών, λαμβάνουμε τους υπόλοιπους τύπους.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαπενταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{15}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {8+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}\cdot \lambda \\&\approx 2{,}404867\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαπενταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{15}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\cdot \lambda \\&\approx 2{,}352315\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα έξη είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκαπεντάγωνο.

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαπενταγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{k}&=2\sin {\frac {k\pi }{15}}\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=d_{6}$.

• Το ύψος του είναι

$h=R+r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαπενταγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {15}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού δεκαπενταγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {15}{4}}\cot {\frac {\pi }{15}}\cdot \lambda ^{2}\\&={\frac {15}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\cdot \lambda ^{2}\\&\approx 13{,}185768\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαπενταγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {15}{2}}\sin {\frac {2\pi }{15}}\cdot R^{2}\\&={\frac {15}{8}}{\sqrt {7+{\sqrt {5}}-{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}}}\cdot R^{2}\\&\approx 3.050525\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=15\tan {\frac {\pi }{15}}\cdot r^{2}\\&=15{\sqrt {23-10{\sqrt {5}}-2{\sqrt {255-114{\sqrt {5}}}}}}\cdot r^{2}\\&\approx 3{,}188348\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =15\cdot \lambda$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό δεκαπεντάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη. Η κατασκευή παρακάτω κατασκευή ακολουθεί σε γενικές γραμμές την Πρόταση 16 του 4ου βιβλίου στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Κατασκευή ενός κανονικού δεκαπενταγώνου.

Αστεροειδές κανονικό δεκαπεντάγωνο

Υπάρχουν τρία κανονικά αστεροειδή δεκαπεντάγωνα, τα $\{15/2\}$, $\{15/4\}$,$\{15/7\}$, που κατασκευάζονται από τις ίδιες 15 κορυφές ενός κανονικού δεκαπενταγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε δεύτερη, τέταρτη ή έβδομη κορυφή, αντιστοίχως.

Δεκαπεντάγραμμα $\{15/2\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	15, ισόπλευρο
Γωνίες	15, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{15/2\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	15
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης πέμπτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$132^{\circ }$ (ή $11\pi /15$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαπεντάγραμμα

Δεκαπεντάγραμμα $\{15/4\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	15, ισόπλευρο
Γωνίες	15, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{15/4\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	15
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης πέμπτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$84^{\circ }$ (ή $7\pi /15$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαπεντάγραμμα

Δεκαπεντάγραμμα $\{15/7\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	15, ισόπλευρο
Γωνίες	15, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{15/7\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	15
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης πέμπτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$12^{\circ }$ (ή $1\pi /15$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκαπεντάγραμμα

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό δεκαπεντάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για ένα πολύτοπο περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθεται παρακάτω σε ορθογώνια προβολή:

14-simplex (14D)

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π/15 στο MathWorld.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Frederickson, Greg N. (2006). «Reflecting Well: Dissections of Two Regular Polygons to One». Mathematics Magazine 79 (2): 87-95. doi:10.2307/27642915. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2006-04_79_2/page/n3. 
• Bristol, James D. (1961). «Construction and evaluation of trigonometric functions of some special angles». The Mathematics Teacher 54 (1): 4-7. https://www.jstor.org/stable/27956279.