Δελτοειδές

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Δελτοειδές
(ή χαρταετός)
GeometricKite.svg
Το δελτοειδές, όπου εμφανίζονται τα ζεύγη των ίσων πλευρών του και ο εγγεγραμμένος κύκλος του.
Τύπος Τετράπλευρο
Πλευρές και κορυφές 4
Συμμετρία D1 (*)
Δυϊκό Ισοσκελές τραπέζιο

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, το δελτοειδές είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι τέσσερις πλευρές μπορούν να ομαδοποιηθούν σε δύο ζεύγη πλευρών ίσου μήκους που είναι γειτονικές μεταξύ τους. Αντίθετα, ένα παραλληλόγραμμο έχει επίσης δύο ζεύγη πλευρών ίσου μήκους, αλλά είναι αντίκριστες μεταξύ τους και όχι παρακείμενες. Το δελτοειδές τετράπλευρο ονομάζεται επίσης χαρταετός (kite), διότι ο χαρταετός έχει συχνά τέτοιο σχήμα στην απλούστερη μορφή του. Το δελτοειδές δεν πρέπει να συγχέεται με τη δελτοειδή καμπύλη, που είναι ένα διαφορετικό γεωμετρικό σχήμα.

Το δελτοειδές, όπως ορίζεται παραπάνω, μπορεί να είναι κυρτό ή κοίλο. Το κοίλο δελτοειδές ονομάζεται επίσης βέλος (dart, arrowhead) και είναι ένα είδος ψευδοτριγώνου, ενώ το κυρτό δελτοειδές καλείται συχνά χαρταετός.

Ειδικές περιπτώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν έχουν ίδιο μήκος και οι τέσσερις πλευρές ενός δελτοειδούς (δηλαδή, όταν το δελτοειδές είναι ισόπλευρο), τότε πρέπει να είναι ρόμβος.

Όταν ένα δελτοειδές είναι ισογώνιο, δηλαδή και οι τέσσερις γωνίες του είναι ίσες, τότε θα πρέπει να είναι επίσης ισόπλευρο και συνεπώς τετράγωνο. Το δελτοειδές με τρεις ίσες γωνίες 108° και μία γωνία 36° σχηματίζει το κυρτό κύτος του λαούτου του Πυθαγόρα.[1]

Τα δελτοειδή που είναι επίσης κυκλικά τετράπλευρα (δηλαδή δελτοειδή που μπορούν να εγγραφούν σε κύκλο) είναι αυτά που σχηματίζονται από δύο παραλληλισμένα ορθογώνια τρίγωνα. Δηλαδή, είναι αυτά τα δελτοειδή που έχουν το ένα ζεύγος ίσων γωνιών τους να είναι ίσες με 90 μοίρες.[2] Τα σχήματα αυτά ονομάζονται ορθογώνια δελτοειδή[3] και στην πραγματικότητα είναι δικεντρικά τετράπλευρα. Ανάμεσα σε όλα τα δικεντρικά τετράπλευρα με δεδομένες τις δύο ακτίνες κύκλου, αυτό με το μέγιστο εμβαδόν είναι ορθογώνιο δελτοειδές.[4]

Η δελτοειδής τριεξαγωνική πλακόστρωση γίνεται με πανομοιότυπες έδρες δελτοειδών, με εσωτερικές γωνίες 60°, 90° και 120°.

Υπάρχουν μόνο οκτώ πολύγωνα που μπορούν πλακοστρώσουν το επίπεδο κατά τέτοιο τρόπο ώστε οποιαδήποτε πλακίδιο να αντικατοπτρίζεται σε οιανδήποτε ακμή του με κάποιο άλλο ίδιο πλακίδιο και ένα από αυτά είναι το ορθογώνιο δελτοειδές, με 60°, 90° και 120° γωνίες. Η πλακόστρωση που παράγεται από τις αντανακλάσεις αυτές είναι η δελτοειδής τριεξαγωνική πλακόστρωση.[5]

Bicentric kite 001.svg
Ορθογώνιο δελτοειδές
(με περιγεγραμμένο και εγγεγραμμένο κύκλο)
Reuleaux kite.svg
Ισοδιαγώνιο δελτοειδές
(εγγεγραμμένο σε τρίγωνο Ρελώ)

Μεταξύ όλων των τετράπλευρων, το σχήμα που έχει το μεγαλύτερο λόγο περιμέτρου προς διάμετρο είναι το ισοδιαγώνιο δελτοειδές με γωνίες π/3, 5π/12, 5π/6, 5π/12. Οι τέσσερις κορυφές του βρίσκονται στις τρεις γωνίες και σε ένα από τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου Ρελώ.[6][7]

Στην μη Ευκλείδεια γεωμετρία, το τετράπλευρο του Λάμπερτ είναι ορθογώνιο δελτοειδές με τρεις ορθές γωνίες.[8]

Χαρακτηριστικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παράδειγμα κυρτού και κοίλου δελτοειδούς. Το κυρτό καλείται χαρταετός και το κοίλο βέλος.

Ένα τετράπλευρο είναι δελτοειδές αν και μόνο αν είναι αληθής οποιαδήποτε από τις ακόλουθες συνθήκες:

  • Τα δύο ασυνεχή ζεύγη των παρακείμενων πλευρών του είναι ίσα (εξ ορισμού).
  • Η μία διαγώνιός του είναι η κάθετος που διχοτομεί την άλλη διαγώνιό του,[9] (στην περίπτωση του κοίλου είναι η επέκταση της μιας από τις διαγωνίους του).
  • Η μία διαγώνιός του είναι άξονας συμμετρίας (που χωρίζει το τετράπλευρο σε δύο παραλληλισμένα τρίγωνα τα οποία είναι αντικατοπτρισμοί το ένα του άλλου).[10]
  • Η μία διαγώνιός του διχοτομεί ένα ζεύγος αντικριστών γωνιών του.[10]

Συμμετρία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα δελτοειδές είναι τα τετράπλευρα που έχουν συμμετρία ως προς άξονα κατά μήκος μιας από τις διαγωνίους του.[11] Οποιοδήποτε τετράπλευρο απλό πολύγωνο που έχει έναν άξονα συμμετρίας πρέπει να είναι είτε δελτοειδές (όταν ο άξονας συμμετρίας είναι μία διαγώνιος) είτε ισοσκελές τραπέζιο (όταν ο άξονας συμμετρίας περνά από τα μέσα δύο πλευρών του) και αυτά περιλαμβάνουν αντίστοιχα ως ειδικές περιπτώσεις τον ρόμβο και το ορθογώνιο, που έχουν δύο άξονες συμμετρίας το κάθε ένα και το τετράγωνο, το οποίο είναι τόσο δελτοειδές όσο και ισοσκελές τραπέζιο και έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας.[11] Αν επιτραπούν και οι διασταυρώσεις, τότε ο κατάλογος των τετραπλεύρων με άξονες συμμετρίας πρέπει να επεκταθεί ώστε να συμπεριλάβει επίσης τα αντιπαραλληλόγραμμα.

Βασικές ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε δελτοειδές είναι ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο, που σημαίνει ότι οι δύο διαγώνιοί του είναι κάθετες μεταξύ τους. Επιπλέον, μιας από τις δύο διαγωνίους του (ο άξονας συμμετρίας) είναι η κάθετος που διχοτομεί την άλλη και είναι επίσης η διχοτόμος γωνία που ικανοποιεί τις δύο γωνίες.[11]

Μία από τις δύο διαγωνίους ενός κυρτού δελτοειδούς το διαιρεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα, ενώ η άλλη (ο άξονας συμμετρίας) διαιρεί το δελτοειδές σε δύο παραλληλισμένα τρίγωνα.[11] Οι δύο εσωτερικές γωνίες ενός δελτοειδούς που είναι στις αντίθετες πλευρές του άξονα συμμετρίας είναι ίσες.

Εμβαδόν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως ισχύει γενικότερα για οποιοδήποτε ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο, το εμβαδόν Α ενός δελτοειδούς μπορεί να υπολογιστεί ως το ήμισυ του γινομένου των μηκών των διαγωνίων του p και q:

Εναλλακτικά, εάν α και β είναι τα μήκη των δύο άνισων πλευρών του και θ είναι η γωνία μεταξύ των άνισων πλευρών, τότε το εμβαδόν του είναι:

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Darling, David (2004). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley & Sons, σελ. 260. ISBN 978-0-47166-700-1. https://books.google.com/books?id=HrOxRdtYYaMC&pg=PA260. 
  2. Gant, P. (1944), «A note on quadrilaterals», Mathematical Gazette (The Mathematical Association) 28 (278): 29–30, doi:10.2307/3607362 .
  3. De Villiers, Michael (1994), «The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals», For the Learning of Mathematics 14 (1): 11–18 
  4. Josefsson, Martin (2012), «Maximal area of a bicentric quadrilateral», Forum Geometricorum 12: 237–241, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FGvolume12.pdf#page=241 .
  5. Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), «Edge tessellations and stamp folding puzzles», Mathematics Magazine 84 (4): 283–289, doi:10.4169/math.mag.84.4.283 .
  6. Ball, D.G. (1973), «A generalisation of π», Mathematical Gazette 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052 
  7. Griffiths, David; Culpin, David (1975), «Pi-optimal polygons», Mathematical Gazette 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699 .
  8. Eves, Howard Whitley (1995). College Geometry. Jones & Bartlett Learning, σελ. 245. ISBN 978-0-8672-0475-9. https://books.google.com/books?id=B81gnTjNazMC&pg=PA245. .
  9. Usiskin, Zalman. Griffin, Jennifer (2008). The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition. Information Age Publishing, σελ. 49-52. 
  10. 10,0 10,1 de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry, σελ. 16, 55. ISBN 978-0-557-10295-2. 
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 Halsted, George Bruce (1896), «Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals», Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, σελ. 49–53, https://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49 .

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Kite (geometry) της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).