Μετάβαση στο περιεχόμενο

Δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου δίνει ότι
.

Στην γεωμετρία, το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου είναι μία σχέση σε εγγεγραμμένα τετράπλευρα, που εκφράζει τον λόγο των διαγωνίων του συναρτήσει των πλευρών του.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο με πλευρές , , και , ισχύει ότι[1][2]:241[3]:250

.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Κλαύδιο Πτολεμαίο, αλλά δεν αναφέρεται στα έργα του.

Απόδειξη με εμβαδά  

Το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου δίνει ότι
.

Έστω το εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας , τετράπλευρο και , οι διαγώνιοί του.
Θα αποδείξουμε οτι ισχύει

.

Τα τρίγωνα , , και είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο ακτίνας .
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα εμβαδών δύο τριγώνων με τους παρακάτω δύο τρόπους:

 

 

 

 

(1)

και

 

 

 

 

(2)

Από τις ισότητες (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι:

,

από την οποία βρίσκουμε ότι:

.

που είναι η ζητούμενη.

 

 

 

 

Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων  

Τα τρίγωνα και , και τα και είναι όμοια.

Έστω το εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο . Φέρνουμε τις διαγωνίους και οι οποίες τέμνονται έστω στο σημείο .
Τα τρίγωνα και έχουν (ως κατακορυφήν γωνίες) και (ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο τόξο ). Άρα είναι όμοια και έπεται ότι:

.

Επίσης, τα τρίγωνα και έχουν (ως κατακορυφήν γωνίες) και (ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο τόξο ). Άρα είναι όμοια και έπεται ότι:

.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις, τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τους τύπους

,

και

.

Διαιρούμε κατά μέλη τις ισότητες και έχουμε:

,

που είναι η ζητούμενη.

 

 

 

 

  1. Αργυρόπουλος Ηλίας· Βλάμος Παναγιώτης· Κατσουλης Γεωργιος· Μαρκατης Στυλιανος· Σιδερης Πολυχρονης. «Κεφάλαιο 10: Εμβαδά». Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αθήνα: Διόφαντος. 
  2. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  3. Ντάνης, Γιάννης. Γεωμετρία: Η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας. Gutenberg.