Παραλληλόγραμμο

Παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ όπου οι πλευρές $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$ είναι ίσες και παράλληλες.

Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

Στην γεωμετρία, το παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου.

Τα τέσσερα ύψη του παραλληλογράμμου που αντιστοιχούν στις ${\rm {A\Delta }}$ και ${\rm {B\Gamma }}$.

Τα τέσσερα ύψη του παραλληλογράμμου που αντιστοιχούν στις ${\rm {AB}}$ και ${\rm {\Gamma \Delta }}$.

Η απόσταση δύο απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου λέγεται ύψος του ενώ οι απέναντι πλευρές λέγονται βάσεις ως προς το ύψος αυτό (κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη).

Κάποιες φορές ύψη λέγονται και τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα από τις κορυφές του παραλληλογράμμου προς τις πλευρές του. Με αυτόν τον ορισμό ένα παραλληλόγραμμο έχει οκτώ ύψη που είναι ανά τέσσερα ίσα.

Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι το ορθογώνιο, ο ρόμβος και το τετράγωνο.

Ιδιότητες

• Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές.

Απόδειξη  

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$.

Οι ${\hat {\rm {A}}}$ και ${\hat {\rm {\Delta }}}$ είναι παραπληρωματικές .

• οι γωνίες ${\hat {\mathrm {A} }}$ και ${\hat {\mathrm {\Delta } }}$ είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {A\Delta }$,
• οι γωνίες ${\hat {\mathrm {\Delta } }}$ και ${\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων $\mathrm {B\Gamma ||\Delta A}$ που τέμνονται από την $\mathrm {\Gamma \Delta }$.

Ομοίως αποδεικνύεται και για τα υπόλοιπα ζεύγη διαδοχικών γωνιών του παραλληλογράμμου.

• Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.

Απόδειξη  

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$.

Οι ${\hat {\rm {A}}}$ και ${\hat {\rm {\Gamma }}}$ είναι ίσες ως παραπληρωματικές στην ${\hat {\rm {\Delta }}}$.

1) Θα αποδείξουμε ότι οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. Είναι

• οι γωνίες ${\hat {\mathrm {A} }}$ και ${\hat {\mathrm {\Delta } }}$ παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {A\Delta }$,
• οι γωνίες ${\hat {\mathrm {\Delta } }}$ και ${\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων $\mathrm {B\Gamma ||\Delta A}$ που τέμνονται από την $\mathrm {\Gamma \Delta }$.

Άρα ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ είναι ίσα.

2) Θα αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.

Φέρνουμε την διαγώνιο $\mathrm {B\Delta }$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {\Gamma B\Delta }$ έχουν

• την $\mathrm {B\Delta }$ κοινή,
• ${\widehat {\mathrm {AB\Delta } }}={\widehat {\mathrm {B\Delta \Gamma } }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Delta \Gamma }$ που τέμνονται από την $\mathrm {B\Delta }$,
• ${\widehat {\mathrm {A\Delta B} }}={\widehat {\mathrm {\Delta B\Gamma } }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {B\Gamma ||\Delta A}$ που τέμνονται από την $\mathrm {B\Delta }$.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ είναι τρίγωνα ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, $\mathrm {AB} =\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Delta }$.

Συνεπώς σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.

$\square$

• Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα $\mathrm {AOB}$ και $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ είναι ίσα

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {O}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του $\mathrm {A\Gamma }$ και ${\rm {B\Delta }}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {AOB}$ και $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ έχουν

• $\mathrm {AB} =\mathrm {\Gamma \Delta }$ ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου,
• ${\widehat {\mathrm {BAO} }}={\widehat {\mathrm {O\Gamma \Delta } }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Delta \Gamma }$ που τέμνονται από την $\mathrm {A\Gamma }$,
• ${\widehat {\mathrm {ABO} }}={\widehat {\mathrm {O\Delta \Gamma } }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB||\Delta \Gamma }$ που τέμνονται από την $\mathrm {B\Delta }$.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή $\mathrm {OB} =\mathrm {O\Delta }$ και $\mathrm {OA} =\mathrm {O\Gamma }$.

Συνεπώς οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

$\square$

• Οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλες.

Απόδειξη  

Οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλοι.

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$. Φέρνουμε τις διχοτόμους $\mathrm {A\Delta _{A}} ,\mathrm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}$των απέναντι γωνιών του ${\hat {\mathrm {A} }},{\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ αντίστοιχα.

Είναι

• ${\textstyle {\widehat {\mathrm {\Delta _{A}AB} }}={\widehat {\mathrm {\Delta _{A}A\Delta } }}={\frac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {B\Gamma } ||\mathrm {A\Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {A\Delta _{A}}$,
• ${\textstyle {\widehat {\mathrm {\Delta _{\Gamma }\Gamma \Delta _{A}} }}={\frac {\hat {\mathrm {\Gamma } }}{2}}={\frac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}}$.

Άρα ${\widehat {\mathrm {A\Delta _{A}B} }}={\widehat {\mathrm {\Delta _{\Gamma }\Gamma \Delta _{A}} }}$ συνεπώς οι $\mathrm {A\Delta _{A}} ,\mathrm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}$ τεμνόμενες από την $\mathrm {B\Gamma }$ σχηματίζουν τις εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Άρα είναι παράλληλες.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι και οι διχοτόμοι των γωνιών ${\hat {\mathrm {B} }},{\hat {\mathrm {\Delta } }}$ είναι παράληλλες.

$\square$

• Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών γωνιών είναι κάθετες.

Απόδειξη  

Οι διχοτόμοι διαδοχικών γωνιών τέμνονται κάθετα.

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$. Φέρνουμε τις διχοτόμους των διαδοχικών γωνιών του ${\hat {\mathrm {A} }},{\hat {\mathrm {B} }}$.Έστω $\mathrm {E}$ το σημείο τομής των δύο διχοτόμων.

Στο τρίγωνο $\mathrm {AEB}$ είναι

${\widehat {\mathrm {EAB} }}+{\widehat {\mathrm {EBA} }}={\frac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}+{\frac {\hat {\mathrm {\Gamma } }}{2}}={\frac {{\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {\Gamma } }}}{2}}={\frac {180^{\circ }}{2}}=90^{\circ },$

διότι ${\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=180^{\circ }$ ως διαδοχικές γωνίες παραλληλογράμμου.

Άρα είναι ${\widehat {\mathrm {AEB} }}=180^{\circ }-({\widehat {\mathrm {EAB} }}+{\widehat {\mathrm {EBA} }})=90^{\circ }$, συνεπώς οι διχοτόμοι των διαδοχικών γωνιών του ${\hat {\mathrm {A} }},{\hat {\mathrm {B} }}$ είναι κάθετες.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι και οι διχοτόμοι των υπολοίπων ζευγώνων διαδοχικών γωνιών είναι κάθετες. $\quad \square$

• Το κέντρο ενός παραλληλογράμμου είναι και κέντρο συμμετρίας του.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα $\mathrm {AOB}$ και $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ είναι ίσα

Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {O}$ το κέντρο του. Θεωρούμε τυχαίο σημείο $\mathrm {Z}$ της πλευράς $\mathrm {B\Gamma }$. Ενώνουμε το $\mathrm {Z}$ με το $\mathrm {O}$ και προεκτείνουμε την $\mathrm {ZO}$ η οποία τέμνει την πλευρά $\mathrm {A\Delta }$ στο $\mathrm {E}$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {AOE}$ και $\mathrm {\Gamma OZ}$ έχουν

• τις πλευρές $\mathrm {OA} =\mathrm {O\Gamma }$, σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα ότι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται,
• τις γωνίες ${\widehat {\mathrm {AOE} }}={\widehat {\mathrm {\Gamma OZ} }}$ ως κατακορυφήν, και
• τις γωνίες ${\widehat {\mathrm {EAO} }}={\widehat {\mathrm {O\Gamma Z} }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {B\Gamma } ||\mathrm {A\Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {EZ}$.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή $\mathrm {OE} =\mathrm {OZ}$.

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το συμμετρικό του σημείου $\mathrm {Z}$ του παραλληλογράμμου ως προς το $\mathrm {O}$ είναι το σημείο $\mathrm {E}$ το οποίο είναι και αυτό σημείο του παραλληλογράμου.

Συνεπώς το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι και κέντρο συμμετρίας του.

$\square$

Κριτήρια παραλληλογράμμου

Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

• Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά δύο.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ σύμφωνα με την ιδιότητα του παραλληλογράμμου οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Δηλαδή, $\mathrm {AB} =\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Delta }$.

Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ είναι ίσα.

($\Leftarrow$) Έστω το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Δηλαδή, $\mathrm {AB} =\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Delta }$. Φέρνουμε την διαγώνιο $\mathrm {B\Delta }$. Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία. Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΠΠΠ είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, είναι ${\widehat {\mathrm {AB\Delta } }}={\widehat {\mathrm {B\Delta \Gamma } }}$ και ${\widehat {\mathrm {A\Delta B} }}={\widehat {\mathrm {\Delta B\Gamma } }}$. Συνεπώς είναι $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma } ||\mathrm {A\Delta }$ διότι τεμνόμενες από την διαγώνιο $\mathrm {B\Delta }$ σχηματίζουν τις εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες.

Καταλήγουμε ότι το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\square$

• Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ είναι ίσα.

($\Rightarrow$) Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ σύμφωνα με την ιδιότητα του παραλληλογράμμου οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες. Δηλαδή, $\mathrm {AB} =||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma } =||\mathrm {A\Delta }$.

($\Leftarrow$) Έστω το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ του οποίου οι δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες. Δηλαδή, $\mathrm {B\Gamma } =||\mathrm {A\Delta }$. Φέρνουμε την διαγώνιο $\mathrm {B\Delta }$. Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ έχουν

• την $\mathrm {B\Delta }$ κοινή,
• $\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Delta }$, και
• τις εντός και εναλλάξ γωνίες ${\widehat {\mathrm {A\Delta B} }}={\widehat {\mathrm {\Delta B\Gamma } }}$.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΠΓΠ είναι ίσα και συνεπώς έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, είναι $\mathrm {AB} =\mathrm {\Gamma \Delta }$.

Τότε σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\square$

• Οι απέναντι γωνίες είναι ανά δύο ίσες.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ είναι ίσα.

($\Rightarrow$) Έστω το παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {B\Delta }$ η διαγώνιος του. Σύμφωνα με τον ορισμό του παραλληλογράμμου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες δηλαδή, $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma } ||\mathrm {A\Delta }$. Έτσι έχουμε ότι

• οι γωνίες ${\widehat {\mathrm {AB\Delta } }}={\widehat {\mathrm {B\Delta \Gamma } }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {AB} ||\mathrm {\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {B\Delta }$ και
• ${\widehat {\mathrm {A\Delta B} }}={\widehat {\mathrm {\Delta B\Gamma } }}$ ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων $\mathrm {B\Gamma } ||\mathrm {A\Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {B\Delta }$.

Άρα οι απέναντι γωνίες ${\widehat {\mathrm {AB\Gamma } }}$ και ${\widehat {\mathrm {A\Delta \Gamma } }}$ του παραλληλογράμμου $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ είναι ίσες διότι είναι αθροίσματα ίσων γωνιών.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι ${\widehat {\mathrm {BA\Delta } }}={\widehat {\mathrm {B\Gamma \Delta } }}$.

($\Leftarrow$) Έστω το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ του οποίου οι απέναντι γωνίες είναι ίσες ανά δύο. Σε κάθε τετράπλευρο ισχύει ότι το άθροισμα των γωνιών του ισούται με $360^{\circ }$. Δηλαδή,

${\widehat {\mathrm {AB\Gamma } }}+{\widehat {\mathrm {B\Gamma \Delta } }}+{\widehat {\mathrm {\Gamma \Delta A} }}+{\widehat {\mathrm {\Delta AB} }}=360^{\circ }$

$2\cdot {\widehat {\mathrm {AB\Gamma } }}+2\cdot {\widehat {\mathrm {B\Gamma \Delta } }}=360^{o}$ διότι είναι ${\widehat {\mathrm {B\Gamma \Delta } }}={\widehat {\mathrm {\Delta AB} }}$ και ${\widehat {\mathrm {AB\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {\Gamma \Delta A} }}$

${\widehat {\mathrm {AB\Gamma } }}+{\widehat {\mathrm {B\Gamma \Delta } }}=180^{\circ }$

Αυτό δηλώνει ότι οι πλευές $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$ που τέμνονται από την $\mathrm {B\Gamma }$ σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές άρα είναι παράλληλες. Ομοίως αποδεικνύεται ότι $\mathrm {B\Gamma } ||\mathrm {A\Delta }$.

Συνεπώς το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\square$

• Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Σύμφωνα με την ιδιότητα του παραλληλογράμμου οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

Τα τρίγωνα $\mathrm {AOB}$ και $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ είναι ίσα.

($\Leftarrow$)Έστω το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ του οποίου οι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και $\mathrm {O}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Τα τρίγωνα $\mathrm {AOB}$ και $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ έχουν

• τις γωνίες ${\widehat {\mathrm {AOB} }}={\widehat {\mathrm {\Delta O\Gamma } }}$ ως κατακορυφήν,
• τις πλευρές $\mathrm {OB} =\mathrm {O\Delta }$, και
• τις πλευρές $\mathrm {OA} =\mathrm {O\Gamma }$.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΠΓΠ είναι ίσα και συνεπώς έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, $\mathrm {AB} =\mathrm {\Delta \Gamma }$.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι Τα τρίγωνα $\mathrm {AO\Delta }$ και $\mathrm {BO\Gamma }$ είναι ίσα δηλαδή, $\mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma }$.

Σύμφωνα με το πρώτο κριτήριο το τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ είναι παραλληλόγραμμο.

$\square$

Κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων

Ισχύουν τα εξής κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων:

• Δύο παραλληλόγραμμα $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {A'B'\Gamma '\Delta '}$ με $\mathrm {AB} =\mathrm {A'B'}$, $\mathrm {A\Delta } =\mathrm {A'\Delta '}$ και ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {A} }}'$ είναι ίσα.
• Δύο παραλληλόγραμμα $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {A'B'\Gamma '\Delta '}$ με $\mathrm {AB} =\mathrm {A'B'}$, $\mathrm {A\Delta } =\mathrm {A'\Delta '}$ και $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A'\Gamma '}$ είναι ίσα.

Μετρικές σχέσεις

• (Νόμος του παραλληλογράμμου) Σε κάθε παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του,

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta A} ^{2}=2\cdot \mathrm {A\Gamma } ^{2}+2\cdot \mathrm {B\Delta } ^{2}$.

Ανισοτικές σχέσεις

Θεώρημα — Σε ένα παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, αν ${\widehat {\rm {B}}}<90^{\circ }$, τότε ${\rm {A\Gamma <B\Delta }}$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, με ${\widehat {\rm {B}}}<90^{\circ }$. Θα αποδείξουμε ότι είναι ${\rm {A\Gamma <B\Delta }}$.

Οι διαδοχικές γωνίες του παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές, και επειδή είναι ${\widehat {\rm {B}}}<90^{\circ }$ έπεται οτι είναι ${\widehat {\rm {\Gamma }}}>90^{\circ }$ άρα ${\widehat {\rm {B}}}<{\widehat {\rm {\Gamma }}}$.

Τα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {B\Gamma \Delta }}$ έχουν,

• ${\rm {AB=\Gamma \Delta }}$,

• ${\rm {B\Gamma }}$ κοινή,

• ${\widehat {\rm {B}}}<{\widehat {\rm {\Gamma }}}$.

Άρα έχουν και ${\rm {A\Gamma <B\Delta }}$.

$\square$

Εμβαδόν

Το ύψος $\mathrm {AH}$ που αντιστοιχεί στη βάση $\mathrm {B\Gamma }$.

Διαγραμματική απόδειξη τύπου $\mathrm {E} =b\cdot h$ για το εμβαδόν.

${\rm {E}}=2\cdot {\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}=\alpha \cdot \beta \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}$.

Υπάρχουν αρκετοί τύποι για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$:

• Το εμβαδόν ισούται με το γινόμενο της βάσης και του αντίστοιχου ύψους:

$\mathrm {E} =({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}}).$

• Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$

$\mathrm {E} =2\cdot \mathrm {E} _{\rm {AB\Gamma }}$.

• Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, ισχύει ότι

$\mathrm {E} =2{\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\delta )$ και $\mathrm {AB} =\alpha$, $\mathrm {B\Gamma } =\beta$ και $\mathrm {A\Gamma } =\delta$.

• Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου με χρήση ημιτόνου,

$\mathrm {E} =\alpha \cdot \beta \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}$.

• Αν το σημείο $\mathrm {A} =(0,0)$, το $\mathrm {B} =(x_{1},y_{1})$ και το $\mathrm {\Gamma } =(x_{2},y_{2})$, τότε

$\mathrm {E} =\left|\mathrm {det} {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{bmatrix}}\right|=\left|x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1}\right|$.

• Το εμβαδόν ισούται με το μέτρο του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων των δύο γειτονικών πλευρών

${\rm {E}}=|{\vec {\rm {AB}}}\times {\vec {\rm {A\Delta }}}|$.

Σχετικά σχήματα

Ειδικές περιπτώσεις

• Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
• Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες λέγεται ρόμβος.
• Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές και όλες του τις πλευρές ίσες, λέγεται τετράγωνο.

Ορθογώνιο

Ρόμβος

Τετράγωνο

Συναφή σχήματα

• Το τραπέζιο έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες.
• Το ισοσκελές τραπέζιο έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες
• Το αντιπαραλληλόγραμμο είναι ένα μη-κυρτό τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο ίσες αλλά όχι παράλληλες.

Τραπέζιο

Ισοσκελές τραπέζιο

Αντιπαραλληλόγραμμο

• Ο γνώμονας είναι το σχήμα που προκύπτει από ένα παραλληλόγραμμο του οποίου έχει αφαιρεθεί ένα άλλο παραλληλόγραμμο που έχει μία κοινή κορυφή με το αρχικό και την απέναντί της στην διαγώνιό του.

Το γεωμετρικό σχήμα του γνώμονα.

Το γεωμετρικό σχήμα του γνώμονα με τις βοηθητικές του γραμμές.

Στερεομετρία

Ένα παραλληλεπίπεδο.

Ένα παραλληλεπίπεδο είναι το στερεό σχήμα που αποτελείται από τρία ζεύγη παράλληλων εδρών. Ειδική περίπτωσή του είναι ο κύβος.

Εφαρμογές

Κανόνας παραλληλογράμμου

Στο επίπεδο, το άθροισμα δύο διανυσμάτων ${\vec {a}}(a_{x},a_{y})$ και ${\vec {b}}(b_{x},b_{y})$ είναι το διάνυσμα ${\vec {c}}(c_{x},c_{y})$ για το οποίο τα σημεία $(0,0)$, $(a_{x},a_{y})$, $(c_{x},c_{y})$ και $(b_{x},b_{y})$ σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο. Το σημείο ${\vec {c}}$ έχει $c_{x}=a_{x}+b_{x}$ και $c_{y}=a_{y}+b_{y}$.

Με όρους φυσικής, η συνισταμένη δύο δυνάμεων ${\vec {F}}_{1}$ και ${\vec {F}}_{2}$ που δρουν στο ίδιο σώμα δίνεται από την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου που δημιουργούν την θέση του σώματος, όπως το παρακάτω σχήμα.

Το άθροισμα ${\vec {c}}$ δύο διανυσμάτων ${\vec {a}}$ και ${\vec {b}}$.

Η συνισταμένη ${\rm {F}}_{o\lambda }$ δύο δυνάμεων ${\rm {F}}_{1}$ και ${\rm {F}}_{2}$ που δρουν στο σώμα ${\rm {\Sigma }}$.

Θεώρημα Βαρινιόν

Το θεώρημα Βαρινιόν λέει ότι τα μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.

Τα μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Θεώρημα του Πάππου

Το θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν είναι ένα θεώρημα που συσχετίζεται τα εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου.

Το θεώρημα Πάππου λέει ότι το εμβαδόν των πράσινων παραλληλογράμμων ισούται με το εμβαδόν του μπλε.

Θεώρημα του γνώμονα

Το θεώρημα του γνώμονα λέει το εξής:

Έστω ένα παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {P}}$ ένα σημείο της διαγωνίου ${\rm {A\Gamma }}$. H παράλληλη από το ${\rm {P}}$ προς την πλευρά ${\rm {AB}}$ τέμνει την ${\rm {B\Gamma }}$ στο ${\rm {E}}$ και την ${\rm {A\Delta }}$ στο $\Theta$. Ομοίως, η παράλληλη από το ${\rm {P}}$ προς το ${\rm {A\Delta }}$ τέμνει την ${\rm {\Gamma \Delta }}$ στο ${\rm {Z}}$ και την ${\rm {AB}}$ στο ${\rm {H}}$. Τότε, τα παραλληλόγραμμα ${\rm {HBEP}}$ και ${\rm {PZ\Delta \Theta }}$ έχουν ίσα εμβαδά.

Το θεώρημα του γνώμονα λέει ότι το πράσινο και το κόκκινο παραλληλόγραμμο έχουν ίσα εμβαδά.

Σε αποδείξεις θεωρημάτων

Σε αρκετές αποδείξεις θεωρημάτων βοηθάει η δημιουργία παραλληλογράμμων. Για παράδειγμα, στις αποδείξεις

• της ύπαρξης του βαρυκέντρου
• του θεωρήματος van Schooten
• του θεωρήματος Vecten.

Πλακοστρώσεις

Τα παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

Πλακόστρωση με τετράγωνα

Πλακόστρωση με ορθογώνια

Πλακόστρωση με ρόμβους

Πλακόστρωση με παραλληλόγραμμα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Εφαρμογή για τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου
• Εφαρμογή με τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου

Ελληνικά άρθρα

• Ν. Δεργιάδες (1979). «Συνθήκες για να είναι ένα κυρτό τετράπλευρο παραλληλόγραμμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 108-110. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3939. 
• Α. Δούναβης (1986). «Παραλληλόγραμμα». Ευκλείδης Β΄ (2): 95-99. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2995. 
• Τ. Λαμπρόπουλος (1988). «Παραλληλόγραμμα». Ευκλείδης Β΄ (3): 24-28. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3214. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (Μαρτίου 2023). «More characterisations of parallelograms». The Mathematical Gazette 107 (568): 76–83. doi:10.1017/mag.2023.10. 
• Wang, David G. L. (Σεπτεμβρίου 2016). «Tilings of Parallelograms by Similar Isosceles Triangles». The Mathematical Intelligencer 38 (3): 24–29. doi:10.1007/s00283-016-9629-2. 
• Daykin, D. E. (Ιανουαρίου 1965). «Rational Triangles and Parallelograms». Mathematics Magazine 38 (1): 46–47. doi:10.1080/0025570X.1965.11975584. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1965-01_38_1/page/46. 
• Crain, Karleton W. (Απριλίου 1937). «Two Families of Parallelograms». National Mathematics Magazine 11 (7): 304. doi:10.2307/3028786. 
• Mayor, F (Φεβρουαρίου 1941). «1499. Eighteen parallelograms». The Mathematical Gazette 25 (263): 46–47. doi:10.2307/3606482. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1941-02_25_263/page/46. <

Δείτε επίσης

• Ορθογώνιο
• Ρόμβος
• Τετράγωνο
• Τραπέζιο
• Παραλληλεπίπεδο