Εγγράψιμο τετράπλευρο

Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ λέγεται εγγράψιμο σε κύκλο ή κυκλικό αν υπάρχει κύκλος που διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και λέγεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε αυτόν.

Ιδιότητες

Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου τέμνονται στο περίκεντρο.

Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}=180^{\circ }$.

Κάθε γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της, π.χ. η ${\hat {\rm {A}}}$ είναι ίση με την εξωτερική της ${\hat {\rm {\Gamma }}}$.

Οι κορυφές ${\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}={\widehat {\rm {\Delta B\Gamma }}}$.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται περίκεντρο.

Απόδειξη  

($\Rightarrow$) Έστω ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ένα κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $\rho$. Τότε, αφού τα ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$ ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι

${\rm {OA}}={\rm {OB}}={\rm {O\Gamma }}={\rm {O\Delta }}=\rho$.

Επομένως, καταλήγουμε ότι το ${\rm {O}}$ ανήκει στις μεσοκαθέτους των ${\rm {AB}}$, ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {\Delta A}}$.

($\Leftarrow$) Έστω ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ένα κυρτό τετράπλευρο, όπου οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το σημείο ${\rm {O}}$. Τότε, έχουμε

${\rm {OA}}={\rm {OB}}={\rm {O\Gamma }}={\rm {O\Delta }}$,

και επομένως ο κύκλος με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα ${\rm {OA}}$ διέρχεται από τα ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$, συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. $\square$

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }$ή ${\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}=180^{\circ }$
• Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.

Απόδειξη  

Η συνθήκη αυτή προκύπτει από την προηγούμενη, καθώς η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική της εσωτερικής.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, π.χ. ${\widehat {\rm {A\Gamma B}}}={\widehat {\rm {A\Delta B}}}$.

Το ${\rm {I_{1}I_{2}I_{3}I_{4}}}$ ορθογώνιο και $\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

• Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$, θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους $({\rm {I}}_{1},\rho _{1})$, $({\rm {I}}_{2},\rho _{2})$, $({\rm {I}}_{3},\rho _{3})$ και $({\rm {I}}_{4},\rho _{4})$ των τριγώνων ${\rm {AB\Gamma }}$, ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ και ${\rm {\Delta AB}}$. Τότε ισχύει ότι
  • Το τετράπλευρο ${\rm {I_{1}I_{2}I_{3}I_{4}}}$ είναι ορθογώνιο, και
  • (Ιαπωνικό θεώρημα) $\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)

${\rm {E}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$, το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν (δείτε εδώ).

Μετρικές σχέσεις

• (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

${\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {B\Delta }}=\alpha \gamma +\beta \delta$.

• (2o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}$.

• Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις

${\rm {A\Gamma }}={\sqrt {\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}}\quad$ και $\quad {\rm {B\Delta }}={\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \gamma +\beta \delta }}}$.

Απόδειξη  

Οι τύποι αυτοί προκύπτουν από το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου. Για παράδειγμα, από τον πολλαπλασιαμό των σχέσεων

${\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {B\Delta }}=\alpha \gamma +\beta \delta$,

και

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}$,

λαμβάνουμε

${\rm {A\Gamma }}^{2}={\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}$,

που οδηγεί στον πρώτο τύπο.

• (Θεώρημα τεμνόμενων χορδών) Σε ένα τετράπλευρο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ όπου ${\rm {I}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$, ισχύει ότι

${\rm {AI}}\cdot {\rm {I\Gamma }}={\rm {BI}}\cdot {\rm {I\Delta }}$.

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}}$.

Απόδειξη  

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου $R$

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\frac {\alpha \beta \gamma }{4R}}$.

Τώρα στο εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ τον εφαρμόζουμε στα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$ που έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma }}={\frac {\alpha \beta {\rm {A\Gamma }}}{4R}}+{\frac {\gamma \delta {\rm {A\Gamma }}}{4R}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{4R}}\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )$.

Λύνοντας προς $R$ λαμβάνουμε

$R={\frac {\rm {A\Gamma }}{4{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )$.

Τέλος, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδόν του ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και τον τύπο για το μήκος της διαγωνίου λαμβάνουμε το ζητούμενο.

• Για την γωνία ${\hat {\rm {A}}}$ ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

$\sin {\hat {\rm {A}}}={\frac {2{\sqrt {(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}}{(\alpha \delta +\beta \gamma )}},$

$\cos {\hat {\rm {A}}}={\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}}{2(\alpha \delta +\beta \gamma )}},$

$\tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )(\tau -\delta )}{(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Ειδικές περιπτώσεις

• Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγράψιμο και είναι το μόνο εγγράψιμο παραλληλόγραμμο.
• Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο και είναι το μόνο εγγράψιμο τραπέζιο.

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο.

• Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγράψιμο).

Εφαρμογές

Τα εγγράψιμα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

• Στην απόδειξη ύπαρξης του ορθόκεντρου τριγώνου
• Στον απόδειξη του κύκλου Όιλερ ενός τριγώνου
• Στην απόδειξη της ευθείας Σίμσον
• Στην απόδειξη του θεωρήματος Νάγκελ
• Στην απόδειξη του σημείου Στάινερ
• Στην απόδειξη του σημείου ΜακΛώριν

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Εγγράψιμο πολύγωνο
• Περιγράψιμο τετράπλευρο