Ευθεία Νεύτωνα

Ευθεία του Νεύτωνα: η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

Στην γεωμετρία, η ευθεία Νεύτωνα ενός τετράπλευρου (που δεν είναι παραλληλόγραμμο) είναι η ευθεία που περιέχει τα μέσα των διαγωνίων της. Σε ένα παραλληλόγραμμο τα μέσα ταυτίζονται και έτσι δεν ορίζεται ευθεία.

Η ευθεία παίρνει το όνομα του από τον Ισαάκ Νεύτων.

Ιδιότητες

• Σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ (που δεν είναι παραλληλόγραμμο), το σημείο τομής ${\rm {K}}$ των δύο ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών είναι ανήκει στην ευθεία του Νεύτωνα. Επιπλέον, αν ${\rm {M,N}}$ τα μέσα των διαγωνίων του, τότε το ${\rm {K}}$ είναι το μέσο τους.

Απόδειξη  

Η ευθεία Νεύτωνα περιλαμβάνει το σημείο τομής ${\rm {K}}$ των ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών.

Έστω ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}}$ τα μέσα των πλευρών του, και ${\rm {M,N}}$ τα μέσα των διαγωνίων του. Θεωρούμε ένα τυχόν σημείο αναφοράς ${\rm {O}}$. Θα δείξουμε ότι τα ${\vec {\rm {KN}}}=-{\vec {\rm {KM}}}$ και συνεπώς τα ${\rm {K,M,N}}$ είναι συνευθειακά και ${\rm {K}}$ το μέσο του ${\rm {MN}}$.

Τα μέσα των πλευρών μπορούν να γραφτούν ως

${\rm {M_{1}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {A}}}+{\vec {\rm {B}}}\right)}}$, ${\rm {M_{2}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {B}}}+{\vec {\rm {\Gamma }}}\right)}}$, ${\rm {M_{3}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {\Gamma }}}+{\vec {\rm {\Delta }}}\right)}}$, ${\rm {M_{4}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {\Delta }}}+{\vec {\rm {A}}}\right)}}$,

και τα μέσα των διαγωνίων

${\vec {\rm {M}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {A}}}+{\vec {\rm {\Gamma }}}\right)$, ${\vec {\rm {N}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {\Gamma }}}+{\vec {\rm {\Delta }}}\right)$.

Από το θεώρημα Βαρινιόν, έχουμε ότι το τετράπλευρο ${\rm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}}$ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι επίσης και κέντρο βάρους του. Άρα

${\begin{aligned}{\vec {\rm {K}}}&={\frac {1}{4}}\cdot \left({\vec {\rm {M_{1}}}}+{\vec {\rm {M_{2}}}}+{\vec {\rm {M_{3}}}}+{\vec {\rm {M_{4}}}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot \left({\vec {\rm {A}}}+{\vec {\rm {B}}}\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\vec {\rm {B}}}+{\vec {\rm {\Gamma }}}\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\vec {\rm {\Gamma }}}+{\vec {\rm {\Delta }}}\right)+{\frac {1}{2}}\cdot \left({\vec {\rm {\Delta }}}+{\vec {\rm {A}}}\right)\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left({\vec {\rm {A}}}+{\vec {\rm {B}}}+{\vec {\rm {\Gamma }}}+{\vec {\rm {\Delta }}}\right).\end{aligned}}$.

Επομένως,

${\vec {\rm {KN}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {\Gamma }}}+{\vec {\rm {\Delta }}}\right)-{\frac {1}{4}}\cdot \left({\vec {\rm {A}}}+{\vec {\rm {B}}}+{\vec {\rm {\Gamma }}}+{\vec {\rm {\Delta }}}\right)={\frac {1}{4}}\cdot \left(-{\vec {\rm {A}}}-{\vec {\rm {B}}}+{\vec {\rm {\Gamma }}}+{\vec {\rm {\Delta }}}\right)$,

${\vec {\rm {KM}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {A}}}+{\vec {\rm {\Gamma }}}\right)-{\frac {1}{4}}\cdot \left({\vec {\rm {A}}}+{\vec {\rm {B}}}+{\vec {\rm {\Gamma }}}+{\vec {\rm {\Delta }}}\right)={\frac {1}{4}}\cdot \left(+{\vec {\rm {A}}}+{\vec {\rm {B}}}-{\vec {\rm {\Gamma }}}-{\vec {\rm {\Delta }}}\right)$.

Συνεπώς, καταλήγουμε ότι ${\vec {\rm {KN}}}=-{\vec {\rm {KM}}}$, και ότι ${\rm {K,M,N}}$ είναι συνευθειακά και ${\rm {K}}$ το μέσο του ${\rm {MN}}$.

Θεώρημα του Anne: Το άθροισμα των πράσινων και μπλε εμβαδών είναι ίσο ανν το σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα.

• (Θεώρημα Anne) Η ευθεία Νεύτωνα ενός τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {P}}$ που ικανοποιούν την εξής σχέση

${\rm {E}}_{\rm {PAB}}+{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {PB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {P\Delta A}}$.

Σε ένα τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ οι απέναντι κορυφές ισαπέχουν από την ευθεία Νεύτωνα, δηλαδή ${\rm {AK=\Gamma \Lambda }}$.

• Οι απέναντι κορυφές ενός τετράπλευρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισαπέχουν από την ευθεία Νεύτωνα.

Απόδειξη  

Τα τρίγωνα ${\rm {AKM}}$ και ${\rm {\Gamma M\Lambda }}$ είναι ίσα.

Έστω ${\rm {K}}$ η προβολή του ${\rm {A}}$ στην ευθεία Νεύτωνα και ${\rm {\Lambda }}$ η προβολή του ${\rm {\Gamma }}$ στην ευθεία Νεύτωνα.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {AKM}}$ και $\Gamma M\Lambda$ έχουν μία πλευρά ίση (την ${\rm {AM=M\Gamma }}$) και μία οξεία γωνία ίση (την ${\widehat {\rm {AMK}}}={\widehat {\rm {\Gamma M\Lambda }}}$). Επομένως, ${\rm {AK=\Gamma \Lambda }}$.

Ειδικές περιπτώσεις

Θεώρημα Νεύτωνα: Η ευθεία Νεύτωνα σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο περιλαμβάνει το κέντρο ${\rm {I}}$ του εγγεγραμμένου του κύκλου.

• (Θεώρημα Νεύτωνα) Σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο το κέντρο του εγγεγραμμένου του κύκλου ανήκει επίσης στην ευθεία Νεύτωνα.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα Anne
• Θεώρημα Νεύτωνα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευθεία Νεύτωνα στην πινακοθήκη γεωμετρικών θεμάτων.
• Ευθεία Νεύτωνα στο Cut the Knot.
• Διαδραστική εφαρμογή με την ευθεία Νεύτωνα στο Desmos.
• Διαδραστική εφαρμογή για την ιδιότητα ότι οι απέναντι κορυφές ισαπέχουν από την ευθεία Νεύτωνα στο Desmos.