Οκτάγωνο

Ένα κανονικό οκτάγωνο.

Ένα κυρτό οκτάγωνο.

Ένα μη-κυρτό οκτάγωνο.

Στη γεωμετρία, το οκτάγωνο είναι ένα πολύγωνο με οκτώ κορυφές και οκτώ πλευρές.

Ένα οκτάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό οκτάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $1080^{\circ }$ (ή $6\pi$ ακτίνια).
• Κάθε οκτάγωνο έχει 20 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό οκτάγωνο

Κυρτό κανονικό οκτάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	8, ισόπλευρο
Γωνίες	8, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$24$
Σύμβολο Schläfli	$\{8\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	8
Περιστροφική συμμετρία	όγδοης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$135^{\circ }$ (ή $3/4\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}=2(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=8\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda }$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	οκτάγραμμα, τετράγωνο, δεκαεξάγωνο

Ιδιότητες

Για το κανονικό οκτάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με $135^{\circ }$ (ή $3\pi /4$ ακτίνια).
• Έχει οκτώ άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία ογδόης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του οκταγώνου είναι $\{8\}$.

Οι οκτώ άξονες συμμετρίας ενός κανονικού οκταγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του οκταγώνου.

Κεντρική γωνία

Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με $\varphi =45^{\circ }$ (ή $\pi /4$ ακτίνια).

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της $\varphi /2$ είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού οκταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους

$\sin {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},\qquad \csc {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$,

$\cos {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}},\qquad \sec {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$,

$\tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1,\qquad \cot {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1$.

Απόδειξη (με θεώρημα διχοτόμου)  

Σχήμα για τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας με μέτρο $\pi /8$ ακτίνια.

Θεωρούμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με δύο κάθετες πλευρές ${\rm {AB}}={\rm {A\Gamma }}=1$ (και υποτείνουσα ${\rm {B\Gamma ={\sqrt {2}}}}$) και την διχοτόμο ${\rm {B\Delta }}$.

Έστω ${\rm {A\Delta =x}}$. Από το θεώρημα διχοτόμου έχουμε ότι

${\frac {x}{1-x}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

Λύνοντας ως προς $x$ έχουμε ότι

$x={\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}-1$.

Αφού ${\rm {B\Delta }}$ η διχοτόμος, έχουμε ότι ${\widehat {\rm {AB\Delta }}}=\pi /8$, και από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {AB\Delta }}$ έχουμε ότι

$\tan {\frac {\pi }{8}}={\frac {x}{1}}={\sqrt {2}}-1$.

Επιπλέον, η υποτείνουσα του ${\textstyle {\rm {B\Delta }}={\sqrt {1+x^{2}}}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$ και έτσι

${\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{8}}&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {(4-2{\sqrt {2}})\cdot (4-2{\sqrt {2}})}}}\\&={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {4^{2}-(2{\sqrt {2}})^{2}}}}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}$

Αντίστοιχα,

${\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{8}}&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&=({\sqrt {2}}-1)\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {(3-2{\sqrt {2}})\cdot (2+{\sqrt {2}})}}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}$

Οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί τύποι προκύπτουν από τους παραπάνω με κατάλληλη ρητοποίηση του παρονομαστή

$\cot {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{({\sqrt {2}}-1)\cdot ({\sqrt {2}}+1)}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}^{2}-1^{2}}}={\sqrt {2}}+1$.

$\csc {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{8}}}}={\frac {2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}={\frac {2{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {(2-{\sqrt {2}})\cdot (2+{\sqrt {2}})}}}={\frac {2{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2^{2}-{\sqrt {2}}^{2}}}}={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$

$\sec {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{8}}}}={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}={\frac {2{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})\cdot (2-{\sqrt {2}})}}}={\frac {2{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}{\sqrt {2^{2}-{\sqrt {2}}^{2}}}}={\sqrt {4-{\sqrt {2}}}}$.

Απόδειξη (με τριγωνομετρικές ιδιότητες)  

Από τον τύπο για το συνημίτονο αθροίσματος γωνιών και χρησιμοποιώντας ότι $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ έχουμε ότι

$\cos \theta =\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1$.

Επομένως,

$\sin {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$.

Για $\theta =\pi /4$, έχουμε ότι

$\sin {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {2}}/2}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$.

Παρομοίως, έχουμε ότι

$\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1$,

και

$\cos {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$.

Για $\theta =\pi /4$, έχουμε ότι

$\cos {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {\frac {1+{\sqrt {2}}/2}{2}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$.

Συνδυάζοντας αυτές τις τριγωνομετρικές ισότητες, λαμβάνουμε τις υπόλοιπες.

Μετρικές σχέσεις

Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού οκταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\cdot \csc {\frac {\pi }{8}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda \\&\approx 1{,}306563\cdot \lambda .\end{aligned}}$.

Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού οκταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{8}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda \\&\approx 1{,}207107\cdot \lambda .\end{aligned}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θεωρούμε το μέσο ${\rm {M}}$ της πλευράς ${\rm {AB}}$. Αν ${\rm {O}}$ είναι το κέντρο του πολυγώνου, τότε ${\rm {OM}}$ είναι η μεσοκάθετος της ${\rm {AB}}$, άρα και διχοτόμος της ${\widehat {\rm {AOB}}}$. Συνεπώς, ${\textstyle {\rm {{\widehat {AOM}}={\frac {\pi }{8}}}}}$ και από το ορθογώνιο ${\rm {AOM}}$

$\sin {\frac {\pi }{8}}={\frac {\lambda /2}{R}}\Rightarrow R={\frac {\lambda }{2}}\cdot \csc {\frac {\pi }{8}}$,

$\tan {\frac {\pi }{8}}={\frac {\lambda /2}{r}}\Rightarrow r={\frac {\lambda }{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{8}}$.

Τα τρία είδη διαγωνίων στο κανονικό οκτάγωνο.

Το κανονικό οκτάγωνο έχει

• 8 μικρές διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{1}&={\sqrt {2}}\cdot R\\&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda \\&\approx 1{,}847759\cdot \lambda ,\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Το ${\rm {AHE}}$ είναι ορθογώνιο.

Θεωρούμε το τρίγωνο ${\rm {AHE}}$, όπου ${\rm {AH}}={\rm {HE}}=d_{1}$. Επίσης, ${\rm {AE}}$ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου του κύκλου, επομένως ${\rm {AE}}=2\cdot R$ και ${\widehat {\rm {AHE}}}=90^{\circ }$.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {AHE}}$, έχουμε ότι

$(2R)^{2}=d_{1}^{2}+d_{1}^{2}$,

και καταλήγουμε ότι

$d_{1}={\sqrt {2\cdot R^{2}}}={\sqrt {2}}\cdot R$.

Όπως αποδείξαμε παραπάνω ${\textstyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda }$, από την οποία προκύπτει και η δεύτερη ζητούμενη σχέση.

• 8 μεσαίες διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{2}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\cdot R\\&=(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda \\&\approx 2{,}41421\cdot \lambda ,\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Το ${\rm {AZE}}$ είναι ορθογώνιο.

Θεωρούμε το τρίγωνο ${\rm {AZE}}$, όπου ${\rm {AZ}}=d_{2}$ και ${\rm {EZ}}=\lambda$. Επίσης, ${\rm {AE}}$ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου του κύκλου, επομένως ${\rm {AE}}=2\cdot R$ και ${\widehat {\rm {AZE}}}=90^{\circ }$.

Επίσης, η γωνία ${\widehat {\rm {EAZ}}}=\pi /8$ ως εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη γωνία ${\widehat {\rm {EOZ}}}=\pi /4$. Επομένως,

$\cos {\widehat {\rm {EAZ}}}={\frac {d_{2}}{2R}}\Rightarrow d_{2}=2\cdot R\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}$.

Όπως αποδείξαμε παραπάνω ${\textstyle \cos {\frac {\pi }{8}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ και ${\textstyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda }$, από τις οποίες προκύπτουν και οι ζητούμενες σχέσεις.

• και 4 μεγάλες διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{3}&=2\cdot R\\&={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot \lambda \\&\approx 2{,}613125\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Η $d_{3}$ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του οκταγώνου.

Το πλάτος ενός κανονικού οκταγώνου.

Το πλάτος του είναι

$w=2\cdot R$.

Το ύψος του είναι

$h=2\cdot r$.

(Θεώρημα Βιβιάνι) Για κάθε εσωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ ενός κανονικού οκταγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{8}$ από τις πλευρές του οκταγώνου είναι σταθερό, δηλαδή

$d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{8}=8\cdot r$,

όπου $r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}=4\cdot \lambda \cdot r$.

Απόδειξη  

Διαχωρισμός κανονικού πολυγώνου σε οκτώ ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Το κανονικό οκτάγωνο χωρίζεται σε $8$ ισοσκελή τρίγωνα με βάση ίση με $\lambda$ και ύψος $r$. Επομένως το εμβαδόν του οκταγώνου είναι

${\rm {E}}=8\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \lambda \cdot r=4\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=2\cdot \cot {\frac {\pi }{8}}\cdot \lambda ^{2}\\&=2(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda ^{2}\\&\approx 4{,}828427125\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας ότι $r={\frac {1}{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{8}}\cdot \lambda$ και $\cot {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1$, άρα

${\rm {E}}=4\cdot \lambda \cdot r=2(1+{\sqrt {2}})\cdot \lambda ^{2}$.

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του οκταγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=4\cdot \sin {\frac {\pi }{4}}\cdot R^{2}\\&=2{\sqrt {2}}\cdot R^{2}\\&\approx 2{,}828427\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Διαχωρισμός κανονικού πολυγώνου σε οκτώ ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Χωρίζουμε το οκτάγωνο στα $8$ ισοσκελή τρίγωνα που δημιουργούνται από το κέντρου του οκταγώνου και κάθε μία από τις πλευρές του. Αυτά τα τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες με $R$ και μεταξύ τους γωνία ίση με $\pi /4$. Από τον τύπο με ημίτονο, έχουμε ότι εμβαδόν του κάθε τριγώνου είναι ίσο με

${\frac {1}{2}}\cdot R^{2}\cdot \sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot R^{2}$.

Πολλαπλασιάζοντας επί $8$, λαμβάνουμε τον ζητούμενο τύπο.

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=8\cdot \tan {\frac {\pi }{8}}\cdot r^{2}\\&=8({\sqrt {2}}-1)\cdot r^{2}\\&\approx 3{,}313708\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας ότι $r={\frac {1}{2}}\cdot \cot {\frac {\pi }{8}}\cdot \lambda$ και $\tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1$, έχουμε ότι

${\rm {E}}=4\cdot \lambda \cdot r=8({\sqrt {2}}-1)\cdot r^{2}$.

Αν $d_{2}$ το μήκος της μεσαίας διαγωνίου, τότε

${\rm {E}}=d_{2}^{2}-\lambda ^{2}$.

Απόδειξη  

Τα τέσσερα γραμμοσκιασμένα τριγωνάκια σχηματίζουν ένα τετράγωνο πλευράς $\lambda$.

Θεωρούμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο στο κανονικό οκτάγωνο που εφάπτεται σε τέσσερις παράλληλες πλευρές του. Το τετράγωνο αυτό έχει πλευρά ίση με $d_{2}$ και τα τέσσερα γραμμοσκιασμένα ισοσκελή τρίγωνα στο διπλανό σχήμα σχηματίζουν ένα τετράγωνο πλευράς $\lambda$.

Επομένως, το εμβαδόν του οκταγώνου ισούται με την διαφορά των εμβαδών των δύο αυτών τετραγώνων, δηλαδή ${\rm {E}}=d_{2}^{2}-\lambda ^{2}$.

• Επίσης, αν $w$ είναι το πλάτος του, τότε

${\rm {E}}=2\cdot \lambda \cdot w$.

Απόδειξη  

Ο τύπος προκύπτει από τον ${\rm {E}}=4\cdot \lambda \cdot r$ καθώς $w=2\cdot r$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =8\cdot \lambda$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό οκτάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί από ένα τετράγωνο, ως εξής:

1. Βρίσκουμε το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ως την τομή των δύο διαγωνίων του.
2. Βρίσκουμε τις μεσοκαθέτους δύο διαδοχικών πλευρών του.
3. Βρίσκουμε τις τομές τους με τον περιγεγραμμένο του κύκλου.
4. Οι τέσσερις αυτές τομές και οι αρχικές κορυφές του τετραγώνου, ορίζουν ένα κανονικό οκτάγωνο.

Βήμα 1ο

Βήμα 2ο

Βήμα 3ο

Βήμα 4ο

Βήμα 5ο

Η παρακάτω κατασκευή δίνει μία πλήρη κατασκευή του κανονικού οκταγώνου με κανόνα και διαβήτη.

Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαγώνου με κανόνα και διαβήτη.

Κατασκευή με δίπλωμα χαρτιού

Κατασκευή κανονικού οκταγώνου με δίπλωμα χαρτιού.

Κατασκευή με μπάρες meccano

Κατασκευή κανονικού οκταγώνου με μπάρες meccano.

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες των κορυφών ενός κανονικού οκταγώνου το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και το οποίο έχει μήκος πλευράς 2, είναι:

• $(\pm 1,\pm (1+{\sqrt {2}}))$
• $(\pm (1+{\sqrt {2}}),\pm 1)$.

Κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο

Κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	8, ισόπλευρο
Γωνίες	8, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$24$
Σύμβολο Schläfli	$\{8/3\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	8
Περιστροφική συμμετρία	όγδοης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$45^{\circ }$ (ή $\pi /4$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	οκτάγραμμα

Υπάρχει και ένα κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο το οποίο προκύπτει από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού οκταγώνου και πλευρές μεταξύ κορυφών που απέχουν τρεις κορυφές στο αρχικό.

Πιο συγκεκριμένα, το αστεροειδές οκτάγωνο που προκύπτει από το κυρτό κανονικό οκτάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZH\Theta }}$ είναι το ${\rm {A\Delta HBE\Theta \Gamma Z}}$ και συμβολίζεται ως $\{8/3\}$

Εφαρμογές

Μιγαδική ανάλυση

Οι όγδοες ρίζες της μονάδας είναι κορυφές ενός κανονικού οκταγώνου με κέντρο την αρχή των αξόνων. Πιο συγκεκριμένα, είναι οι λύσεις της μιγαδικής εξίσωσης $z^{8}=1$ που δίνονται από

$z_{k}=e^{2k\pi i/8}=\cos {\frac {k\pi }{4}}+i\sin {\frac {k\pi }{4}}\quad$, για $k=0,1,\ldots ,7$.

Χρήσεις στην καθημερινή ζωή

• 
  Το σήμα του STOP έχει οκταγωνικό περίγεγραμμα.
• 
  Οι ομπρέλες έχουν συχνά οκταγωνικό περίγραμμα.
• 
  Το περίφημο «κιλίμι της Μπουχάρα» περιλαμβάνει στο σχέδιό του ένα οκταγωνικό μοτίβο, το «πόδι του ελέφαντα».
• 
  Η ρυμοτομία του διαμερίσματος Eixample της Βαρκελώνης βασίζεται σε ακανόνιστα οκτάγωνα.
• 
  Το Janggi χρησιμοποιεί οκταγωνικά κομμάτια.
• 
  Οι ιαπωνικές μηχανές λοταρίας έχουν συχνά οκταγωνικό σχήμα.

Σχετικά σχήματα

Επιπεδομετρία

• 
  Το τετράπλευρο που σχηματίζεται από κάθε δεύτερη κορυφή ενός κανονικού οκταγώνου είναι ένα τετράγωνο.
• 
  Χωρισμός κανονικού οκταγώνου σε οκτώ ίσα ισοσκελή τρίγωνα.
• 
  Χωρισμός κανονικού οκταγώνου σε δύο ισοσκελή τραπέζια και ένα ορθογώνιο.
• 
  Χωρισμός κανονικού οκταγώνου σε τέσσερις ίσους ρόμβους και δύο τετράγωνα.

Στερεομετρία

• 
  Το σχήμα που σχηματίζουν οι κορυφές του ομοιόμορφου πολυέδρου που ονομάζεται μέγα διρομβοεικοσιδωδεκάεδρο εμπεριέχεται σε ένα μη κανονικό οκτάπλευρο αστεροειδές πολύγωνο του οποίου 4 πλευρές περνούν από το κέντρο του.
• 
  Το οκταγωνικό πρίσμα περιλαμβάνει δύο οκτάγωνα.
• 
  Το κόλουρο κυβοκτάεδρο περιλαμβάνει 6 οκτάγωνα.
• 
  Το οκταγωνικό αντιπρίσμα περιλαμβάνει δύο οκτάγωνα.

Πλακοστρώσεις

• 
  Πλακόστρωση με οκτάγωνα και τετράγωνα.

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό οκτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω 12 ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε επίπεδα Coxeter A₇, B₄ και D₅:

A7	7-simplex	ανορθωμένο 7-simplex	διανορθωμένο 7-simplex	τριανορθωμένο 7-simplex
B4	16-cell	ανορθωμένο 16-cell	ανορθωμένο tesseract	Tesseract
D5	5-orthoplex	ανορθωμένο 5-orthoplex	ανορθωμένο demipenteract	Demipenteract

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Οκτάγωνο" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Κανονικό οκτάγωνο" από το MathWorld.
• Εγγραφή κανονικού οκταγώνου σε τετράγωνο στο φωτόδεντρο.
• Περιστροφική συμμετρία κανονικού οκταγώνου στο Geogebra.
• Κατασκευή κανονικού οκταγώνου στο Desmos.
• Κατασκευή κανονικού οκταγώνου στο Geogebra.

Δείτε επίσης

• Οκτάγραμμα
• Οκταγωνικός αριθμός
• Τετράγωνο
• Δεκαεξάγωνο