Εικοσάγωνο

Στη γεωμετρία, το εικοσάγωνο είναι ένα πολύγωνο με είκοσι κορυφές και είκοσι πλευρές.

Ένα εικοσάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό εικοσάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $3240^{\circ }$ (ή $18\pi$ ακτίνια).
• Κάθε εικοσάγωνο έχει 170 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό εικοσάγωνο

Κυρτό κανονικό εικοσάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	20, ισόπλευρο
Γωνίες	20, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$135$
Σύμβολο Schläfli	$\{20\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	18
Περιστροφική συμμετρία	εικοστής τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 162^{\circ }}$ (ή $18/20\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}=5\cot {\frac {\pi }{20}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=20\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{20}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{20}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	εικοσάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό εικοσάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 162^{\circ }}$ (ή $18\pi /20$ ακτίνια).
• Έχει είκοσι άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία εικοστής τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του εικοσαγώνου είναι $\{20\}$.

Οι είκοσι άξονες συμμετρίας ενός κανονικού εικοσαγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του εικοσαγώνου.

Κεντρική γωνία

Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με $\varphi =18^{\circ }$ (ή $\pi /10$ ακτίνια).

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της $\varphi /2$ είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους

$\sin {\frac {\pi }{20}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}},\qquad \csc {\frac {\pi }{20}}={\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+2{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}}$,

$\cos {\frac {\pi }{20}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}},\qquad \sec {\frac {\pi }{20}}={\sqrt {12+4{\sqrt {5}}-2{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}}$,

$\tan {\frac {\pi }{20}}=1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}},\qquad \cot {\frac {\pi }{20}}=1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$.

Απόδειξη  

Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για το ημίτονο και συνημίτονο των μισών γωνιών

$\sin {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\qquad$ και $\qquad \sin {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$,

καθώς και τους τριγωνομετρικούς τύπους των γωνιών $\theta =\pi /10$ (δείτε εδώ).

$\sin {\frac {\pi }{20}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}},$

$\cos {\frac {\pi }{20}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}.$

Για τις ανάστροφες τους, έχουμε

${\begin{aligned}\csc {\frac {\pi }{20}}&={\frac {4}{\sqrt {8-2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}={\frac {4{\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{\sqrt {8^{2}-\left(2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}}}}={\frac {2{\sqrt {4+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}}\\&={\sqrt {4+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}\cdot {\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}={\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+2{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sec {\frac {\pi }{20}}&={\frac {4}{\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}=\ldots ={\sqrt {12+4{\sqrt {5}}-2{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}},\end{aligned}}$

Για την εφαπτομένη, έχουμε

${\begin{aligned}\tan {\frac {\pi }{20}}&={\frac {\sin {\frac {\pi }{20}}}{\cos {\frac {\pi }{20}}}}={\frac {\sqrt {8-2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}={\frac {8-2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {8^{2}-2^{2}\cdot (10+2{\sqrt {5}})}}}={\frac {4-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {6+2{\sqrt {5}}}}}\\&={\frac {4-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {1}{{\sqrt {5}}^{2}-1^{2}}}\cdot \left(4-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\cdot ({\sqrt {5}}-1)\\&=1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.\end{aligned}}$

Αντίστοιχα,

${\begin{aligned}\cot {\frac {\pi }{20}}&={\frac {\cos {\frac {\pi }{20}}}{\sin {\frac {\pi }{20}}}}={\frac {\sqrt {8+2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{\sqrt {8-2{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}=\ldots =1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.\end{aligned}}$

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εικοσαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{20}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+2{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}}\cdot \lambda \\&\approx 3{,}196227\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εικοσαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{20}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\cdot \lambda \\&\approx 3{,}156876\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα εννιά είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό εικοσάγωνο.

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού εικοσαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{k}&=2\sin {\frac {k\pi }{20}}\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=2\cdot R$.

• Το ύψος του είναι

$h=2\cdot r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού εικοσαγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}=10\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού εικοσαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=5\cot {\frac {\pi }{20}}\cdot \lambda ^{2}\\&=5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\cdot \lambda ^{2}\\&\approx 31{,}568758\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του εικοσαγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=10\sin {\frac {\pi }{10}}\cdot R^{2}\\&={\frac {5}{2}}({\sqrt {5}}-1)\cdot R^{2}\\&\approx 3{,}090170\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=20\tan {\frac {\pi }{20}}\cdot r^{2}\\&=20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\cdot r^{2}\\&\approx 3{,}167689\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =20\cdot \lambda$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό εικοσάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, είτε με διχοτόμηση πλευρών ενός κανονικού δεκαγώνου (ή διπλή διχοτόμηση των πλευρών κανονικού πενταγώνου), είτε με ανεξάρτητο τρόπο:

Κατασκευή ενός κανονικού εικοσαγώνου.

Κατασκευή ενός κανονικού δεκαγώνου.

Αστεροειδές κανονικό εικοσάγωνο

Υπάρχουν τρία κανονικά αστεροειδή εικοσάγωνα, τα $\{20/3\}$, $\{20/7\}$ και $\{20/9\}$, που κατασκευάζονται από τις ίδιες 20 κορυφές ενός κανονικού εικοσαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε τρίτη ή ένατη κορυφή, αντιστοίχως.

Εικοσάγραμμα $\{20/3\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	20, ισόπλευρο
Γωνίες	20, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{20/3\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	20
Περιστροφική συμμετρία	εικοστής τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 126^{\circ }}$ (ή $14\pi /20$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	εικοσάγραμμα

Εικοσάγραμμα $\{20/7\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	20, ισόπλευρο
Γωνίες	20, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{20/7\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	20
Περιστροφική συμμετρία	εικοστής τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 54^{\circ }}$ (ή $6\pi /20$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	εικοσάγραμμα

Εικοσάγραμμα $\{20/9\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	20, ισόπλευρο
Γωνίες	20, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{20/9\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	20
Περιστροφική συμμετρία	εικοστής τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 18^{\circ }}$ (ή $2\pi /20$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	εικοσάγραμμα

Εφαρμογές

H «παχιά» σβάστικα ως ορθογώνιο εικοσάγωνο.

Το «Globe», το υπαίθριο κυκλικό θέατρο του θιάσου του Σαίξπηρ στην Αγγλία, ανακαλύφθηκε ότι είχε κτίσθεί πάνω σε εικοσάγωνα θεμέλια, από μια μερική ανασκαφή το 1989.

Ως σχήμα με εμβαδό, η σβάστικα είναι ένα μη κανονικό και μη κυρτό ορθογώνιο εικοσάγωνο, έχοντας εσωτερικές γωνίες 90 και 270 μοιρών.

Το κανονικό εικοσάγωνο, ένα τετράγωνο και ένα πεντάγωνο.

Το κανονικό εικοσάγωνο μαζί με ένα τετράγωνο και ένα κανονικό πεντάγωνο μπορούν επαναλαμβανόμενα να καλύψουν πλήρως ένα επίπεδο.

Διαμερισμός

Κατά τον Κόξετερ κάθε «ζωνόγωνο» (ένα $2m$-γωνο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες) μπορεί να διαμερισθεί σε $m(m-1)/2$ παραλληλόγραμμα. Αυτό ισχύει και στην ειδικότερη περίπτωση των κανονικών πολυγώνων με άρτιο αριθμό πλευρών, οπότε τα παραλληλόγραμμα είναι όλα τους ρόμβοι. Για το εικοσάγωνο, $m=10$ και μπορεί να διαμερισθεί σε 45 ρόμβους, από τους οποίους οι 5 είναι τετράγωνα. Αυτός ο μερισμός βασίζεται σε προβολή ως πολύγωνο Πέτρι ενός δεκαδιάστατου υπερκύβου. Υπάρχουν περαιτέρω διαμερισμοί, όπως σε 180 παραλληλόγραμμα.

Δεκαδιάστατος υπερκύβος	Διαμερισμός σε 45 ρόμβους				Διαμερισμός σε 180 ρόμβους

Σχετικά πολύγωνα

Το αστεροειδές πολύγωνο με είκοσι πλευρές ονομάζεται εικοσάγραμμα. Υπάρχουν τρεις κανονικές μορφές του, που συμβολίζονται με τα σύμβολο Schläfli {20/3}, {20/7} και {20/9}. Επίσης υπάρχουν πέντε κανονικά αστεροειδή σχήματα (σύνθετα) με την ίδια διάταξη κορυφών: τα 2{10}, 4{5}, 5{4}, 2{10/3}, 4{5/2} και 10{2}.

n	1	2	3	4	5
Μορφή	Κυρτό πολύγωνο	Σύνθετο	Αστεροειδές πολύγωνο	Σύνθετο
Σχήμα	{20/1} = {20}	{20/2} = 2{10}	{20/3}	{20/4} = 4{5}	{20/5} = 5{4}
Εσωτερική γωνία	162°	144°	126°	108°	90°
n	6	7	8	9	10
Μορφή	Σύνθετο	Αστεροειδές πολύγωνο	Σύνθετο	Αστεροειδές πολύγωνο	Σύνθετο
Σχήμα	{20/6} = 2{10/3}	{20/7}	{20/8} = 4{5/2}	{20/9}	{20/10} = 10{2}
Εσωτερική γωνία	72°	54°	36°	18°	0°

Παραπέρα τομές του κανονικού δεκαγώνου και δεκαγράμματος μπορούν να δώσουν ισογώνιες ενδιάμεσες μορφές εικοσαγράμματος με ισαπέχουσες κορυφές.

Κάθε κανονικό εικοσάγραμμα, {20/9}, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ημιδιχοτομημένο (quasitruncated) δεκάγωνο: t{10/9}={20/9}. Παρόμοια ένα δεκάγραμμα, που συμβολίζεται με {10/3}, έχει μια ημιδιχοτόμηση t{10/7}={20/7}, και τέλος μία απλή διχοτόμηση ενός δεκαγράμματος δίνει t{10/3}={20/3}.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Εικοσάγωνο, εικοσάγραμμα {20/3}, εικοσάγραμμα {20/7}, εικοσάγραμμα {20/9} στο PolytopeWiki.
• Τριγωνομετρικοί αριθμοί για το π/20.
• Ιδιότητα του κανονικού εικοσαγώνου στο Geogebra.