Δεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το δεκάγωνο είναι ένα πολύγωνο με δέκα κορυφές και δέκα πλευρές.

Ένα δεκάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό δωδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $1440^{\circ }$ (ή $8\pi$ ακτίνια).
• Κάθε δεκάγωνο έχει 35 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό δεκάγωνο

Κυρτό κανονικό δεκάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	10, ισόπλευρο
Γωνίες	10, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$35$
Σύμβολο Schläfli	$\{10\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	10
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 144^{\circ }}$ (ή $8/10\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\textstyle {\rm {E}}={\frac {5}{2}}\cot {\frac {\pi }{10}}\cdot \lambda ^{2}}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=10\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{10}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{10}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό δεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 144^{\circ }}$ (ή $8\pi /10$ ακτίνια).
• Έχει δέκα άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία δεκάτης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του δεκαγώνου είναι $\{10\}$.

Οι δέκα άξονες συμμετρίας ενός κανονικού δεκαγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του δεκαγώνου.

Κεντρική γωνία

Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με $\varphi =36^{\circ }$ (ή $\pi /5$ ακτίνια).

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της $\varphi /2$ είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους

$\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right),\qquad \csc {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}$,

$\cos {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}},\qquad \sec {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}$,

$\tan {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}},\qquad \cot {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$.

Απόδειξη (Με τριγωνομετρία)  

Ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 90-54-36.

Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι ${\textstyle 5\cdot {\frac {\pi }{10}}={\frac {\pi }{2}}}$, δηλαδή

$\cos \left(2\cdot {\frac {\pi }{10}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-2\cdot {\frac {\pi }{10}}\right)=\sin \left(3\cdot {\frac {\pi }{10}}\right)$.

Για ευκολία, θέτουμε ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{10}}}$, δηλαδή η παραπάνω σχέση δίνει $\cos 2\theta =\sin 3\theta$. Χρησιμοποιώντας τους τύπους για συνημίτονο αθροίσματος και για το ημίτονο αθροίσματος γωνιών έχουμε

${\begin{aligned}1-2\sin ^{2}\theta &=\sin 2\theta \cdot \cos \theta +\sin \theta \cdot \cos 2\theta \\&=2\sin \theta \cdot \cos ^{2}\theta +\sin \theta \cdot (1-2\sin ^{2}\theta )\\&=2\sin \theta \cdot (1-\sin ^{2}\theta )+\sin \theta \cdot (1-2\sin ^{2}\theta ).\end{aligned}}$

Αναδιατάσσοντας έχουμε ότι

$4\sin ^{3}\theta -2\sin ^{2}\theta -3\sin \theta +1=0$.

Θέτοντας $x=\sin \theta$, λαμβάνουμε την κυβική εξίσωση

$4x^{3}-2x^{2}-3x+1=0$.

Παρατηρώντας ότι $x=1$ είναι λύση (αλλά όχι η τιμή του ημιτόνου της γωνίας που θέλουμε), έχουμε ότι

$(4x^{2}+2x-1)\cdot (x-1)=0$.

Το τριώνυμο $4x^{2}+2x-1=0$ έχει ρίζες

$x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}$.

Η αρνητική τιμή απορρίπτεται καθώς ${\textstyle {\frac {\pi }{10}}\in (0,\pi /2)}$. Επομένως,,

$\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)$.

Από αυτή την σχέση, χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες και ρητοποίηση παρονομαστή, προκύπτουν και όλες οι υπόλοιπες

$\csc {\frac {\pi }{10}}={\frac {4}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {4({\sqrt {5}}+1)}{({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {5}}+1)}}={\frac {4({\sqrt {5}}+1)}{{\sqrt {5}}^{2}-1^{2}}}={\sqrt {5}}+1$,

$\cos {\frac {\pi }{10}}={\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\pi }{10}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {16-({\sqrt {5}}-1)^{2}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {16-(1-2{\sqrt {5}}+5)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$,

$\sec {\frac {\pi }{10}}={\frac {4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}={\frac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {10^{2}+(2{\sqrt {5}})^{2}}}}={\frac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{4{\sqrt {5}}}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}$,

${\begin{aligned}\tan {\frac {\pi }{10}}&=\sin {\frac {\pi }{10}}\cdot \sec {\frac {\pi }{10}}={\frac {1}{20}}({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}={\frac {1}{20}}{\sqrt {({\sqrt {5}}-1)\cdot (50-10{\sqrt {5}})}}\\&={\frac {1}{20}}{\sqrt {({\sqrt {5}}-1)^{2}\cdot (50-10{\sqrt {5}})}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}},\end{aligned}}$

$\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{\tan {\frac {\pi }{5}}}}={\frac {5}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}={\frac {5{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {25^{2}-(10{\sqrt {5}})^{2}}}}={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$.

Απόδειξη (Με θεώρημα Πτολεμαίου)  

Το θεώρημα Πτολεμαίου στο ${\rm {AB\Gamma E}}$ δίνει ότι ${\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {BE}}={\rm {AE}}\cdot {\rm {B\Gamma }}+{\rm {AB}}\cdot {\rm {\Gamma E}}$.

${\rm {AM}}=\lambda /2$ και ${\rm {A\Gamma }}=d$.

Έστω ένα κανονικό πεντάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$. Το πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο, επομένως το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma E}}$ είναι επίσης εγγράψιμο και επιπλέον ${\rm {AB}}={\rm {B\Gamma }}={\rm {\Gamma E}}=\lambda$ και ${\rm {A\Gamma }}={\rm {BE}}={\rm {\Gamma E}}=d$. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Πτολεμαίου στο τετράπλευρο, έχουμε ότι

$d^{2}=\lambda ^{2}+\lambda d$.

Διαιρώντας κατά μέλη με $\lambda ^{2}$ και αναδιατάσσοντας λαμβάνουμε ότι

$\left({\frac {d}{\lambda }}\right)^{2}-{\frac {d}{\lambda }}-1=0$,

το οποίο είναι ένα τριώνυμο ως προς $x=d/\lambda$. Λύνοντας το τριώνυμο, λαμβάνουμε ότι

$x_{1,2}={\frac {1}{2}}(1\pm {\sqrt {5}})$,

και επειδή ο λόγος δύο μηκών είναι θετικός αριθμός, έχουμε ότι

$d={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\cdot \lambda =\phi \cdot \lambda$,

όπου $\phi$ είναι η χρυσή τομή. Τώρα, θεωρούμε την μεσοκάθετο του ${\rm {AE}}$ η οποίο διέρχεται από το ${\rm {\Gamma }}$ και από το μέσο ${\rm {M}}$ του ${\rm {AE}}$. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {A\Gamma M}}$ η γωνία ${\textstyle {\widehat {\rm {A\Gamma M}}}={\frac {1}{2}}{\widehat {\rm {AOM}}}={\frac {\pi }{10}}}$, έχουμε

$\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {\rm {AM}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\lambda /2}{d}}={\frac {1}{2\phi }}={\frac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)$.

Όπως και στην προηγούμενη απόδειξη, προκύπτουν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{10}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\cdot \lambda \\&=\phi \cdot \lambda \\&\approx 1{,}618034\cdot \lambda .\end{aligned}}$,

όπου $\phi$ ο χρυσός λόγος.

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{10}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot \lambda \\&\approx 1{,}538842\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα τέσσερα είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκάγωνο.

• Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\begin{aligned}d_{1}&=2\sin {\frac {\pi }{10}}\cdot R={\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)\cdot R,\\d_{2}&=2\sin {\frac {2\pi }{10}}\cdot R={\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\cdot R,\\d_{3}&=2\sin {\frac {3\pi }{10}}\cdot R={\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)\cdot R,\\d_{4}&=2\sin {\frac {4\pi }{10}}\cdot R={\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=2\cdot R$.

• Το ύψος του είναι

$h=2\cdot r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}=5\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {5}{2}}\cot {\frac {\pi }{10}}\cdot \lambda ^{2}\\&={\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot \lambda ^{2}\\&\approx 7{,}694209\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=5\sin {\frac {\pi }{5}}\cdot R^{2}\\&={\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\cdot R^{2}\\&\approx 2{,}938926\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=10\tan {\frac {\pi }{10}}\cdot r^{2}\\&=2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\cdot r^{2}\\&\approx 3{,}249197\cdot r^{2}.\end{aligned}}$

Αν $h$ το ύψος του κανονικού δεκαγώνου, τότε

${\rm {E}}={\frac {5}{2}}\cdot h\cdot \lambda$,

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =10\cdot \lambda$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό δεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη.

Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαγώνου με κανόνα και διαβήτη.

Μια εναλλακτική (αλλά παρόμοια) μέθοδος είναι η εξής:

1. Κατασκευάστε ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με μία από τις μεθόδους που δίνονται στο αντίστοιχο λήμμα.
2. Εκτείνετε μία ευθεία από κάθε κορυφή του πενταγώνου διερχόμενη από το κέντρο του κύκλου προς την αντίθετη πλευρά. Το σημείο όπου η κάθε γραμμή τέμνει τον κύκλο απέναντι είναι μία κορυφή του δεκαγώνου.
3. Οι πέντε κορυφές του πενταγώνου είναι οι άλλες 5 κορυφές του δεκαγώνου. Ενώστε αυτά τα σημεία με τα νέα για να σχηματίσετε το (κανονικό) δεκάγωνο.

Ιδιότητες

Σε ένα κανονικό δεκάγωνο ΑΜ = ΑΔ.

• Σε ένα κανονικό δεκάγωνο, αν ${\rm {M}}$ το σημείο τομής του φορέα της ${\rm {AB}}$ και του φορέα της ακτίνας${\rm {O\Gamma }}$, τότε

${\rm {AM=A\Delta }}$.

Αστεροειδές κανονικό δεκάγωνο

Υπάρχει ένα κανονικό αστεροειδές δεκάγωνο, το $\{10/3\}$, που κατασκευάζεται από τις ίδιες 10 κορυφές ενός κανονικού δεκαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε πέμπτη κορυφή, αντιστοίχως.

Δεκάγραμμα $\{10/3\}$

Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	10, ισόπλευρο
Γωνίες	10, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{10/3\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	10
Περιστροφική συμμετρία	δέκατης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 72^{\circ }}$ (ή $4\pi /10$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	δεκάγραμμα

Σχετικά σχήματα

Σχέση με άλλα πολύγωνα

• 
  Ένα κανονικό πεντάγωνο μέσα σε ένα κανονικό δεκάγωνο.
• 
  Σχέση ενός ισοπλεύρου τριγώνου, ενός κανονικού δεκαγώνου και ενός κανονικού δεκαπενταγώνου με ίσες πλευρές.
• 
  Σχέση πλευρών ενός κανονικού πενταγώνου, εξαγώνου και δεκαγώνου που εγγράφονται σε κύκλο ίσης ακτίνας.

• (Πρόταση 10η, Βιβλίο 13ο, Στοιχεία Ευλείδη ) Αν ένα κανονικό πεντάγωνο πλευράς $\lambda _{5}$, ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς $\lambda _{6}$ και ένα κανονικό δεκάγωνο πλευράς $\lambda _{10}$ είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, τότε $\lambda _{5}^{2}=\lambda _{6}^{2}+\lambda _{10}^{2}$.

Πολύγωνα Πέτρι

Το κανονικό δεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter:

A9	9-simplex	ανορθωμένο 9-simplex	διανορθωμένο 9-simplex	τριανορθωμένο 9-simplex	τετρανορθωμένο 9-simplex
BC5	5-orthoplex	ανορθωμένο 5-orthoplex	διανορθωμένος 5-κύβος	ανορθωμένος 5-κύβος	5-κύβος
D6	t1(431)	t3(131)	t2(131)	t1(131)	6-ημίκυβος (131)
H3	δωδεκάεδρο Πέτρι	εικοσάεδρο Πέτρι	εικοσιδωδεκάεδρο

Εφαρμογές

Το Γκονμπάντ-ε Καμπούς, ο υψηλότερος πύργος εξ ολοκλήρου από τούβλα στον κόσμο, έχει σχήμα δεκαγώνου.

Δείτε επίσης

• Δεκαγωνικός αριθμός
• Χρυσή τομή
• Πεντάγωνο

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ορισμός και ιδιότητες του δεκαγώνου (με διαδραστική animation)
• Εγγραφή κανονικού δεκαγώνου (διαδραστική εφαρμογή)
• Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π/10 στο MathWorld.
• Διαδραστικές εφαρμογές για την κατασκευή κανονικού δεκαγώνου 1 2 και τις γωνίες δεκαγώνου 3 στο Geogebra.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Bristol, James D. (1961). «Construction and evaluation of trigonometric functions of some special angles». The Mathematics Teacher 54 (1): 4-7. https://www.jstor.org/stable/27956279. 
• Lindgren, H. (1962). «Dissecting the Decagon». The Mathematical Gazette 46 (358): 305-306. doi:10.2307/3611776. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1962-12_46_358/page/304. 
• Miller, William (1996). «Pentagons and Golden Triangles». Mathematics in School 25 (4): 2-4. https://www.jstor.org/stable/30216571. 
• Bowden, Joseph (1915). «Inscribing regular pentagons and decagons». The Mathematics Teacher 8 (2): 89-91. https://www.jstor.org/stable/27949934.