Ενδεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το ενδεκάγωνο (ή εντεκάγωνο) είναι ένα πολύγωνο με έντεκα κορυφές και έντεκα πλευρές.

Ένα εντεκάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό ενδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $1620^{\circ }$ (ή $9\pi$ ακτίνια).
• Κάθε ενδεκάγωνο έχει 44 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό ενδεκάγωνο

Κυρτό κανονικό ενδεκάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	11, ισόπλευρο
Γωνίες	11, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$44$
Σύμβολο Schläfli	$\{11\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	11
Περιστροφική συμμετρία	ενδέκατης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 147{\frac {3}{11}}^{\circ }}$ (ή $9/11\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {11}{4}}\cot {\frac {\pi }{11}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=11\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{11}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{11}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	ενδεκάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό ενδεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 147{\frac {3}{11}}^{\circ }}$ (ή $9\pi /11$ ακτίνια).
• Έχει ένδεκα άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία ενδέκατης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του ενδεκαγώνου είναι $\{11\}$.

Οι ένδεκα άξονες συμμετρίας ενός κανονικού ενδεκάγωνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ενδεκάγωνου.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού ενδεκάγωνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{11}}\cdot \lambda \approx 1{,}774733\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού ενδεκάγωνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{11}}\cdot \lambda \approx 1.702847\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα τρία είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό ενδεκάγωνο.

• Το κανονικό ενδεκάγωνο έχει τεσσάρων ειδών διαγωνίους με μήκη

${\begin{aligned}d_{k}&=2\sin {\frac {k\pi }{11}}\cdot R\end{aligned}}$.

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=d_{4}\approx 1{,}819264\cdot R$.

• Το ύψος του είναι

$h=R+r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού ενδεκάγωνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {11}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού ενδεκαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {11}{4}}\cot {\frac {\pi }{11}}\cdot \lambda ^{2}\approx 9{,}365640\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του ενδεκαγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {11}{2}}\sin {\frac {2\pi }{11}}\cdot R^{2}\approx 2{,}973524\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=11\tan {\frac {\pi }{11}}\cdot r^{2}\approx 3{,}229891\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =11\cdot \lambda$.

Κατασκευή

Το κανονικό ενδεκάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά υπάρχουν μέθοδοι κατασκευής που δίνουν πολύ καλές προσεγγίσεις, όπως η παρακάτω:

Προσεγγιστική κατασκευή του κανονικού ενδεκαγώνου.

Επειδή το 11 δεν είναι πρώτος αριθμός Pierpont, το κανονικό ενδεκάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί ούτε με βαθμονομημένο χάρακα και διαβήτη ή τριχοτομητή γωνίας (αυτό το είδος κατασκευής αποκλήθηκε από τους αρχαίους `Ελληνες νεύσις). Αλλά υπάρχουν άλλα εργαλεία που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή ενός κανονικού ενδεκαγώνου καθώς μπορεί να κατασκευαστεί και με δίπλωμα χαρτιού.

Εφαρμογές

Το κέρμα του δολαρίου Καναδά ("loonie") έχει προσεγγιστικά το σχήμα ενός κανονικού ενδεκαγωνικού πρίσματος. Το ίδιο και το κέρμα των δύο ρουπιών της Ινδίας.

Νομίσματα με σχήμα ενδεκάγωνου.

Ενδεκαγράμματα

Το κανονικό ενδεκάγωνο αποτελεί την περίμετρο τεσσάρων κανονικών ενδεκαγραμμάτων, των {11/2}, {11/3}, {11/4} και {11/5}.

$\{11/2\}$

$\{11/3\}$

$\{11/4\}$

$\{11/5\}$

Πολύγωνα Petrie

Το κανονικό ενδεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για δεκαδιάστατα ομοιομορφικά πολύτοπα της οικογένειας των simplex, που παρατίθενται εδώ σε ορθογώνια προβολή:

10-simplex

ανορθωμένο 10-simplex

διανορθωμένο 10-simplex

τριανορθωμένο 10-simplex

τετρανορθωμένο 10-simplex

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ορισμός και ιδιότητες του ενδεκαγώνου (με διαδραστική animation)

Δείτε επίσης

• Ενδεκάγραμμα