Θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν

Το θεώρημα Πάππου λέει ότι το εμβαδόν των πράσινων παραλληλογράμμων ισούται με το εμβαδόν του μπλε.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν (αναφέρεται και ως θεώρημα Κλαιρώ ή θεώρημα Clairaut) είναι ένα θεώρημα που συσχετίζεται τα εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, για δύο τυχόντα παραλληλόγραμμα $\mathrm {AB\Delta E}$ και $\mathrm {A\Gamma \Theta H}$ στις πλευρές ενός τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$, και το παραλληλόγραμμο $\mathrm {B\Gamma KI}$ με πλευρά ίση και παράλληλη με την $\mathrm {AA'}$, όπου $\mathrm {A} '$ το σημείο τομής των $\mathrm {\Delta E}$ και $\mathrm {IK}$, ισχύει ότι

$\mathrm {E} _{\mathrm {B\Gamma KI} }=\mathrm {E} _{\mathrm {AB\Delta E} }+\mathrm {E} _{\mathrm {A\Gamma \Theta H} }.$

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Πάππο της Αλεξάνδρειας.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης

Θεωρούμε τις παράλληλες στην $\mathrm {AA'}$ από το $\mathrm {B}$ και το $\mathrm {\Gamma }$ και την τομή τους $\mathrm {B} '$ με την $\mathrm {E\Delta }$ και $\mathrm {\Gamma '}$ με την $\mathrm {\Theta H}$ αντίστοιχα. Επίσης, θεωρούμε τις τομές $\mathrm {\Lambda } ,\mathrm {M}$ της προέκτασης της $\mathrm {AA'}$ με την $\mathrm {B\Gamma }$ και $\mathrm {IK}$. Τέλος, $\mathrm {B'}$ και $\mathrm {\Gamma '}$ είναι οι τομές της προέκτασης της $\mathrm {IB}$ με την $\mathrm {\Delta E}$ και της $\mathrm {K\Gamma }$ με την $\mathrm {H\Theta }$.

Τα τετράπλευρά $\mathrm {ABB'A'}$ και $\mathrm {A\Gamma \Gamma 'A'}$ έχουν δύο πλευρές παράλληλες, και επομένως είναι παραλληλόγραμμα, δηλαδή $\mathrm {AA'} =\mathrm {BB'} =\mathrm {\Gamma \Gamma '}$.

Τα παραλληλόγραμμα $\mathrm {AB\Delta E}$ και $\mathrm {ABB'A'}$ έχουν τη μία βάση κοινή και το ίδιο ύψος $u_{1}$. Άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν, δηλαδή $\mathrm {E} _{\mathrm {AB\Delta E} }=\mathrm {E} _{\mathrm {ABB'A'} }$. Επίσης, τα παραλληλόγραμμα $\mathrm {ABB'A'}$ και $\mathrm {B\Lambda MI}$ έχουν το ίδιο εμβαδόν, καθώς έχουν μία ίση βάση ($\mathrm {BB'} =\mathrm {BI}$) και κοινό ύψος το $u_{3}$. Επομένως, $\mathrm {E} _{\mathrm {AB\Delta E} }=\mathrm {E} _{\mathrm {ABB'A'} }=\mathrm {E} _{\mathrm {B\Lambda MI} }$.

Αντίστοιχα, λαμβάνουμε ότι τα παραλληλόγραμμα $\mathrm {A\Gamma \Theta H}$, $\mathrm {A\Gamma \Gamma 'A'}$ και $\mathrm {\Gamma \Lambda MK}$ έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Τέλος, ολοκληρώνουμε με

$\mathrm {E} _{\mathrm {AB\Delta E} }+\mathrm {E} _{\mathrm {A\Gamma \Theta H} }=\mathrm {E} _{\mathrm {B\Lambda MI} }+\mathrm {E} _{\mathrm {\Gamma \Lambda MK} }=\mathrm {E} _{\mathrm {B\Gamma KI} }.$

Ειδική περίπτωση

Διατύπωση θεωρήματος του Πάππου σε λατινική έκδοση το 1589.

Στην ειδική περίπτωση που τα ${\rm {AB\Delta E}}$ και ${\rm {A\Gamma \Theta H}}$ είναι τετράγωνα, έχουμε ότι το ${\rm {B\Gamma IK}}$ είναι επίσης τετράγωνο καθώς ${\rm {AA'=B\Gamma }}$ (καθώς τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {AA'H}}$ και ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ίσα, αφού έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες). Επομένως, ο τύπος

$\mathrm {E} _{\mathrm {B\Gamma KI} }=\mathrm {E} _{\mathrm {AB\Delta E} }+\mathrm {E} _{\mathrm {A\Gamma \Theta H} },$

μας δίνει το Πυθαγόρειο θεώρημα

${\rm {B\Gamma }}^{2}={\rm {AB}}^{2}+{\rm {A\Gamma }}^{2}$.

Δείτε επίσης

• Εμβαδόν
• Παραλληλόγραμμο