Ισοσκελές τραπέζιο

Ισοσκελές τραπέζιο με $\mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma }$, ${\hat {\rm {A}}}={\hat {\rm {B}}}$ και ${\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {\Delta }}}$.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ισοσκελές τραπέζιο είναι ένα τραπέζιο στο οποίο οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

Από αυτή την ιδιότητα έπεται ότι και οι προσκείμενες στις βάσεις του γωνίες είναι ανά δύο ίσες.

Ένα ισοσκελές τραπέζιο που είναι και ορθογώνιο είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Ιδιότητες

• Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με ${\rm {A\Delta }}={\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {AB}}\geq {\rm {\Gamma \Delta }}$, και ύψη του τα ${\rm {\Gamma \Gamma '}}$ και ${\rm {\Delta \Delta '}}$, ισχύει ότι

$\mathrm {A\Delta '} =\mathrm {B\Gamma '} ={\frac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}.$

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {\Delta \Delta 'A}}$ και ${\rm {\Gamma \Gamma 'B}}$ έχουν

• ${\rm {\Delta \Delta '=\Gamma \Gamma '}}$
• ${\rm {A\Delta =B\Gamma }}$

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή $\mathrm {A\Delta '} =\mathrm {B\Gamma '}$.
Το τετράπλευρο $\mathrm {\Delta '\Gamma '\Gamma \Delta }$ έχει τις απέναντι πλευρές του $\mathrm {\Delta \Delta '}$ και $\mathrm {\Gamma \Gamma '}$ ίσες και παράλληλες άρα είναι ορθογώνιο και συνεπώς έχει και τις $\mathrm {\Delta '\Gamma '=\Delta \Gamma }$.
Άρα είναι

$\mathrm {A\Delta '} +\mathrm {B\Gamma '} =\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta '\Gamma '}$

$2\mathrm {A\Delta '} =\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma }$

$\mathrm {A\Delta '} =\mathrm {B\Gamma '} ={\frac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}.$

$\square$

• Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι προσκείμενες σε μία βάση γωνίες του είναι ίσες.

Απόδειξη  

Οι προσκείμενες σε μία βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες.

($\Rightarrow$) Έστω το ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με ${\rm {A\Delta }}={\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {AB}}\geq {\rm {\Gamma \Delta }}$, και τα ύψη του ${\rm {\Gamma \Gamma '}}$ και ${\rm {\Delta \Delta '}}$.
Θα αποδείξουμε ότι οι προσκείμενες σε μία βάση γωνίες του είναι ίσες.
Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {\Delta \Delta 'A}}$ και ${\rm {\Gamma \Gamma 'B}}$ έχουν

• ${\rm {\Delta \Delta '=\Gamma \Gamma '}}$
• ${\rm {A\Delta =B\Gamma }}$

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα.
Δηλαδή ${\hat {\rm {A}}}={\hat {\rm {B}}}$ και ${\widehat {\rm {A\Delta \Delta '}}}={\widehat {\rm {B\Gamma \Gamma '}}}$.
Επομένως, ${\hat {\rm {\Delta }}}={\widehat {\rm {A\Delta \Delta '}}}+90^{o}={\widehat {\rm {B\Gamma \Gamma '}}}+90^{o}={\hat {\rm {\Gamma }}}$.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι οι προσκείμενες σε μία βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες.
($\Leftarrow$) Έστω το τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με ${\rm {AB}}\geq {\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\hat {\rm {A}}}={\hat {\rm {B}}}$. Φέρνουμε τα δύο ύψη του τραπεζίου ${\rm {\Gamma \Gamma '}}$ και ${\rm {\Delta \Delta '}}$.
Θα αποδείξουμε ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές δηλαδή ότι είναι ${\rm {A\Delta =B\Gamma }}$.
Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {\Delta \Delta 'A}}$ και ${\rm {\Gamma \Gamma 'B}}$ έχουν

• ${\rm {\Delta \Delta '=\Gamma \Gamma '}}$
• ${\hat {\rm {A}}}={\hat {\rm {B}}}$

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, ${\rm {A\Delta =B\Gamma }}$. Αποδείξαμε λοιπόν ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές.$\quad \square$

• Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

Απόδειξη  

Οι διαγώνιες ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες.

($\Rightarrow$) Έστω το ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με ${\rm {A\Delta }}={\rm {B\Gamma }}$ και $\mathrm {A\Gamma }$, $\mathrm {B\Delta }$ οι διαγώνιοί του.
Θα αποδείξουμε ότι οι διαγώνιοί του είναι ίσες.
Τα τρίγωνα $\mathrm {A\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {B\Delta \Gamma }$ έχουν

• $\mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma }$,
• ${\hat {\mathrm {\Delta } }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ και
• $\mathrm {\Gamma \Delta } =\mathrm {\Delta \Gamma }$.

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta }$.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

($\Leftarrow$) Έστω $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ ένα τραπέζιο με ίσες διαγωνίους, $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta }$ και έστω $\mathrm {O}$ το σημείο τομής τους. Θεωρούμε επίσης τα δύο ύψη $\mathrm {AA'}$ και $\Delta \Delta '$.
Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AA'\Gamma }$ και $\mathrm {\Delta \Delta 'B}$ έχουν

• $\mathrm {AA'} =\Delta \Delta '$ είναι η απόσταση των παραλλήλων $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma }$ και
• $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta }$

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, ${\widehat {\rm {A\Gamma A'}}}={\widehat {\rm {\Delta B\Delta '}}}$.

Λόγω της παραλληλίας των $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$, προκύπτει ότι

${\widehat {\rm {A\Gamma \Delta }}}={\widehat {\rm {\Gamma AB}}}$ και ${\widehat {\rm {AB\Delta }}}={\widehat {\rm {B\Delta \Gamma }}}$, (ως εντός εναλλάξ).

Επομένως, τα τρίγωνα $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ και $\mathrm {AOB}$ είναι ισοσκελή, άρα $\mathrm {AO} =\mathrm {BO}$ και $\mathrm {O\Gamma } =\mathrm {O\Delta }$.
Τα τρίγωνα $\mathrm {AO\Delta }$ και $\mathrm {BO\Gamma }$ έχουν

• $\mathrm {AO} =\mathrm {BO}$,
• $\mathrm {O\Gamma } =\mathrm {O\Delta }$,
• ${\widehat {\rm {AO\Delta }}}={\widehat {\rm {BO\Gamma }}}$

Άρα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή είναι $\mathrm {A\Delta } =\mathrm {B\Gamma }$.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές.

$\square$

• Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν είναι εγγράψιμο.

Απόδειξη  

Ισοσκελές τραπέζιο με τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

($\Rightarrow$) Έστω το ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με ${\rm {A\Delta }}={\rm {B\Gamma }}$.

Τότε είναι

• ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {B} }}$ και ${\hat {\mathrm {\Delta } }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$, σύμφωνα με την δεύτερη ιδιότητα του ισοσκελούς τραπεζίου,
• ${\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {\Delta } }}=180^{o}$, ως εντός και επί ταυτά των παραλλήλων $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma }$ που τέμνονται από την $\mathrm {A\Delta }$.

Άρα είναι ${\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=180^{o}$.
Συνεπώς το τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διότι έχει δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές.

($\Leftarrow$) Έστω το εγγράψιμο τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$.

Τότε είναι

• ${\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=180^{o}$ ως απέναντι γωνίες γωνίες εγγράψιμου τραπεζίου ${\hat {\mathrm {A} }}$,
• ${\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {\Delta } }}=180^{o}$, ως εντός και επί ταυτά των παραλλήλων $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Delta \Gamma }$ που τέμνονται από την $\mathrm {A\Delta }$.

Άρα είναι ${\hat {\mathrm {\Gamma } }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}$.

Και σύμφωνα με την δεύτερη ιδιότητα του ισοσκελούς τραπεζίου το τραπέζιο είναι ισοσκελές.

$\square$

Η μεσοκάθετος των βάσεων.

• Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο το σημείο τομής των διαγωνίων του και το σημείο τομής των μη-παράλληλων πλευρών του ανήκουν στην κοινή μεσοκάθετο των βάσεών του.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης..

Έστω το ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με $\mathrm {AB||\Gamma \Delta }$ και ${\rm {A\Delta }}={\rm {B\Gamma }}$. Έστω $\mathrm {O}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Αποδείξαμε στην τρίτη ιδιότητα ότι τα τρίγωνα $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ και $\mathrm {AOB}$ είναι ισοσκελή, άρα $\mathrm {OA} =\mathrm {OB}$ και $\mathrm {O\Gamma } =\mathrm {O\Delta }$. Δηλαδή το σημείο $\mathrm {O}$ ανήκει στην μεσοκάθετο των δύο βάσεων $\mathrm {AB,\Gamma \Delta }$ του τραπεζίου.

Έστω $\mathrm {O'}$ το σημείο τομής των προεκτάσεων των μη παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου. Το τρίγωνο $\mathrm {O'AB}$ είναι ισοσκελές διότι οι γωνίες ${\hat {\mathrm {A} }}$ και ${\hat {\mathrm {B} }}$ του τραπεζίου είναι ίσες. Άρα είναι $\mathrm {O'A} =\mathrm {O'B}$.

Kαι το τρίγωνο $\mathrm {O'\Delta \Gamma }$ είναι ισοσκελές διότι οι γωνίες ${\widehat {\mathrm {O'\Delta \Gamma } }}$ και ${\widehat {\mathrm {O'\Gamma \Delta } }}$ είναι ίσες ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ${\hat {\mathrm {\Delta } }},{\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ του ισοσκελούς τραπεζίου άρα, είναι $\mathrm {O'\Gamma } =\mathrm {O'\Delta }$.

Δηλαδή το σημείο $\mathrm {O'}$ ανήκει στην μεσοκάθετο των δύο βάσεων $\mathrm {AB,\Gamma \Delta }$ του τραπεζίου.

Αποδείξαμε λοπόν ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου και το σημείο τομής των μη-παραλλήλων πλευρών του ανήκουν στην κοινή μεσοκάθετο των βάσεών του.$\quad \square$

Μετρικές σχέσεις

Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με ${\rm {AB}}\geq {\rm {\Delta \Gamma }}$, $\mathrm {AB||\Delta \Gamma }$ και ${\rm {A\Delta }}={\rm {B\Gamma }}$ ισχύουν οι παρακάτω μετρικές σχέσεις:

• Το μήκος των διαγωνίων του δίνεται από τον τύπο

$\mathrm {B\Delta } =\mathrm {A\Gamma } ={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } }}.$

Απόδειξη  

Κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο. Σύμφωνα με το θεώρημα του Πτολεμαίου ισχύει ότι,

$\mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {B\Gamma } +\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Delta \Gamma }$.

(1)

Στο ισοσκελές τραπέζιο είναι

• ${\rm {A\Delta }}={\rm {B\Gamma }}$
• $\mathrm {B\Delta } =\mathrm {A\Gamma }$, οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Επομένως η ισότητα (1) γράφεται

$\mathrm {B\Delta } ^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Delta \Gamma }$ άρα,

$\mathrm {B\Delta } =\mathrm {A\Gamma } ={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } }}.$

$\square$

• Το μήκος του ύψους του ισοσκελούς τραπεζίου δίνεται από τον τύπο

$\upsilon ={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}\right)^{2}}}.$

Απόδειξη  

Έστω $\mathrm {\Gamma \Gamma '}$ και $\mathrm {\Delta \Delta '}$ τα ύψη του τραπεζίου. Ονομάζουμε $\upsilon =\mathrm {\Gamma \Gamma '} =\mathrm {\Delta \Delta '} .$

Είναι και

$\mathrm {A\Delta '} =\mathrm {B\Gamma '} ={\frac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}.$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {A\Delta \Delta '}}$ εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε,

$\mathrm {A\Delta ^{2}} =\mathrm {A\Delta '^{2}} +\mathrm {\Delta \Delta '^{2}}$

$\mathrm {\Delta \Delta '^{2}} =\mathrm {A\Delta ^{2}} -\mathrm {A\Delta '^{2}}$

$\upsilon ^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}\right)^{2}$ άρα,

$\upsilon ={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}\right)^{2}}}.$

$\square$

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου δίνεται από τον τύπο

$R={\frac {\mathrm {A\Delta \cdot {\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } }}} }{\sqrt {4\cdot \mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }\right)^{2}}}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ ταυτίζεται με αυτόν του τριγώνου $\mathrm {A\Delta B}$.

Εφαρμόζοντας στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta B}$ τον νόμο των ημιτόνων, έχουμε

$2R={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\sin {\mathrm {A} }}}$.

(1)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Delta '}$ βρίσκουμε ότι,

$\sin {\mathrm {A} }={\frac {\rm {\Delta \Delta '}}{\mathrm {A\Delta } }}$.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, χρησιμοποιώντας ότι ${\textstyle {\rm {A\Delta '}}={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } \right)}$, έχουμε ότι

${\rm {\Delta \Delta '}}={\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}\right)^{2}}}$,

και συνεπώς

$\sin {\mathrm {A} }={\frac {1}{\mathrm {A\Delta } }}\cdot {\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}\right)^{2}}}$.

Αντικαθιστούμε το $\sin {\mathrm {A} }$ και τον τύπο για την διαγώνιο $\mathrm {B\Delta }$ στην (1) και έχουμε,

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\sin {\mathrm {A} }}}\\&={\frac {\mathrm {A\Delta \cdot B\Delta } }{2\cdot {\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }{2}}\right)^{2}}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\phantom {R}}&={\frac {\mathrm {A\Delta \cdot {\sqrt {\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } }}} }{\sqrt {4\cdot \mathrm {A\Delta } ^{2}-\left({\mathrm {AB} -\mathrm {\Delta \Gamma } }\right)^{2}}}}.\end{aligned}}$.

$\square$

Εμβαδόν

Έστω ένα ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με $\mathrm {AB||\Delta \Gamma }$ και ${\rm {B\Gamma =\Delta A}}$. Ονομάζουμε $\alpha ={\rm {AB}}$, $\beta ={\rm {B\Gamma }}$, $\gamma ={\rm {\Gamma \Delta }}$ και $\delta ={\rm {\Delta A}}$. Το εμβαδόν του ισοσκελούς τραπεζίου δίνεται από τους εξής τύπους:

• (Τύπος Βραχμαγκούπτα) Αφού το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο, εφαρμόζοντας τον τύπο Βραχμαγκούπτα, το εμβαδόν του τραπεζίου δίνεται από:

$\mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )^{2}\cdot (\tau -\gamma )}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{4}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ είναι η ημιπερίμετρος του τραπεζίου.

• Από τον τύπο για το εμβαδόν του τραπεζίου και την παραπάνω έκφραση για το ύψος έχουμε ότι

${\begin{aligned}\mathrm {E} &={\frac {\alpha +\gamma }{2}}\cdot \upsilon \\&={\frac {\alpha +\gamma }{2}}\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha -\gamma }{2}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$

Ειδικές περιπτώσεις

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Ένα ισοσκελές τραπέζιο που είναι και ορθογώνιο, δηλαδή έχει μία από τις γωνίες του ορθές είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Τρεις πλευρές ίσες

Ισοσκελές τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

Μία ειδική περίπτωση του ισοσκελούς τραπεζίου είναι αυτό που έχει τις δύο μη-παράλληλες πλευρές και μία από τις βάσεις ίσες.

Δείτε επίσης

• Τραπέζιο
• Ορθογώνιο τρίγωνο
• Ισοσκελές τρίγωνο

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Hoehn, Larry (2012). «The isosceles trapezoid and its dissecting similar triangles». Forum Geometricorum (12): 27-36. https://web.archive.org/web/20230131063759/https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201204.pdf.