Εννεάγωνο

Στη γεωμετρία, το εννεάγωνο (ή εννιάγωνο) είναι ένα πολύγωνο με εννέα κορυφές και εννέα πλευρές.

Ένα εννεάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό εννεάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $1260^{\circ }$ (ή $7\pi$ ακτίνια).
• Κάθε εννεάγωνο έχει 27 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό εννεάγωνο

Κυρτό κανονικό εννεάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	9, ισόπλευρο
Γωνίες	9, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$27$
Σύμβολο Schläfli	$\{9\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	9
Περιστροφική συμμετρία	έβδομης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 140^{\circ }}$ (ή $7/9\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {9}{4}}\cot {\frac {\pi }{9}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=9\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{9}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{9}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	εννεάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό εννεάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 140^{\circ }}$ (ή $7\pi /9$ ακτίνια).
• Έχει εννιά άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία ένατης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του εννεαγώνου είναι $\{9\}$.

Οι εννιά άξονες συμμετρίας ενός κανονικού εννεαγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του εννεαγώνου.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εννεαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{9}}\cdot \lambda \approx 1{,}461902\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εννεαγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{9}}\cdot \lambda \approx 1{,}373739\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα τρία είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό εννεάγωνο.

• Το κανονικό εννεάγωνο έχει
  • εννιά μικρές διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{1}&=2\sin {\frac {\pi }{9}}\cdot R\approx 0{,}684040\cdot R,\end{aligned}}$

• εννιά μεσαίες διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{1}&=2\sin {\frac {2\pi }{9}}\cdot R\approx 1{,}285575\cdot R,\end{aligned}}$

• και εννιά μεγάλες διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{2}&=2\sin {\frac {3\pi }{9}}\cdot R\approx 1{,}928363\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=d_{3}$.

• Το ύψος του είναι

$h=R+r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού εννεαγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {9}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού εννεαγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {9}{4}}\cot {\frac {\pi }{9}}\cdot \lambda ^{2}\approx 6.181824\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του εννεαγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {9}{2}}\sin {\frac {2\pi }{9}}\cdot R^{2}\approx 2{,}892544\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=9\tan {\frac {\pi }{9}}\cdot r^{2}\approx 3{,}275732\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =9\cdot \lambda$.

Κατασκευή

Το κανονικό εννεάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά υπάρχουν μέθοδοι κατασκευής που δίνουν πολύ καλές προσεγγίσεις, όπως η παρακάτω η οποία κατασκευάζει κεντρική γωνία $39.99906^{\circ }$ (που είναι πολύ κοντά στις $40^{\circ }$:

Προσεγγιστική κατασκευή εννεαγώνου.

Επίσης μπορεί να κατασκευαστεί με την χρήση νεύσης ή ενός τριχοτομητή γωνίας.

Κατασκευή κανονικού εννεαγώνου με χρήση τριχοτομητή γωνίας.

Κατασκευή κανονικού εννεαγώνου με την χρήση νεύσης.

Λοιπές μετρικές σχέσεις

• Ισχύει ότι $d_{3}=d_{1}+\lambda$.
• Ισχύει ότι

${\frac {1}{\lambda }}={\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{3}}}$.

• Οι εξής τριγωνομετρικές ταυτότητες μπορούν να αποδειχθούν θεωρώντας το κανονικό εννεάγωνο:

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}$, (Νόμος του Morrie)

$\tan 80^{\circ }=\tan 70^{\circ }+\tan 60^{\circ }+\tan 50^{\circ }$,

$\tan 20^{\circ }\cdot \tan 40^{\circ }\cdot \tan 80^{\circ }=\tan 60^{\circ }$.

Αστεροειδές κανονικό εννεάγωνο

Υπάρχουν δύο είδη από αστεροειδή κανονικά εννεάγωνα, τα οποία προκύπτουν από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού εννεαγώνου και ως πλευρές κάποιες από τις διαγωνίους του. Πιο συγκεκριμένα το $\{9/2\}$ συνδέει την κάθε κορυφή με την κάθε δεύτερη γειτονική της και το $\{9/4\}$ με κάθε τέταρτη.

Εννεάγραμμα $\{9/2\}$

Το αστεροειδές εννεάγωνο ${\rm {A\Gamma EHIB\Delta Z\Theta }}$ που προκύπτει από το κανονικό εννεάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZH\Theta I}}$.
Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	9, ισόπλευρο
Γωνίες	9, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{9/2\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	9
Περιστροφική συμμετρία	ένατης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$100^{\circ }$ (ή $5\pi /9$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	εννεάγραμμα

Εννεάγραμμα $\{9/4\}$

Το αστεροειδές εννεάγωνο ${\rm {AEI\Delta \Theta \Gamma HBZ}}$ που προκύπτει από το κανονικό εννεάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZH\Theta I}}$.
Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	9, ισόπλευρο
Γωνίες	9, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{9/4\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	9
Περιστροφική συμμετρία	ένατης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$20^{\circ }$ (ή $\pi /9$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	εννεάγραμμα

Εφαρμογές

Στην αρχιτεκτονική, αρκετά κτήρια έχουν κάτοψη εννεαγώνου.

Δείτε επίσης

• Εννεάγραμμα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ιδιότητες του κανονικού εννεαγώνου (με διαδραστικό animation)
• Διαδραστική εφαρμογή για το άθροισμα γωνιών ενός εννεαγώνου στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή με τις διαγωνίους ενός κανονικού εννεαγώνου στο Desmos.
• Διαδραστική εφαρμογή για το εννεάγραμμα {9/2} και το {9/4} στο Geogebra.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Geretschlager, Robert (1997). «Folding the regular nonagon». Crux 23 (4): 210-217. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/CRUXv23n4.pdf. 
• Thébault, Victor; Steinberg, Robert (1945). «E627: Construct an enneagon, given the centers of exterior squares described on the sides». The American Mathematical Monthly 52 (2): 99-100. doi:10.2307/2304374. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1945-02_52_2/page/n42. 
• Miles, David; Pritchard, Chris (2008). «Three Trigonometric Results from a Regular Nonagon». Mathematics in School 37 (5): 12-13. https://www.jstor.org/stable/30212315.