Ιαπωνικό θεώρημα

Οι εγγγεγραμμένοι κύκλοι $({\rm {I}}_{1},\rho _{1}$, $({\rm {I}}_{2},\rho _{2})$, $({\rm {I}}_{3},\rho _{3})$, $({\rm {I}}_{4},\rho _{4})$ των τριγώνων ${\rm {AB\Gamma }}$, ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ και ${\rm {\Delta AB}}$.

Στην γεωμετρία, το Ιαπωνικό θεώρημα για εγγεγραμμένα τετράπλευρα λέει ότι σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ για τις ακτίνες $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4}$ των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ${\rm {AB\Gamma }}$, ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ και ${\rm {\Delta AB}}$ ισχύει ότι

$\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

Απόδειξη

Σχήμα για την απόδειξη του ιαπωνικού θεωρήματος για τετράπλευρα.

Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Καρνό για τα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$. Καθώς το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο έχουμε ότι η ${\hat {\rm {B}}}$ και η ${\hat {\rm {\Delta }}}$ είναι παραπληρωματικές γωνίες. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υποθέσουμε ότι ${\hat {\rm {B}}}>90^{\circ }$. Έστω $s_{1}\in \{-1,1\}$ με $s_{1}=1$ ανν το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και το περίκεντρο ${\rm {O}}$ είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία της ${\rm {AB}}$. Αντίστοιχα, ορίζουμε $s_{2},s_{3},s_{4}\in \{-1,1\}$ για τις πλευρές ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Delta A}}$

Τότε για το τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ ισχύει ότι

$R+\rho _{1}=-{\rm {OM_{5}}}+s_{1}\cdot {\rm {OM_{1}}}+2_{2}\cdot {\rm {OM_{2}}}$,

όπου ${\rm {M}}_{1}$, ${\rm {M}}_{2}$, ${\rm {M}}_{3}$, ${\rm {M}}_{4}$, ${\rm {M}}_{5}$ τα μέσα των ${\rm {AB}}$, ${\rm {B\Gamma }}$, ${\rm {\Gamma \Delta }}$, ${\rm {\Delta A}}$ και ${\rm {A\Gamma }}$, αντίστοιχα, και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου.

Παρομοίως, για το τρίγωνο ${\rm {A\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

$R+\rho _{3}={\rm {OM_{5}}}+s_{3}\cdot {\rm {OM_{3}}}+s_{4}\cdot {\rm {OM_{4}}}$,

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω εξισώσεις έχουμε ότι

$\rho _{1}+\rho _{3}=s_{1}\cdot {\rm {OM_{1}}}+s_{2}\cdot {\rm {OM_{2}}}+s_{3}\cdot {\rm {OM_{3}}}+s_{4}\cdot {\rm {OM_{4}}}-2R$.

Αντίστοιχα, από τα τρίγωνα ${\rm {AB\Delta }}$ και ${\rm {B\Gamma \Delta }}$, λαμβάνουμε ότι

$\rho _{2}+\rho _{4}=s_{1}\cdot {\rm {OM_{1}}}+s_{2}\cdot {\rm {OM_{2}}}+s_{3}\cdot {\rm {OM_{3}}}+s_{4}\cdot {\rm {OM_{4}}}-2R$.

Καταλήγουμε ότι $\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$.

Για εγγεγραμμένα πολύγωνα

Δύο τριγωνισμοί ενός εγγεραμμένου πενταγώνου, για τα οποία ισχύει ότι $\rho _{1}+\rho _{2}+\rho _{3}$ είναι το ίδιο.

Το θεώρημα γενικεύεται για εγγεγραμμένα πολύγωνα, όπου οποιοσδήποτε τριγωνισμός του πολυγώνου δίνει το ίδιο άθροισμα ακτινών των εγγεγραμμένων τους κύκλων.

Αυτή η γενίκευση μπορεί να αποδειχτεί με μία τροποποίηση της παραπάνω απόδειξης. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε τρίγωνο ${\rm {A}}_{i}{\rm {B}}_{i}{\rm {\Gamma }}_{i}$ εφαρμόζουμε το θεώρημα Καρνό και προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη. Κάθε όρος ${\rm {OM}}_{j}$ όπου ${\rm {M}}_{j}$ το μέσο μίας διαγωνίου εμφανίζεται μία φορά με αρνητικό πρόσιμο και μία με θετικό, άρα απαλοίφεται από το άθροισμα. Εν αντιθέσει, κάθε όρος ${\rm {OM}}_{j}$ όπου ${\rm {M}}_{j}$ το μέσο μίας πλευράς εμφανίζεται μία φορά στο άθροισμα και κάθε φορά με το ίδιο πρόσιμο $s_{i}$. Επομένως, το άθροισμα είναι ίσο με

$\sum _{i=1}^{n-1}\rho _{i}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\cdot {\rm {OM}}_{i}-(n-1)\cdot R$,

και ανεξάρτητο του τριγωνισμού.

Δείτε επίσης

• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
• Θεώρημα Καρνό (ακτίνες)