Πεντάγωνο

Αυτό το λήμμα αφορά το πεντάγωνο στη γεωμετρία. Για άλλες χρήσεις, δείτε: Πεντάγωνο (αποσαφήνιση).

Ένα κυρτό πεντάγωνο.

Ένα μη-κυρτό πεντάγωνο.

Ένα μη-απλό πεντάγωνο.

Στη γεωμετρία, το πεντάγωνο είναι ένα πολύγωνο με πέντε κορυφές και πέντε πλευρές.

Ένα πεντάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό πεντάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $540^{\circ }$ (ή $3\pi$ ακτίνια).
• Κάθε πεντάγωνο έχει 5 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό πεντάγωνο

Κυρτό κανονικό πεντάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	5, ισόπλευρο
Γωνίες	5, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$5$
Σύμβολο Schläfli	$\{5\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	5
Περιστροφική συμμετρία	πέμπτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$108^{\circ }$ (ή $3/5\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=5\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{10}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot \lambda }$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	πεντάγραμμα, δεκάγωνο
Στερεά σχήματα	δωδεκάεδρο

Ιδιότητες

Για το κανονικό πεντάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με $108^{\circ }$ (ή $3\pi /5$ ακτίνια).
• Έχει πέντε άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του πενταγώνου είναι $\{5\}$.

Οι πέντε άξονες συμμετρίας ενός κανονικού πενταγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του πενταγώνου.

Κεντρική γωνία

Η κεντρική του γωνία, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με $\varphi =72^{\circ }$ (ή $2\pi /5$ ακτίνια).

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της $\varphi /2$ είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους

$\sin {\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}},\qquad \csc {\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}$,

$\cos {\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),\qquad \sec {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {5}}-1$,

$\tan {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}},\qquad \cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$.

Απόδειξη (Με τριγωνομετρία)  

Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι

$\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin \left(\pi -{\frac {2\pi }{5}}\right)=\sin {\frac {2\pi }{5}}$.

Για ευκολία, θέτουμε ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{5}}}$, δηλαδή η παραπάνω σχέση δίνει $\sin 2\theta =\sin 3\theta$. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον ημίτονο αθροίσματος γωνιών έχουμε

${\begin{aligned}2\sin \theta \cos \theta &=\sin 2\theta \cos \theta +\sin \theta \cos 2\theta \\&=2\sin \theta \cos ^{2}\theta +\sin \theta \cdot (2\cos ^{2}\theta -1).\end{aligned}}$

Απαλοίφοντας το $\sin \theta$ (καθώς δεν είναι μηδέν) και από τα δύο μέλη, λαμβάνουμε ότι

$4\cos ^{2}\theta -2\cos \theta =1=0$,

το οποίο είναι ένα τριώνυμο για $x=\cos \theta$. Λύνοντας το τριώνυμο ως προς $x$, λαμβάνουμε

$x_{1,2}={\frac {1}{4}}(1\pm {\sqrt {5}})$.

Κσθώς το $\cos \theta$ είναι θετικό λαμβάνουμε

$\cos {\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})$.

Από αυτή την σχέση, χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες και ρητοποίηση παρονομαστή, προκύπτουν και όλες οι υπόλοιπες

$\sec {\frac {\pi }{5}}={\frac {4}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {4({\sqrt {5}}-1)}{(1+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-1)}}={\frac {4({\sqrt {5}}-1)}{{\sqrt {5}}^{2}-1^{2}}}={\sqrt {5}}-1$,

$\sin {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{5}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {16-(1+{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {16-(1+2{\sqrt {5}}+5)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$,

$\csc {\frac {\pi }{5}}={\frac {4}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}={\frac {4{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {10^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}}={\frac {4{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{4{\sqrt {5}}}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}$,

$\tan {\frac {\pi }{5}}={\frac {\sin {\frac {\pi }{5}}}{\cos {\frac {\pi }{5}}}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{{\sqrt {5}}+1}}={\sqrt {\frac {10-2{\sqrt {5}}}{6+2{\sqrt {5}}}}}={\sqrt {\frac {(10-2{\sqrt {5}})\cdot (6-2{\sqrt {5}})}{6^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}}={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$,

$\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{\tan {\frac {\pi }{5}}}}={\frac {1}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}}={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$.

Απόδειξη (Με θεώρημα Πτολεμαίου)  

Το θεώρημα Πτολεμαίου στο ${\rm {AB\Gamma E}}$ δίνει ότι ${\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {BE}}={\rm {AE}}\cdot {\rm {B\Gamma }}+{\rm {AB}}\cdot {\rm {\Gamma E}}$.

Έστω ένα κανονικό πεντάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$. Το πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο, επομένως το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma E}}$ είναι επίσης εγγράψιμο και επιπλέον ${\rm {AB}}={\rm {B\Gamma }}={\rm {\Gamma E}}=\lambda$ και ${\rm {A\Gamma }}={\rm {BE}}={\rm {\Gamma E}}=d$. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Πτολεμαίου στο τετράπλευρο, έχουμε ότι

$d^{2}=\lambda ^{2}+\lambda d$.

Διαιρώντας κατά μέλη με $\lambda ^{2}$ και αναδιατάσσοντας λαμβάνουμε ότι

$\left({\frac {d}{\lambda }}\right)^{2}-{\frac {d}{\lambda }}-1=0$,

το οποίο είναι ένα τριώνυμο ως προς $x=d/\lambda$. Λύνοντας το τριώνυμο, λαμβάνουμε ότι

$x_{1,2}={\frac {1}{2}}(1\pm {\sqrt {5}})$,

και επειδή ο λόγος δύο μηκών είναι θετικός αριθμός, έχουμε ότι

$d={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\cdot \lambda =\phi \cdot \lambda$,

όπου $\phi$ είναι η χρυσή τομή.

${\rm {AM}}=\lambda /2$ και ${\rm {A\Gamma }}=d$.

Τώρα, θεωρούμε την μεσοκάθετο του ${\rm {AE}}$ η οποίο διέρχεται από το ${\rm {\Gamma }}$ και από το μέσο ${\rm {M}}$ του ${\rm {AE}}$. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {A\Gamma M}}$ η γωνία ${\textstyle {\widehat {\rm {A\Gamma M}}}={\frac {1}{2}}{\widehat {\rm {AOM}}}={\frac {\pi }{10}}}$, έχουμε

$\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {\rm {AM}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\lambda /2}{d}}={\frac {1}{2\phi }}$.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το συνημίτονο αθορίσματος γωνιών, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{5}}&=1-2\sin ^{2}{\frac {\pi }{10}}\\&=1-{\frac {2}{(1+{\sqrt {5}})^{2}}}\\&=1-{\frac {1}{3+{\sqrt {5}}}}\\&=1-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{(3+{\sqrt {5}})(3-{\sqrt {5}})}}\\&={\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}).\end{aligned}}$

Όπως και στην προηγούμενη απόδειξη, προκύπτουν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{5}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\cdot \lambda \\&\approx 0{,}850651\cdot \lambda .\end{aligned}}$.

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{5}}\cdot \lambda \\&={\frac {1}{10}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot \lambda \\&\approx 0{,}688191\cdot \lambda .\end{aligned}}$.

Οι πέντε διαγώνιοι σε ένα κανονικό πεντάγωνο.

• Το κανονικό πεντάγωνο έχει πεντε διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d&={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\cdot \lambda \\&\approx 1.618034\cdot \lambda ,\end{aligned}}$

όπου ${\textstyle \varphi ={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ είναι η χρυσή τομή.

• Το πλάτος του είναι ίσο με την διαγώνιο

$w=d$.

• Το ύψος του είναι

$h={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$.

Ισχύει ότι ${\rm {AI}}^{2}={\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {I\Delta }}$.

• Έστω ${\rm {I}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\rm {A\Delta }}$ και ${\rm {BE}}$. Τότε

${\rm {AI}}^{2}={\rm {A\Delta }}\cdot {\rm {I\Delta }}$.

• (Θεώρημα Βιβιάνι) Για κάθε εσωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ ενός κανονικού πενταγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{5}$ από τις πλευρές του πενταγώνου είναι σταθερό, δηλαδή

$d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{5}=5\cdot r$,

όπου $r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Σε ένα κανονικό πεντάγωνο ${\rm {MA}}-{\rm {MB}}=R$.

• Έστω ${\rm {M}}$ το μέσο του ελάσσονος τόξου ${\overset {\frown }{\rm {B\Gamma }}}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου, τότε

• ${\rm {MA}}-{\rm {MB}}=R$,
• ${\rm {MA}}\cdot {\rm {MB}}=R^{2}$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού πενταγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {5}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Απόδειξη  

Διαχωρισμός κανονικού πολυγώνου σε οκτώ ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Το κανονικό πεντάγωνο χωρίζεται σε $5$ ισοσκελή τρίγωνα με βάση ίση με $\lambda$ και ύψος $r$. Επομένως το εμβαδόν του πενταγώνου είναι

${\rm {E}}=5\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \lambda \cdot r={\frac {5}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού πενταγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {5}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}\cdot \lambda ^{2}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\cdot \lambda ^{2}\\&\approx 1{,}720477\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του πενταγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {5}{2}}\sin {\frac {2\pi }{5}}\cdot R^{2}\\&={\frac {5}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot R^{2}\\&\approx 2{,}377641\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=5\tan {\frac {\pi }{5}}\cdot r^{2}\\&=5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\cdot r^{2}\\&\approx 3{,}632713r^{2}\end{aligned}}$.

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας ότι $r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{5}}\cdot \lambda$ και $\tan {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$, έχουμε ότι

${\rm {E}}={\frac {5}{2}}\cdot \lambda \cdot r=5\cdot {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\cdot r^{2}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =5\cdot \lambda$.

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου

Μια μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου

Το κανονικό πεντάγωνο είναι πολύγωνο που μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη ως εγγεγραμμένο σε κύκλο, είτε κατασκευάζοντας το από μια δοσμένη γωνία. Μία τέτοια κατασκευή περιγράφεται στην 11η Πρόταση στο 4ο Βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη, περίπου το 300 π.Χ.

Αφού κατασκευάσεις ένα κυρτό πεντάγωνο, όταν φέρεις τις διαγώνιές του κατασκευάζεις ένα Πεντάγραμμα, με ένα μικρότερο κανονικό πεντάγωνο στο κέντρο του. Εφόσον επεκτείνεις τις πλευρές ώστε να ενωθούν, κατασκευάζεις ένα μεγαλύτερο κανονικό πεντάγωνο.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Μια μέθοδος κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, είναι η ακόλουθη:

1. Σχεδίασε ένα κύκλο μέσα στον οποίο θα εγγράψουμε το πεντάγωνο και σημείωσε το κέντρο του O. (Ο πράσινος κύκλος στο διάγραμμα).
2. Διάλεξε ένα σημείο A του κύκλου που θα γίνει κορυφή του πενταγώνου. Φέρε μια ευθεία από το O και το A.
3. Φέρε μια κάθετη ευθεία στην OA που να περνά από το O. Σημείωσε ένα σημείο τομής της με τον κύκλο B.
4. Σημείωσε το σημείο C σαν το μέσο της O και B.
5. Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το C που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με την OB (εμπεριεχόμενο στον κύκλο) σαν D.
6. Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το A που να περνά από το D. Σημείωσε τα σημεία τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο E και F.
7. Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το E που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο G.
8. Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το F που να περνά από το A. Σημείωσε το σημείο τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο H.
9. Σχεδίασε το κανονικό πεντάγωνο AEGHF.

Κατασκευή πενταγώνου με δίπλωμα χαρτιού

Κατασκευή πενταγώνου με δίπλωμα χαρτιού

Μια απλή μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου είναι από μια λωρίδα χαρτί την οποία πρέπει να δέσουμε κόμπο με τέτοιο τρόπο, ώστε το τελικό σχήμα να είναι συμμετρικό ως προς άξονα.

Θεωρήματα

Σύμφωνα με το θεώρημα Μικέλ, τα πέντε κόκκινα σημεία είναι ομοκύκλια.

(Θεώρημα Μικέλ) Σε ένα κυρτό πεντάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$ έστω ${\rm {A',B',\Gamma ',\Delta ',E'}}$ τα σημεία τομής των επεκτάσεων των πλευρών του. Θεωρούμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων ${\rm {AB\Delta '}}$, ${\rm {B\Gamma E'}}$, ${\rm {\Gamma \Delta A'}}$, ${\rm {\Delta EB'}}$ και ${\rm {EA\Gamma '}}$ οι οποίοι ανά δύο τέμνονται στα σημεία ${\rm {A,B,\Gamma ,\Delta ,E}}$ καθώς και σε πέντε ακόμα σημεία. Τα πέντε αυτά σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο, δηλαδή το πεντάγωνο είναι εγγράψιμο.

Κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο

Κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο

Το αστεροειδές πεντάγωνο ${\rm {A\Gamma EB\Delta }}$ που προκύπτει από το κανονικό πεντάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$.
Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	5, ισόπλευρο
Γωνίες	5, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{5/2\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	5
Περιστροφική συμμετρία	πέμπτης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	$36^{\circ }$ (ή $\pi /5$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	πεντάγραμμα

Υπάρχει και ένα κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο το οποίο προκύπτει από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού πενταγώνου και πλευρές μεταξύ κορυφών που απέχουν δύο κορυφές στο αρχικό.

Πιο συγκεκριμένα, το αστεροειδές πεντάγωνο που προκύπτει από το κυρτό κανονικό πεντάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta E}}$ είναι το ${\rm {A\Gamma EB\Delta }}$ και συμβολίζεται ως $\{8/3\}$

Σχετικά σχήματα

Επιπεδομετρία

• 
  Ένα κανονικό πεντάγωνο μέσα σε ένα κανονικό δεκάγωνο.
• 
  Χωρισμός κανονικού πενταγώνου σε 5 ισοσκελή τρίγωνα.
• 
  Χωρισμός κανονικού πενταγώνου τρία ισοσκελή τρίγωνα.
• 
  Χωρισμός κανονικού πενταγώνου σε ένα ισοσκελές τραπέζιο και ένα ισοσκελές τρίγωνο.
• 
  Σχέση πλευρών ενός κανονικού πενταγώνου, εξαγώνου και δεκαγώνου που εγγράφονται σε κύκλο ίσης ακτίνας.

Στερεομετρία

• 
  Το δωδεκάεδρο έχει 12 κανονικά πεντάγωνα ως έδρες.

Πεντάγωνα στην φύση

• 
  Πεντάγωνα σε μπάμιες
• 
  Πενταγωνικά άνθη με πέντε πέταλα το καθένα
• 
  Το μήλο περιέχει πεντάγωνο
• 
  Καραμπόλα
• 
  Τα αστρόφρουτα της Μαλαισίας
• 
  Πεντάκτινο αστέρι σε αχλάδι

Δείτε επίσης

• Πεντάγραμμα
• Δεκάγωνο
• Δωδεκάεδρο

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ορισμός και ιδιότητες πενταγώνου, με διαδραστικές εφαρμογές
• Εννιά κατασκευές κανονικών πενταγώνων από τον Robin Hu

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Miles, David; Pritchard, Chris (2009). «Three Trigonometric Results from a Regular Pentagon». Mathematics in School 38 (1): 33-34. https://www.jstor.org/stable/20696861. 
• Simon, Raul A. (2006). «Approximate Construction of Regular Polygons: Two Renaissance Artists - Introduction». Convergence (MAA). https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/approximate-construction-of-regular-polygons-two-renaissance-artists-introduction. 
• Bowman, F. (1952). «Cyclic Pentagons». The Mathematical Gazette 36 (318): 244-250. doi:10.2307/3608200. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1952-12_36_318/page/244. 
• Martyn Cundy, M. (1985). «Folding a Regular Pentagon from a Square Sheet of Paper». Mathematics in School 14 (5): 31. https://www.jstor.org/stable/. 
• Miller, William (1996). «Pentagons and Golden Triangles». Mathematics in School 25 (4): 2-4. https://www.jstor.org/stable/30216571. 
• Miller, William A.; Clason, Robert G. (1994). «Golden Triangles, Pentagons, and Pentagrams». The Mathematics Teacher 87 (5): 338-344, 350-353. https://www.jstor.org/stable/27968871. 
• Schattschneider, Doris (1978). «Tiling the Plane with Congruent Pentagons». Mathematics Magazine 51, (1): 29-44. doi:10.2307/2689644. 
• Langford, C. Dudley (1956). «2628. To Pentasect a Pentagon». The Mathematical Gazette 40 (333): 218. doi:10.2307/3608828. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1956-10_40_333/page/218. 
• Lord, Nick (2008). «92.54 'Look-see' constructions of a regular pentagon». The Mathematical Gazette 92 (524): 324-328. https://www.jstor.org/stable/27821798. 
• Bunch, William H. (1967). «Properties of the Complete Pentagon». Mathematics Magazine 40 (3): 132-140. doi:10.2307/2688472. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1967-05_40_3/page/n23.