Τετράεδρο

Κανονικό τετράεδρο

(κινούμενο μοντέλο)
Ιδιότητες
Ακμές	6
Έδρες	4 τρίγωνα
Σύμβολο Schläfli	{3,3}
Ανάπτυγμα
Διάταξη κορυφών	(3.3.3)
Συμμετρία
Συμμετρία	τετραεδρική (Td)
Μετρικές σχέσεις
Εμβαδόν	${\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}$
Όγκος	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\alpha ^{3}$
Ακτίνα εγγεγρ. σφαίρας	${\frac {\sqrt {6}}{12}}\alpha$
Ακτίνα περιγ. σφαίρας	${\frac {\sqrt {6}}{4}}\alpha$
Σχετικά σχήματα
Δυϊκό σχήμα	Τετράεδρο
Επίπεδα σχήματα	ισόπλευρο τρίγωνο

Στην στερεομετρία, το τετράεδρο είναι το πολύεδρο που έχει τέσσερις έδρες, δηλαδή η τριγωνική πυραμίδα.

Ειδικότερα, το κανονικό τετράεδρο είναι το Πλατωνικό στερεό που έχει τέσσερις έδρες. Με άλλα λόγια είναι ένα τριδιάστατο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο οριοθετείται από τέσσερα κανονικά πολύγωνα, και συγκεκριμένα από τέσσερα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Το τετράεδρο ως γεωμετρικό στερεό έχει τέσσερις έδρες, έξι ακμές και τέσσερις κορυφές.

Στοιχεία

• Διδιάμεσος ενός τετραέδρου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο απέναντι ακμών. Το τετράεδρο έχει τρεις διδιαμέσους.
• Οι διδιάμεσοι είναι συντρέχουσες στο κέντρο βάρους του τετραέδρου.
• Διάμεσος τετραέδρου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μία κορυφή με το βαρύκεντρο της απέναντι έδρας.

Ιδιότητες

• Τα μεσοκάθετα επίπεδα των έξι ακμών του τετραέδρου διέρχονται από ίδιο σημείο.
• Οι ευθείες κάθετες στο περίκεντρο κάθε έδρας διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• Οι διδιάμεσοι του τετραέδρου είναι συντρέχουσες.
• Οι διδιάμεσοι διχοτομούνται.
• (Θεώρημα Κομαντίνο) Οι διάμεσοι του τετραέδρου συντρέχουν στο κέντρο βάρους του τετραέδρου.
• Το κέντρο βάρους του τετραέδρου χωρίζει την κάθε διάμεσο σε αναλογία $3:1$.

Όγκος

• Αν ${\rm {B}}$ είναι το εμβαδόν της βάσης του και $\upsilon$ η απόσταση της απέναντι κορυφής από την βάση αυτή, τότε ο όγκος του τετραέδρου είναι ίσος με

${\rm {V}}={\frac {1}{3}}{\rm {B}}\cdot \upsilon$.

• (Τύπος Ταρτάλια) Αν $d_{ij}$ είναι η απόσταση της κορυφής $i$ από την κορυφή $j$, τότε ο όγκος του τετραέδρου είναι ίσος με

$V^{2}={\frac {1}{288}}\det {\begin{bmatrix}0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}&1\\d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}&1\\d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&d_{34}^{2}&1\\d_{41}^{2}&d_{42}^{2}&d_{43}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}$,

όπου $\det$ η ορίζουσα του πίνακα. Ο τύπος φέρει το όνομα του Νικολό Ταρτάλια.

Κανονικό τετράεδρο

συμμετρίες του τετράεδρου

Ιδιότητες

• Έχει τέσσερις έδρες που είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.
• Έχει τέσσερις κορυφές.
• Έχει έξι ακμές.
• Είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά.
• Είναι εγγράψιμο σε σφαίρα.
• Είναι περιγράψιμο σε σφαίρα.

Μετρικές σχέσεις

Έστω ότι η πλευρά του τετράεδρου είναι $\alpha$, τότε:

• Το ύψος της τρίγωνης έδρας είναι

${\frac {\sqrt {3}}{2}}\alpha$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει άμεσα από τον τύπο για το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου.

• Το ύψος του στερεού είναι

${\frac {\sqrt {6}}{3}}\alpha$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε το επίπεδο που διέρχεται από δύο κορυφές της πυραμίδας και το μέσο της απέναντι ακμής τους.

Η τομή του με το τετράεδρο σχηματίζει ένα ισοσκελές τρίγωνο με δύο πλευρές ίσες με το ύψος $\upsilon '$ των τριγωνικών εδρών και μία ίση με την πλευρά $\alpha$ του τετραέδρου. Επομένως το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσο

$\upsilon ''={\sqrt {(\upsilon ')^{2}-\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}\alpha ^{2}-{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\alpha$.

Επίσης σε αυτό το ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος που αντιστοιχεί σε μία από τις ίσες πλευρές του είναι ίσο με το ύψος του τετραέδρου. Επομένως,

$\upsilon \cdot \upsilon '=\upsilon ''\cdot \alpha$

δηλαδή

$\upsilon ={\frac {{\frac {\sqrt {2}}{2}}\alpha \cdot \alpha }{{\frac {\sqrt {3}}{2}}\alpha }}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\alpha$.

• Η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι

$R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\alpha$.

Απόδειξη  

Θεωρούμε το τετράεδρο που προκύπτει από ένα υποσύνολο των κορυφών ενός κύβου πλευράς $x$. Τότε,

$\alpha ={\sqrt {2}}x$.

Η περιγεγραμμένη σφαίρα του κύβου ταυτίζεται με την περιγεγραμένη σφαίρα του τετραέδρου και η ακτίνα της είναι ίση με το μισό της διαγωνίου του κύβου, δηλαδή

$R={\frac {\sqrt {3}}{2}}x={\frac {\sqrt {6}}{4}}\alpha$.

• Η ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας είναι

$r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\alpha$.

Απόδειξη  

Όπως θα δούμε παρακάτω ο όγκος του τετραέδρου είναι

${\frac {\sqrt {2}}{12}}\alpha ^{3}$.

Ο όγκος του τετραέδρου που σχηματίζεται από μία έδρα και το έγκεντρο είναι

${\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}\right)\cdot r$

Υπάρχουν τέσσερα τέτοια τετράεδρα που συνολικά καλύπτουν τον όγκο του αρχικού άρα

${\frac {4}{3}}\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}\right)\cdot r={\frac {\sqrt {2}}{12}}\alpha ^{3}$

δηλαδή

$r={\frac {\sqrt {6}}{12}}$.

Εμβαδόν

• Το εμβαδόν της κάθε έδρας είναι ίσο με

${\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει άμεσα από τον τύπο για το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου.

• Το εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας είναι

${\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\alpha ^{2}$.

Απόδειξη  

Υπάρχουν τρεις παράπλευρες έδρες που είναι όλες ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

• Το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας είναι

${\sqrt {3}}\alpha ^{2}$

Απόδειξη  

Υπάρχουν τέσσερις έδρες που είναι όλες ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Όγκος

• Ο όγκος του τετραέδρου είναι ίσος με

${\frac {\sqrt {2}}{12}}\alpha ^{3}$.

Απόδειξη  

Ο όγκος μίας πυραμίδας δίνεται από τον τύπο

${\rm {V}}={\frac {1}{3}}{\rm {E}}\cdot \upsilon$,

όπου ${\rm {E}}$ είναι το εμβαδόν της βάσης του και $\upsilon$ το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή.

Συνδυάζοντας τους παραπάνω τύπους

${\rm {V}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}\right)\cdot \left({\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{12}}\alpha ^{3}$.

Δείτε επίσης

• Πυραμίδα
• Κύβος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λεξιλογικός ορισμός του τετράεδρο στο Βικιλεξικό
• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Τετράεδρο στο Wikimedia Commons