Κόλουρο εικοσάεδρο

Κόλουρο εικοσάεδρο

(κινούμενο μοντέλο)
Ιδιότητες
Ακμές	90
Έδρες	32 12 πεντάγωνα 20 εξάγωνα
Ανάπτυγμα
Διάταξη κορυφών	(5.6.6)
Συμμετρία
Συμμετρία	εικοσαεδρική (Ih)
Μετρικές σχέσεις
Σχετικά σχήματα
Δυϊκό σχήμα	Πεντάκις δωδεκάεδρο

Στη στερεομετρία, το κόλουρο εικοσάεδρο είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 32 έδρες: 12 κανονικά πεντάγωνα και 20 κανονικά εξάγωνα.

Ιδιότητες

• Έχει 60 κορυφές.
• Έχει 90 ακμές.
• Το πολύεδρο είναι εγγράψιμο σε σφαίρα.

Μετρικές σχέσεις

Αν θεωρήσουμε $\alpha$ το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής

• Η ακτίνα της περιγεγραμμένης του σφαίρας, δηλαδή η απόσταση των κορυφών από το κέντρο του είναι ίση με

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {9\phi +10}}\alpha \approx 2,478\alpha$,

όπου $\phi$ η χρυσή τομή.

• Η απόσταση ακμών από το κέντρο του είναι

$\rho ={\frac {3}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\alpha \approx 2,427\alpha$.

• Η απόσταση των πενταγωνικών εδρών από το κέντρο του είναι

${\begin{aligned}r_{5}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(125+41{\sqrt {5}}\right)}}\alpha \\&\approx 2,327\alpha .\end{aligned}}$

• Η απόσταση των εξαγωνικών εδρών από το κέντρο είναι ίση με

${\begin{aligned}r_{6}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)}}\alpha \\&\approx 2,267\alpha .\end{aligned}}$

Εμβαδόν επιφάνειας

Το εμβαδόν της επιφάνειας του κόλουρου εικοσάεδρου είναι ίσο με

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=3\left(10{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\alpha ^{2}\\&\approx 72,607\alpha ^{2}.\end{aligned}}$

Όγκος

Ο όγκος του κόλουρου εικοσαέδρου είναι ίσος με

${\begin{aligned}{\rm {V}}&={\frac {1}{4}}\left(125+43{\sqrt {5}}\right)\alpha ^{3}\\&\approx 55,288\alpha ^{3}.\end{aligned}}$

Σχετικά στερεά

Κατασκευαστικά, το κόλουρο εικοσάεδρο μπορεί να προέλθει από το εικοσάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του στο 1/3 της ακμής, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού εικοσαέδρου να προκύψουν κανονικά εξάγωνα και στη θέση των αποκομμένων κορυφών του να σχηματιστούν πεντάγωνα.

Δωδεκάεδρο

Κόλουρο δωδεκάεδρο

Εικοσιδωδεκάεδρο

Κόλουρο εικοσάεδρο

Εικοσάεδρο

Εφαρμογές

Το κόλουρο εικοσάεδρο σε σύγκριση με την μπάλα ποδοσφαίρου.

Το μοτίβο του κόλουρου εικοσαέδρου χρησιμοποιείται στην κατασκευή της συνηθισμένης μπάλας ποδοσφαίρου.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Κόλουρο εικοσάεδρο στο Polytope Wiki.
• Κόλουρο εικοσάεδρο στο MathWorld.
• Διαδραστική εφαρμογή για το κόλουρο εικοσάεδρο στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για το κόλουρο εικοσάεδρο στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για την περιγεγραμμένη σφαίρα του κόλουρου εικοσάεδρου στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις του κόλουρου εικοσαέδρου στο Geogebra.