Πλατωνικό στερεό

Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κυρτό κανονικό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως, όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.^[1]

Υπάρχουν μόνο πέντε τέτοια πολύεδρα:

Τετράεδρο	Κύβος (ή κανονικό εξάεδρο)	Οκτάεδρο	Δωδεκάεδρο	Εικοσάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)	(κινούμενο μοντέλο)	(κινούμενο μοντέλο)	(κινούμενο μοντέλο)	(κινούμενο μοντέλο)

Τα Πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος: το τετράεδρο τη φωτιά, ο κύβος τη γη, το εικοσάεδρο το νερό, το οκτάεδρο τον αέρα και το δωδεκάεδρο τον αιθέρα (ή αλλιώς τον κόσμο - στα λατινικά quinta essentia: "πέμπτη ουσία").

Ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, όπου αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα και εκφράζεται η ακμή τους ως συνάρτηση της περιγεγραμμένης σφαίρας.^[1]

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά

Για το πλήθος των κορυφών K, των ακμών A και των εδρών E ισχύει ο τύπος του Euler:

E+K=A+2\,

Αν θεωρήσουμε ότι κάθε έδρα έχει ν κορυφές (ν-γωνο) και ότι μ τέτοιες έδρες ενώνονται για να διαμορφώσουν μια πολυεδρική γωνία, τότε ισχύει:

E={\frac {4\mu }{2\mu +2\nu -\mu \nu }}

Πολύεδρο	Κορυφές K	Ακμές A	Έδρες E	Σύμβολο Schläfli {ν, μ}	Διαμόρφωση κορυφής
Τετράεδρο	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
Κύβος	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
Οκτάεδρο	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
Δωδεκάεδρο	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
Εικοσάεδρο	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Μεγέθη

Σε κάθε Πλατωνικό στερεό όλες οι κορυφές του ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία περνάει από όλες τις κορυφές του πολυέδρου (περιγεγραμμένη σφαίρα). Το ίδιο ισχύει και για τις έδρες, δηλαδή ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία εφάπτεται όλων των εδρών, στα κέντρα τους (εγγεγραμμένη σφαίρα). Επίσης όλες οι ακμές ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία εφάπτεται όλων των ακμών, στα μέσα τους.^[1]

Αν θεωρήσουμε $\alpha \,\!$ το μήκος της ακμής, ισχύουν τα παρακάτω:^[1]

Πολύεδρο	Ακτίνα σφαίρας που περνά από			Επιφάνεια	Όγκος
Πολύεδρο	κέντρα εδρών	κορυφές	μέσα ακμών	Επιφάνεια	Όγκος
Τετράεδρο	${\frac {\sqrt {6}}{12}}\alpha$	${\frac {\sqrt {6}}{4}}\alpha$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}\alpha$	${\sqrt {3}}\alpha ^{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\alpha ^{3}$
Κύβος	${\frac {1}{2}}\alpha$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\alpha$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\alpha$	$6\alpha ^{2}\,\!$	$\alpha ^{3}\,\!$
Οκτάεδρο	${\frac {\sqrt {6}}{6}}\alpha$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\alpha$	${\frac {1}{2}}\alpha$	$2{\sqrt {3}}\alpha ^{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{3}}\alpha ^{3}$
Δωδεκάεδρο	${\frac {1}{20}}{\sqrt {(10(25+11{\sqrt {5}})}}\alpha$	${\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})\alpha$	${\frac {1}{4}}(3+{\sqrt {5}})\alpha$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\alpha ^{2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\alpha ^{3}$
Εικοσάεδρο	${\frac {\sqrt {3}}{12}}(3+{\sqrt {5}})\alpha$	${\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}\alpha$	${\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})\alpha$	$5{\sqrt {3}}\alpha ^{2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})\alpha ^{3}$

Δυϊσμός - Συμμετρίες

Αν σε ένα Πλατωνικό στερεό λάβουμε τα κέντρα των εδρών του ως κορυφές ενός άλλου πολυέδρου, το δεύτερο αυτό πολύεδρο είναι επίσης Πλατωνικό στερεό. Τα δύο αυτά πολύεδρα ονομάζονται δυϊκά πολύεδρα (ή συζυγή πολύεδρα). Επομένως, το πλήθος των εδρών του πρώτου ισούται με το πλήθος των κορυφών του δεύτερου και το αντίστροφο. Το πλήθος των ακμών τους παραμένει ίδιο. Εάν το σύμβολο Schläfli του ενός πολυέδρου είναι {ν, μ}, τότε το σύμβολο Schläfli του δυϊκού του θα είναι {μ, ν}. Έτσι, τα Πλατωνικά στερεά είναι δυϊκά ανά ζεύγη: ο κύβος με το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο με το εικοσάεδρο και το τετράεδρο με τον εαυτό του.^[1]

Τα δυϊκά πολύεδρα μοιράζονται την ίδια ομάδα συμμετρίας: το τετράεδρο ανήκει στην τετραεδρική ομάδα συμμετρίας (T), το οκτάεδρο και ο κύβος ανήκουν στην οκταεδρική ομάδα συμμετρίας (O), το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο ανήκουν στην εικοσαεδρική ομάδα συμμετρίας (I).

Πολύεδρο	Σύμβολο Schläfli	Δυϊκό πολύεδρο	Ομάδα συμμετρίας
τετράεδρο	{3, 3}	τετράεδρο	T_d (T)
κύβος	{4, 3}	οκτάεδρο	O_h (O)
οκτάεδρο	{3, 4}	κύβος	O_h (O)
δωδεκάεδρο	{5, 3}	εικοσάεδρο	I_h (I)
εικοσάεδρο	{3, 5}	δωδεκάεδρο	I_h (I)

Στη φύση

Το τετράεδρο, ο κύβος και το οκτάεδρο εμφανίζονται σε κρυσταλλικές δομές, αν και δεν εξαντλούν τις πιθανές μορφές των κρυστάλλων. Το εικοσαέδρο και το δωδεκάεδρο δεν εντοπίζονται σε κάποια κρυσταλλική δομή.

Βέβαια, εντοπίζεται η μορφή που ονομάζεται πυριτόεδρο (pyritohedron), στο ορυκτό "πυρίτης" στο οποίο είναι χαρακτηριστική. Η μορφή αυτή έχει δώδεκα πεντάγωνες πλευρές τοποθετημένες όπως οι πλευρές του κανονικού δωδεκάεδρου, όμως δεν είναι κανονικές, οπότε και το πυριτόεδρο δεν αποτελεί μορφή κανονικού πολύεδρου.

Το πρωτόζωο *Circogonia icosahedra* της υφομάδας ακτινόζωων, έχει σχήμα κανονικού εικοσάεδρου.

Το 1904, ο Γερμανός βιολόγος Ερνστ Χέκελ περιέγραψε και σχεδίασε έναν αριθμό ακτινόζωων.^[2] Ορισμένα από αυτά έχουν σκελετούς με σχήμα κανονικών πολυέδρων.^[3] Παραδείγματα αποτελούν τα Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus και Circorrhegma dodecahedra. Τα σχήματα αυτών των οργανισμών είναι προφανή από τις ονομασίες τους.

Κάποιο ιοί, όπως αυτός προκαλεί τον έρπητα ζωστήρα^[4], έχουν σχήμα κανονικού εικοσαέδρου. Οι ιοί χτίζονται από επαναλαμβανόμενες, ταυτόσημες πρωτεϊνικές υπομονάδες και το εικοσαέδρο είναι το πιο εύκολο σχήμα για να συναρμολογηθούν χρησιμοποιώντας αυτές τις υπομονάδες.

Έχουν συντεθεί επίσης αρκετοί "πλατωνικοί υδρογονάνθρακες", δηλαδή υδρογονάνθρακες που το σχήμα των μορίων τους αποτελεί πλατωνικό στερεό. Τέτοιοι είναι το κυβάνιο^[5], το τετραεδράνιο και το δωδεκαεδράνιο.

Παραπομπές

1 2 3 4 5 Γκουντουβάς (2021), σελ. 212-218
↑ Haeckel, Ernst (1904). Kunstformen der Natur (στα Γερμανικά). Leipzig und Wien: Bibliographisches Institut.
↑ Stuart Colin (2020). Η Γλώσσα του Σύμπαντος – Μια οπτική εξερεύνηση των μαθηματικών. Μτφρ. Βαγγέλης Πρατικάκης. Εκδόσεις Παπαδόπουλος. ISBN 978-960-484-580-4.
↑ Siyu Li, Polly Roy, Alex Travesset, and Roya Zandi (October 2018). «Why large icosahedral viruses need scaffolding proteins». Proceedings of the National Academy of Sciences 115 (43): 10971–10976. doi:10.1073/pnas.1807706115. PMID 30301797. Bibcode: 2018PNAS..11510971L.
↑ Griffin, G.W.; Marchand, A.P. (1989). «Synthesis and chemistry of cubanes». Chemical Reviews 89: 997–1010.

Πηγές

Σωτήρης Γκουντουβάς, Γεωμετρικές Διαδρομές, Γ' έκδοση, Αθήνα 2021.
Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης, «Ευκλείδη Στοιχεία», τόμος 3, κεφ. 3 (Αθήνα 2001, ISBN 960-86879-2-6)
ΟΕΔΒ, Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' - Β' Γενικού Λυκείου, κεφ. 13 (συμπιεσμένο αρχείο)
Weisstein, Eric W., Platonic solid (Αγγλικά)

[Γκουντουβάς_2021,_σελ._212-218-1] 1 2 3 4 5 Γκουντουβάς (2021), σελ. 212-218

[2] Haeckel, Ernst (1904). Kunstformen der Natur (στα Γερμανικά). Leipzig und Wien: Bibliographisches Institut.

[3] Stuart Colin (2020). Η Γλώσσα του Σύμπαντος – Μια οπτική εξερεύνηση των μαθηματικών. Μτφρ. Βαγγέλης Πρατικάκης. Εκδόσεις Παπαδόπουλος. ISBN 978-960-484-580-4.

[4] Siyu Li, Polly Roy, Alex Travesset, and Roya Zandi (October 2018). «Why large icosahedral viruses need scaffolding proteins». Proceedings of the National Academy of Sciences 115 (43): 10971–10976. doi:10.1073/pnas.1807706115. PMID 30301797. Bibcode: 2018PNAS..11510971L.

[5] Griffin, G.W.; Marchand, A.P. (1989). «Synthesis and chemistry of cubanes». Chemical Reviews 89: 997–1010.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

π σ ε Γεωμετρικά στερεά
τυπικά γεωμετρικά στερεά	κύβος παραλληλεπίπεδο πυραμίδα (κυκλικός) κύλινδρος κώνος σφαίρα
Πλατωνικά στερεά	τετράεδρο κύβος οκτάεδρο δωδεκάεδρο εικοσάεδρο
στερεά του Αρχιμήδη	κόλουρο τετράεδρο κυβοκτάεδρο κόλουρος κύβος κόλουρο οκτάεδρο ρομβοκυβοκτάεδρο κόλουρο κυβοκτάεδρο πεπλατυσμένος κύβος εικοσιδωδεκάεδρο κόλουρο δωδεκάεδρο κόλουρο εικοσάεδρο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο
Καταλανικά στερεά	τριάκις τετράεδρο ρομβικό δωδεκάεδρο τριάκις οκτάεδρο τετράκις εξάεδρο δελτοειδές εικοσιτετράεδρο δισδυάκις δωδεκάεδρο πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο ρομβικό τριακοντάεδρο τριάκις εικοσάεδρο πεντάκις δωδεκάεδρο δελτοειδές εξηκοντάεδρο δισδυάκις τριακοντάεδρο πενταγωνικό εξηκοντάεδρο
άλλα στερεά	πρίσμα κύλινδρος ελλειψοειδή ωοειδές τόρος σχήμα εκ περιστροφής αντιπρίσμα