Εικοσάεδρο

Εικοσάεδρο

(κινούμενο μοντέλο)
Ιδιότητες
Ακμές	30
Έδρες	20 τρίγωνα
Σύμβολο Schläfli	{3,5}
Ανάπτυγμα
Διάταξη κορυφών	(3.3.3.3.3)
Συμμετρία
Συμμετρία	εικοσαεδρική (Ih)
Μετρικές σχέσεις
Εμβαδόν	$8,66\alpha ^{2}$
Όγκος	$2,182\alpha ^{3}$
Ακτίνα εγγεγρ. σφαίρας	$0,756\alpha$
Ακτίνα περιγ. σφαίρας	$0.951\alpha$
Σχετικά σχήματα
Δυϊκό σχήμα	Δωδεκάεδρο
Επίπεδα σχήματα	ισόπλευρο τρίγωνο

Στην στερεομετρία, εικοσάεδρο είναι ένα πολύεδρο που έχει είκοσι έδρες.

Το κανονικό εικοσάεδρο είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά, που έχει ως έδρες είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα, τα οποία ενώνονται ανά πέντε σε κάθε κορυφή του.

Ο Ευκλείδης ασχολείται με το εικοσάεδρο στην Πρόταση 16 του 13ου βιβλίου στα Στοιχεία.

Κανονικό εικοσάεδρο

Ιδιότητες

• Έχει είκοσι έδρες που είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
• Έχει 15 κορυφές.
• Έχει 30 ακμές.
• Είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά.
• Η δίεδρη γωνία του είναι ίση με 138,189685°.
• Το δυϊκό πολύεδρο του εικοσαέδρου είναι το κανονικό δωδεκάεδρο, δηλαδή τα κέντρα των είκοσι τριγωνικών εδρών του εικοσαέδρου αποτελούν κορυφές κανονικού δωδεκαέδρου. Επίσης, ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή τα κέντρα των εδρών του δωδεκαέδρου αποτελούν κορυφές εικοσαέδρου. Τόσο το εικοσάεδρο όσο και το δωδεκάεδρο ανήκουν στην ίδια ομάδα συμμετρίας, την εικοσαεδρική.
• Είναι εγγράψιμο σε σφαίρα.
• Είναι περιγράψιμο σε σφαίρα.

Εμβαδόν επιφάνειας

Το εμβαδόν της επιφάνειας του κανονικού δωδεκαέδρου πλευράς $\alpha$ είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=5{\sqrt {3}}\alpha ^{2}\\&\approx 8,66\alpha ^{2}\end{aligned}}$.

Όγκος

Ο όγκος ενός κανονικού δωδεκαέδρου πλευράς $\alpha$ είναι

${\begin{aligned}{\rm {V}}&={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})\alpha ^{3}\\&\approx 2,182\alpha ^{3}\end{aligned}}$

Μετρικές σχέσεις

Έστω ένα κανονικό δωδεκάεδρο πλευράς $\alpha$ και $\phi$ ο χρυσός αριθμός. Τότε:

• Η ακτίνα περιγεγραμμένης του σφαίρας είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi {\sqrt {5}}}}\alpha \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}\alpha \\&\approx 0,951\alpha \end{aligned}}$.

• Η ακτίνα της εγγεγραμμένης του σφαίρας είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}}\alpha \\&={\frac {\sqrt {3}}{12}}(3+{\sqrt {5}})\alpha \\&\approx 0,756\alpha \end{aligned}}$.

• Η απόσταση των ακμών από το κέντρο του είναι ίση με

${\begin{aligned}d&={\frac {\phi }{2}}\alpha \\&={\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})\alpha \\&\approx 0,809\alpha \end{aligned}}$.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λεξιλογικός ορισμός του εικοσάεδρο στο Βικιλεξικό
• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Εικοσάεδρο στο Wikimedia Commons